Angoli complementari che e come vengono calcolati, esempi, esercizi

Due o più angoli lo sono angoli complementari Se la somma delle sue misure corrisponde a quella di un angolo retto. Come è noto, la misura di un angolo retto in gradi è di 90º e nei radianti è π/2.

Ad esempio, i due angoli adiacenti all'ipotenusa di un triangolo rettangolo sono complementari tra loro, poiché la somma delle loro misure è di 90º. La figura seguente è molto illustrativa al riguardo:

Figura 1. A sinistra, diversi angoli con un vertice comune. A destra un angolo di 60º che completa l'angolo α (alfa). Fonte: f. Zapata.

La Figura 1 mostra un totale di quattro angoli. α e β sono complementari poiché lo sono adiacente E la sua somma completa un angolo retto. Allo stesso modo β è complementare a γ, dove segue che γ e α sono di uguale misura.

Ora, poiché la somma di α e Δ è pari a 90 gradi, si può dire che α e Δ sono complementari. Inoltre, poiché β e Δ hanno lo stesso α complementare, si può dire che β e Δ hanno la stessa misura.

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Esempi di angoli complementari

Nei seguenti esempi è richiesto di trovare gli angoli sconosciuti, indicati con l'interrogatorio nella Figura 2.

figura 2. Vari esempi di angoli complementari. Fonte: f. Zapata.

- Esempi A, B e C

I seguenti esempi sono in ordine di complessità.

Esempio A

Nella figura superiore abbiamo che gli angoli adiacenti α e 40º si aggiungono ad un angolo retto. Questo è α + 40º = 90º, quindi α = 90º- 40º = 50º.

Esempio b

Poiché β è complementare con l'angolo di 35º, quindi β = 90º - 35º = 55º.

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Esempio C

Dalla Figura 2C, la somma di γ + 15º + 15º = 90º. Vale a dire che γ è complementare all'angolo 30 = 15º + 15º. Affinché:

γ = 90º- 30º = 60º

- Esempi d, e e f

In questi esempi ci sono più angoli coinvolti. Per trovare le incognite, il lettore deve applicare il concetto di angolo complementare tutte le volte che è necessario.

Esempio d

Poiché X è complementare con 72º, ne consegue che x = 90º - 72º = 18º. Inoltre ed è complementare con x, quindi y = 90º - 18º = 72º.

Finalmente Z è complementare a e. Da tutto quanto sopra ne consegue:

Z = 90º - 72º = 18º

Esempio E

Gli angoli Δ e 2Δ sono complementari, quindi Δ + 2Δ = 90º.

Questo è 3Δ = 90º, il che implica che Δ = 90º / 3 = 30º.

Esempio f

Se chiamiamo l'angolo tra ω e quello di 10, è quindi integrato a loro, perché si osserva che la loro somma completa è un angolo retto. Dove segue che u = 80º. Come u è complementare con ω, quindi ω = 10º.

Esercizi

Di seguito sono proposti tre esercizi. In tutti loro il valore degli angoli A e B deve essere trovato in gradi, in modo che le relazioni mostrate nella Figura 3 siano soddisfatte.

Figura 3. Illustrazioni per esercizi di angoli complementari. Fonte: f. Zapata.

- Esercizio 1

Determina i valori degli angoli a e b della parte I) della Figura 3.

Soluzione

Dalla figura mostrata si vede che A e B sono complementari, quindi A + B = 90º. L'espressione di A e B è sostituita in funzione di X indicata nella parte I):

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(x/2 + 7) + (2x + 15) = 90

Quindi i termini sono correttamente raggruppati e si ottiene una semplice equazione lineare:

(5x/2) + 22 = 90

Sottraendo 22 in entrambi i membri sono:

5x/2 = 90 -22 = 68

E infine il valore di X viene cancellato:

x = 2*68/5 = 136/5

Ora si trova l'angolo che sostituisce il valore di x:

A = (136/5)/2 +7 = 103/5 = 20,6 º.

Mentre l'angolo B è:

B = 2*136/5 + 15 = 347/5º = 69,4º .

- Esercizio 2

Trova i valori degli angoli A e B dell'immagine II, Figura 3.

Soluzione

Ancora una volta, poiché A e B sono angoli complementari, devi: A + B = 90º. Sostituire l'espressione di A e B in funzione di X indicata nella parte II) della Figura 3 è:

(2x - 10) + (4x +40) = 90

I termini simili sono raggruppati per ottenere l'equazione:

6 x + 30 = 90

Si ottiene dividere entrambi i membri tra 6:

x + 5 = 15

Dove segue che x = 10º.

Perciò:

A = 2*10 - 10 = 10º

B = 4*10 + 40 = 80º.

- Esercizio 3

Determina i valori degli angoli a e b della parte III) della Figura 3.

Soluzione

La figura viene accuratamente analizzata per cercare angoli complementari. In questo caso devi + b = 90 gradi. Sostituire l'espressione di A e B in funzione di X indicata nella figura, hai:

(-X +45) + (4x -15) = 90

3 x + 30 = 90

Dividere entrambi i membri per 3 è il seguente:

x + 10 = 30

Dove segue che x = 20º.

Vale a dire che l'angolo A = -20 +45 = 25º. E per la sua parte: b = 4*20-15 = 65º.

Angoli perpendicolari

Si dice che due angoli lo siano lati perpendicolari Se ogni lato ha il suo perpendicolare corrispondente nell'altro. La figura seguente chiarisce il concetto:

Può servirti: successione compostaFigura 4. Angoli perpendicolari. Fonte: f. Zapata.

Nella Figura 4 si osservano gli angoli α e θ, per esempio. Ora si noti che ogni angolo ha il suo perpendicolare corrispondente all'altro angolo.

Si vede anche che α e θ hanno lo stesso angolo complementare z, Pertanto l'osservatore conclude immediatamente che α e θ hanno la stessa misura. Sembra quindi che se due angoli hanno lati perpendicolari tra loro, sono uguali, ma vediamo un altro caso.

Ora considera gli angoli α e ω. Questi due angoli hanno anche corrispondenti lati perpendicolari, tuttavia non si può dire che sono di pari misura, poiché l'uno è acuto e l'altro è ottuso.

Si noti che ω + θ = 180º. Oltre a θ = α. Se si sostituisce questa espressione di Z nella prima equazione che ottieni:

Δ + α = 180º, essendo che Δ e α sono angoli dei lati reciprocamente perpendicolari.

Regola generale per gli angoli dei lati perpendicolari 

Dal suddetto, una regola che è sempre soddisfatta che gli angoli hanno lati perpendicolari:

Se due angoli sono i lati reciprocamente perpendicolari, allora sono gli stessi se entrambi sono acuti o entrambi ottuso. Altrimenti, se uno è acuto e l'altro è ottuso, allora sono supplementari, cioè aggiungono 180º.

Applicando questa regola e in riferimento agli angoli della Figura 4 possiamo affermare quanto segue:

α = β = θ = φ

γ = Δ

Con l'angolo supplementare ω di α, β, θ e φ.

Riferimenti

1. Baldor, j. A. 1973. Geometria piatta e spaziale. Culturale centroamericano. 
2. Leggi e formule matematiche. Sistemi di misurazione angolare. Estratto da: Ingemecanica.com.
3. Wentworth, g. Geometria del pianeta. Recuperato da: Gutenberg.org.
4. Wikipedia. Angoli complementari. Recuperato da: è.Wikipedia.com
5. Wikipedia. Trasportatore. Recuperato da: è.Wikipedia.com
6. Zapata f. Goniometro: storia, parti, operazioni. Estratto da: Lifer.com