Dimostrazione di eventi indipendenti, esempi, esercizi

Due Gli eventi sono indipendenti, Quando la probabilità che uno di essi accadrà non è influenzata dal fatto che l'altro si verifica, o non si verifica, considerando che questi eventi si verificano in modo casuale.

Questa circostanza è sempre data che il processo generato dal risultato dell'evento 1, non altera in alcun modo la probabilità dei possibili risultati dell'evento 2. Ma se non è così, si dice che gli eventi siano dipendenti.

Figura 1. I marmi colorati sono spesso usati per spiegare la probabilità di eventi indipendenti. Fonte: Pixabay.

Una situazione di eventi indipendenti è la seguente: supponiamo che vengano lanciati due dadi di sei lati, uno blu e l'altro rosa. La probabilità di un 1 nei dadi blu è indipendente dalla probabilità che un 1 -a non venga fuori - nei dadi rosa.

Un altro caso di due eventi indipendenti è quello di lanciare una moneta due volte di seguito. Il risultato del primo lancio non dipenderà dal risultato del secondo e viceversa.

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Dimostrazione di due eventi indipendenti

Per verificare che due eventi siano indipendenti, definiremo il concetto di probabilità condizionata di un evento rispetto a un altro. Per questo è necessario distinguere tra eventi esclusivi ed eventi inclusivi:

Due eventi sono esclusivi se possibili valori o elementi dell'evento A, non hanno nulla in comune con i valori o gli elementi dell'evento B.

Pertanto in due eventi esclusivi, l'insieme di intersezione di A con B è il vuoto:

Eventi esclusivi: A∩b = Ø

Al contrario, se gli eventi sono inclusivi, può succedere che un risultato dell'evento A coincide anche con quello di un altro B, essendo A e B diversi eventi. In questo caso:

Eventi inclusivi: a∩b ≠ Ø

Questo ci porta a definire la probabilità condizionata di due eventi inclusivi, in altre parole, la probabilità di verificarsi dell'evento A, a condizione che l'evento B si verifichi:

P (a •b) = p (a∩b)/p (b)

Pertanto, la probabilità condizionata è la probabilità che si verifica e b divisa per la probabilità che si verifica b. La probabilità che si basa su a:

P (b¦a) = p (a∩b)/p (a (a)

Criteri per sapere se due eventi sono indipendenti

Successivamente daremo tre criteri per sapere se due eventi sono indipendenti. È sufficiente che uno dei tre sia adempiuto, in modo che sia dimostrata l'indipendenza degli eventi.

1.- Se la probabilità che si verificherà fintanto che B è uguale alla probabilità di A, allora si tratta di eventi indipendenti:

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P (athb) = p (a) => a è indipendente da b

2.- Se la probabilità che si verifica B è data, è uguale alla probabilità di B, allora hanno eventi indipendenti:

P (b¦a) = p (b) => b è indipendente da a

3.- Se la probabilità che si verifica a e B, è uguale al prodotto della probabilità che si verifica per la probabilità che si verifica B, si tratta di eventi indipendenti. Anche il reciproco è vero.

P (a∩b) = p (a) p (b) a e b sono eventi indipendenti.

Esempi di eventi indipendenti

Vengono confrontate le suole di gomma prodotte da due diversi fornitori. I campioni di ciascun produttore sono sottoposti a diverse prove da cui sono conclusi se rientrano o meno nelle specifiche. 

figura 2. Varietà di suole in gomma. Fonte: Pixabay.

Il riepilogo risultante dei 252 campioni è il seguente:

Produttore 1; 160 soddisfano le specifiche; 8 Non soddisfare le specifiche.

Produttore 2; 80 soddisfare le specifiche; 4 Non soddisfare le specifiche.

Evento A: "Il campione proviene dal produttore 1".

Evento B: "Che il campione soddisfi le specifiche".

