Proprietà di simmetria centrale, esempi ed esercizi

Due punti a e 'hanno Simmetria centrale Per quanto riguarda un punto o quando il segmento AA "lo attraversa ed è anche il punto medio di AA". Al punto o si chiama Centro di simmetria.

Il simmetrico centrale di un triangolo ABC rispetto a un punto o, è un altro triangolo a'b'c 'che ha le seguenti caratteristiche:

-I segmenti omologhi sono uguali 

-I loro angoli corrispondenti hanno la stessa misura.

Figura 1. ABC Triangle e il suo simmetrico a'b'c '. Fonte: f. Zapata.

Nella Figura 1 un triangolo ABC (rosso) e il suo simmetrico centrale a'b'c '(verde), rispetto al centro della simmetria o. 

In questa stessa figura, un osservatore attento si renderebbe conto che lo stesso risultato è ottenuto applicando una rotazione del triangolo originale, purché sia ​​di 180º e focalizzato su o.

Pertanto, una simmetria centrale è equivalente a una svolta di 180º rispetto al centro della simmetria.

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Proprietà della simmetria centrale

Una simmetria centrale ha le seguenti proprietà:

-Il centro di simmetria è il punto medio del segmento che si unisce a un punto con il suo simmetrico.

-Un punto simmetrico di un altro che si trova nel centro di simmetria, coincide con il centro di simmetria.

-Il simmetrico centrale di un triangolo è un triangolo congruente (uguale) all'originale.

-L'immagine per simmetria centrale di una circonferenza è un'altra circonferenza di uguale raggio.

-Un cerchio ha una simmetria centrale rispetto al proprio centro.

figura 2. Design con simmetria centrale. Fonte: Pixabay.

-L'ellisse ha una simmetria centrale rispetto al suo centro.

-Un segmento ha una simmetria centrale rispetto al suo punto medio.

-Il triangolo equilatero non ha una simmetria centrale rispetto al suo centro, perché è simmetrico, sebbene congruente al primo, dà un triangolo equilatero girato.

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-I quadrati hanno una simmetria centrale rispetto al loro centro.

-Un Pentagono manca di simmetria centrale rispetto al suo centro.

-I poligoni regolari hanno una simmetria centrale quando hanno un numero di lati di coppia.

Esempi

I criteri di simmetria hanno molte applicazioni in scienze e ingegneria. La simmetria centrale è presente in natura, ad esempio i cristalli di ghiaccio e le ragnatele hanno questo tipo di simmetria.

Inoltre, molti problemi vengono facilmente risolti quando viene utilizzata l'esistenza di simmetria centrale e altri tipi di simmetria. Pertanto è conveniente identificare rapidamente quando si verifica.

Figura 3. I cristalli di ghiaccio hanno una simmetria centrale. Fonte: Pixabay.

Esempio 1

Dato un punto p di coordinate (a, b), è necessario trovare le coordinate della sua p 'simmetrica per quanto riguarda l'origine o le coordinate (0, 0).

La prima cosa è costruire la p 'p', per la quale viene tracciata una linea che passa attraverso l'origine o e attraverso il punto p. L'equazione di questa linea è y = (b/a) x.

Ora chiamiamo (a ', b') le coordinate del punto simmetrico P '. Punto p. Inoltre, la distanza OP deve essere uguale all'OP ', che scrive analiticamente in questo modo:

√ (a² + B²) = √ (a '² + B '² )

Quanto segue è sostituire b '= [(b/a).A '] nell'espressione precedente e quadrati su entrambi i lati dell'uguaglianza per eliminare la radice quadrata: (a² + B²) = [a '² + (B²/A²).A'²"

Estrando il fattore comune e semplificando, viene raggiunto a "² = a². Questa equazione ha due soluzioni reali: a '= +a o a' = -a. 

Per ottenere b ', usiamo di nuovo b' = (b/a) a '. Se la soluzione positiva di A viene sostituita, si raggiunge che b '= b. E quando la soluzione negativa viene sostituita, allora b '= -b. 

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La soluzione positiva dà per P 'lo stesso punto p, quindi è escluso. La soluzione negativa offre sicuramente le coordinate del punto simmetrico:

P ': (-a, -b)

Esempio 2

È necessario dimostrare che un segmento AB e il suo simmetrico centrale A'b 'hanno la stessa lunghezza.

