Misure di tendenza centrale per formule di dati raggruppate, esercizi

IL Misure di tendenza centrale Indicano il valore attorno al quale sono i dati di una distribuzione. Il più noto è la media media o aritmetica, che consiste nell'aggiunta di tutti i valori e nella divisione del risultato per il numero totale di dati.

Tuttavia, se la distribuzione è costituita da un gran numero di valori e non è presentata in modo ordinato, non è facile eseguire i calcoli necessari per estrarre le preziose informazioni che contengono.

Figura 1. Le misure di tendenza centrale per i dati raggruppati sono un buon indicativo del comportamento generale dei dati

Ecco perché sono raggruppati in classi o categorie, per elaborare a distribuzione di Frequenze. Eseguire questo precedente ordine dei dati, è più facile calcolare le misure di tendenza centrale, tra cui:

-Metà

-Mediano

-Moda

-Media geometrica

-Media armonica

Formule

Di seguito abbiamo le formule delle misure di tendenza centrale per i dati raggruppati:

Media aritmetica

La media è la più utilizzata per caratterizzare i dati quantitativi (valori numerici), sebbene sia abbastanza sensibile ai valori di distribuzione estremi. È calcolato da:

Con:

-X: aritmetica media o media

-F_Yo: frequenza di classe

-M_Yo: Il marchio di classe

-G: numero di classi

-N: dati totali

Mediano

Per calcolarlo, è necessario trovare l'intervallo che contiene l'osservazione N/2 e interpolare per determinare il valore numerico di detta osservazione, mediante la seguente formula:

Dove:

-C: larghezza dell'intervallo a cui appartiene la mediana

-B_M: bordo inferiore di detto intervallo

-F_M: Numero di osservazioni contenute nell'intervallo

-N/2: dati totali divisi per 2.

-F_Bm: numero di osservazioni prima dell'intervallo contenente la mediana.

Pertanto, la mediana è una misura di posizione, cioè divide il set di dati in due parti. Possono anche essere definiti quartili, Decili E percentili, che dividono rispettivamente la distribuzione in quattro, dieci e cento parti.

Può servirti: trasformata di Fourier: proprietà, applicazioni, esempi

Moda

Nei dati raggruppati, è richiesta la classe o la categoria che contiene la maggior parte delle osservazioni. Questo è il Classe modale. Una distribuzione può avere due o più mode, nel qual caso viene chiamata bimodale E Multimodale, rispettivamente.

Puoi anche calcolare la moda in dati raggruppati seguendo l'equazione:

Con:

-L₁: Limite inferiore della classe in cui si trova la moda

-Δ₁: Rimane tra la frequenza della classe modale e la frequenza della classe che la precede.

-Δ₂: sottrarre tra la frequenza della classe modale e la frequenza della classe che la segue.

-C: larghezza dell'intervallo contenente la moda

Media armonica

La media armonica è indicata da h. Quando hai un set di N Valori x₁, X₂, X₃..., la media armoniosa è l'inverso o reciproco della media aritmetica dell'inverso dei valori.

È più facile vederlo attraverso la formula:

E quando si ha i dati raggruppati, l'espressione viene trasformata in:

Dove:

-H: media armonica

-F_Yo: frequenza di classe

-M_Yo: Marchio di classe

-G: numero di classi

-N = f₁ + F₂ + F₃ +..

Media geometrica

Se hai N Numeri positivi x₁, X₂, X₃…, La sua media geometrica è calcolata dal N-EME del prodotto di tutti i numeri:

Nel caso dei dati raggruppati, si può dimostrare che il logaritmo decimale del log medio geometrico g, è dato da:

Dove:

-G: Media geometrica

-F_Yo: frequenza di classe

-M_Yo: Il marchio di classe

-G: numero di classi

-N = f₁ + F₂ + F₃ +..

Relazione tra h, g e x

È sempre vero che:

H ≤ g ≤ x

Definizioni più usate

Le seguenti definizioni sono necessarie per trovare i valori descritti nelle formule precedenti:

Frequenza

La frequenza è definita come il numero di volte in cui viene ripetuto.

Allineare

È la differenza tra il valore maggiore e il valore minore, presente nella distribuzione.

Numero di classi

Per sapere quante classi raggruppiamo i dati, utilizziamo alcuni criteri, ad esempio quanto segue:

Può servirti: 17 problemi motivati

Confini

I valori estremi di ogni classe o intervallo sono chiamati confini e ogni classe può avere entrambi limiti ben definiti, nel qual caso ha un limite inferiore e uno maggiore. Oppure può avere limiti aperti, quando viene fornito un intervallo, ad esempio di valori maggiori o inferiori a un determinato numero.

Marchio di classe

È semplicemente costituito dal punto medio dell'intervallo e viene calcolato in media il limite superiore e il limite inferiore.