A partire dalle coordinate del punto A, che sono (ax, ay) e quelle del punto b: (bx, by), la lunghezza dell'AB è data da:

D (AB) = √ ((bx - ax)² + (Di - ay)² )

Per analogia, il segmento simmetrico A'b 'avrà la lunghezza da:

d (a'b ') = √ ((bx' - ax ')² + (Di ' - ay')² )

Le coordinate del punto simmetrico a 'sono ax' = -ax e ay '= -ay. Allo stesso modo quelli di b 'sono bx' = -bx e by '= -By. Se queste coordinate vengono sostituite nell'equazione della distanza d (a'b ') hai:

D (a'b ') = √ ((-bx + ax)² + (-By + ay)²) che è equivalente a:

 √ ((bx - ascia)² + (Di - ay)²) = D (AB)

Essere dimostrato che entrambi i segmenti hanno la stessa lunghezza.

Esercizi risolti

- Esercizio 1

Dimostrare in modo analitico che il simmetrico centrale o un cerchio di raggio R e al centro o, sia la stessa circonferenza originale.

Soluzione

L'equazione di un raggio R e un cerchio centrale (0,0) è:

X² + E² = R² (Equazione della circonferenza C)

Se in ogni punto p della circonferenza e delle coordinate (x, y) si trova la sua coordinata simmetrica p '), l'equazione della circonferenza simmetrica è:

X '² + E'² = R² (Equazione della circonferenza simmetrica C ')

Ora ci riferiamo al risultato dell'esempio 1, che conclude che le coordinate di un punto p ', simmetriche a p e coordinate (a, b), è (-a, -b). 

Ma in questo esercizio, il punto P ha coordinate (x, y), quindi la sua p 'simmetrica avrà coordinate x' = -x e y '= -y. Sostituire questo nell'equazione della circonferenza simmetrica è:

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(-X)² + (-E)² = R²

Che è equivalente a: x²+ E² = R², concludendo che il simmetrico centrale di un cerchio rispetto al suo centro è la circonferenza stessa.

- Esercizio 2

Dimostrare in modo geometrico che la simmetria centrale preserva gli angoli.

Soluzione

Figura 4. Costruzione di punti simmetrici per l'esercizio 2. Fonte: f. Zapata.

Ci sono tre punti A, B e C sull'aereo. I suoi simmetrici a ', b' e c 'sono costruiti rispetto al centro della simmetria o, come mostrato nella Figura 4. 

Ora dobbiamo dimostrare che l'angolo ∡abc = β ha la stessa misura dell'angolo ∡a'b'c '= β' '.

Poiché C e C 'sono simmetrici, quindi OC = OC'. Allo stesso modo ob = ob 'y oa = oa'. D'altra parte, l'angolo ∡boc = ∡b'oc 'per essere contrario al vertice.

Quindi i triangoli boc e b'oc 'sono congruenti per avere un angolo uguale tra i due lati uguali.

Perché Boc è congruente a B'oC 'allora gli angoli  γ E γ ' Sono uguali. Ma questi angoli, oltre a soddisfare γ = γ ' Sono alternati interni tra le linee BC e B'C che implica che la linea BC è parallela a B'C '.

Allo stesso modo BAA è congruente a B'oa 'di ciò che è seguito α = α ' . Ma  α E α ' Sono angoli alternativi interni tra le linee BA e B'A ', di cui si è conclusa che la linea BA è parallela a B'A'.

Poiché l'angolo ∡abc = β ha i suoi lati paralleli con l'angolo ∡a'b'c '= β' e entrambi sono anche acuti, si conclude che:

∡abc = ∡a'b'c '= β = β' '

Dimostrando in questo modo che la simmetria centrale mantiene la misura degli angoli.

Riferimenti

1. Baldor, j. A. 1973.Geometria piatta e spaziale. Culturale centroamericano. 
2. Leggi e formule matematiche. Sistemi di misurazione angolare. Estratto da: Ingemecanica.com.
3. Wentworth, g. Geometria del pianeta. Recuperato da: Gutenberg.org.
4. Wikipedia. Simmetria centrale. Recuperato da: è.Wikipedia.com
5. Wikipedia. Trasportatore. Recuperato da: è.Wikipedia.com
6. Zapata f. Angoli coniugati interni ed esterni. Estratto da: Lifer.com