Larghezza intervallo

I dati possono essere raggruppati in classi di dimensioni uguali o diverse, questa è la larghezza o l'ampiezza. La prima opzione è la più utilizzata, in quanto facilita i calcoli, sebbene in alcuni casi sia indispensabile che le classi abbiano una larghezza diversa.

La larghezza C Dall'intervallo può essere determinato dalla seguente formula:

C = intervallo / n_C

Dove_C È il numero di classi.

Esercizio risolto

Di seguito abbiamo una serie di misurazioni di velocità in km/h, prese con radar, che corrispondono a 50 auto che attraversano una strada in una certa città:

figura 2. Tabella per l'esercizio risolto. Fonte: f. Zapata.

Soluzione

I dati presentati non sono organizzati, quindi il primo passo è raggrupparli in classi.

Passaggi per raggruppare i dati e creare la tabella

Passo 1

Trova la gamma R:

R = (52 - 16) km/h = 36 km/h

Passo 2

Seleziona il numero di classi n_C, Secondo i criteri indicati. Poiché ci sono 50 dati, possiamo scegliere n_C = 6.

Passaggio 3

Calcola la larghezza C dell'intervallo:

C = intervallo /n_C = 36/6 = 6

Passaggio 4

Classi di forma e dati di gruppo come segue: Per la prima classe viene scelto un limite inferiore non appena il valore inferiore presente nella tabella viene aggiunto a questo valore di c = 6, precedentemente calcolato, e ottiene così il limite superiore del prima classe.

Procede allo stesso modo per costruire il resto delle classi, come mostrato nella tabella seguente:

Può servirti: cos'è un numero Capicúa? Proprietà ed esempi

Ogni frequenza corrisponde a un colore nella Figura 2, in questo modo si assicura che non fuggizzazione di valore dall'essere spiegata.

Calcolo medio

X = (5 x 18.5 +25 x 25.0 + 10 x 31.5 + 6 x 38.0 + 2 x 44.5 + 2 x 51.0) ÷ 50 = 29.03 km/h

Calcolo mediano

La mediana è nella classe 2 della tabella, poiché ci sono i primi 30 dati di distribuzione.

-Larghezza dell'intervallo a cui appartiene la mediana: c = 6

-Bordo inferiore dell'intervallo dove la mediana è: b_M = 22.0 km/h

-Numero di osservazioni contenute nell'intervallo f_M = 25

-Dati totali divisi per 2: 50/2 = 25

-Numero di osservazioni prima dell'intervallo contenente la mediana: F_Bm = 5

E l'operazione è:

Mediana = 22.0 + [(25-5) ÷ 25] × 6 = 26.80 km/h

Moda

La moda si trova anche nella classe 2:

-Larghezza dell'intervallo: c = 6

-Limite inferiore della classe in cui si trova la moda: l₁ = 22.0

-Sottrai tra la frequenza della classe modale e la frequenza della classe che la precede: Δ₁ = 25-5 = 20

-Sottrai tra la frequenza della classe modale e la frequenza della classe che segue: Δ₂ = 25 - 10 = 15

Con questi dati l'operazione è:

Moda = 22.0 + [20 ÷ (20 + 15)] x6 = 25.4 km/h

Calcolo della media geometrica

N = f₁ + F₂ + F₃ +... = 50

log g = (5 x log 18.5 + 25 x log 25 + 10 x log 31.5 + 6 x log 38 + 2 × log 44.5 + 2 x log 51) /50 =

log g = 1.44916053

G = 28.13 km/h

Calcolo medio armonico

1/h = (1/50) x [(5/18.5) + (25/25) + (10/31.5) + (6/38) + (2/44.5) + (2/51)] = 0.0366

H = 27.32 km/h

Riepilogo delle misure di tendenza centrale

Le unità variabili sono km/h:

-Media: 29.03

-Mediana: 26.80

-Moda: 25.40

-Media geometrica: 28.13

-Media armonica: 27.32

Riferimenti

1. Berenson, m. 1985. Statistiche per l'amministrazione ed economia. Inter -American s.A.
2. Canavos, g. 1988. Probabilità e statistiche: applicazioni e metodi. McGraw Hill.
3. Devore, j. 2012. Probabilità e statistiche per l'ingegneria e la scienza. 8 °. Edizione. Cengage.
4. Levin, r. 1988. Statistiche per gli amministratori. 2 °. Edizione. Prentice Hall.
5. Spiegel, m. 2009. Statistiche. Serie Schaum. 4 TA. Edizione. McGraw Hill.
6. Trattamento di dati raggruppati. Recuperato da: Itchihuahua.Edu.MX.
7. Walpole, r. 2007. Probabilità e statistiche per l'ingegneria e la scienza. Pearson.