Si desidera sapere se questi eventi A e B sono o non sono indipendenti, per i quali applichiamo uno dei tre criteri menzionati nella sezione precedente.

Criteri: p (bped) = p (b) => b è indipendente da a

P (b) = 240/252 = 0.9523

P (b¦a) = p (a ⋂ b)/p (a) = (160/252)/(168/252) = 0.9523

Conclusione: gli eventi A e B sono indipendenti.

Supponiamo che un evento C: "Che lo spettacolo provenga dal produttore 2"

Sarà l'evento b indipendente dall'evento c?

Applichiamo uno dei criteri.

Criteri: p (b¦c) = p (b) => b è indipendente da c

P (B¦c) = (80/252)/(84/252) = 0.9523 = P (B)

Pertanto, secondo i dati disponibili, la probabilità che una suola in gomma scelta in modo casuale soddisfi le specifiche, è indipendente dal produttore. 

Trasformare un evento indipendente in un dipendente

Diamo un'occhiata al seguente esempio per distinguere tra eventi dipendenti e indipendente. 

Abbiamo una borsa con due palline di cioccolato bianco e due palline nere. La probabilità di ottenere una palla bianca o nera è la stessa nel primo tentativo.

Supponiamo che il risultato fosse una palla bianca. Se la palla estratta viene ripristinata nella borsa, la situazione originale viene ripetuta: due palline bianche e due palline nere.

Quindi in un secondo evento o estrazione, le possibilità di eliminare una palla bianca o una palla nera sono identiche a quelle della prima volta. Sono quindi eventi indipendenti.

Ma se la palla bianca non viene ricostruita nel primo evento perché l'abbiamo mangiata, nella seconda estrazione ci sono maggiori possibilità di ottenere una palla nera. La probabilità che in una seconda estrazione sia ottenuta di nuovo bianca, è diversa da quella del primo evento ed è condizionata dal risultato precedente.

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Esercizi

- Esercizio 1

In una scatola abbiamo messo i 10 marmi in Figura 1, di cui 2 sono verdi, 4 blu e 4 bianchi. Sceglieranno due marmi casuali, uno prima e uno dopo. È richiesto di trovare il
Probabilità che nessuno di loro sia blu, nelle seguenti condizioni:

a) Con sostituzione, cioè tornando alla scatola il primo marmo prima della seconda selezione. Indicare se sono eventi indipendenti o dipendenti.

b) Senza sostituzione, in modo che il primo marmo estratto, sia fuori dalla scatola al momento di effettuare la seconda selezione. Allo stesso modo, sottolinea se sono eventi dipendenti o indipendenti.

Soluzione a

Calcoliamo la probabilità che il primo marmo estratto non sia blu, che è 1 in meno la probabilità che sia blu P (A), o direttamente che non è blu, perché è uscito verde o bianco:

P (a) = 4/10 = 2/5

P (no blu) = 1 - (2/5) = 3/5

O Bene:

P (verde o bianco) = 6/10 = 3/5.

Se il marmo viene restituito, tutto è di nuovo come prima. In questa seconda estrazione ci sono anche 3/5 di probabilità che il marmo estratto non sia blu.

P (no blu, no blu) = (3/5). (3/5) = 9/25.

Gli eventi sono indipendenti, poiché il marmo estratto è tornato alla scatola e il primo evento non influenza la probabilità di verificarsi del secondo.

Soluzione b

Per la prima estrazione, lo stesso è procedere nella sezione precedente. La probabilità che non sia blu è 3/5.

Per la seconda estrazione abbiamo 9 marmi nella borsa, poiché il primo non è tornato, ma non era blu, quindi 9 marmi e 5 non blu non vengono lasciati nella borsa:

P (verde o bianco) = 5/9.

P (nessuno essere blu) = p (prima no blu). P (secondo non -blu /primo non era blu) = (3/5) . (5/9) = 1/3

In questo caso non si tratta di eventi indipendenti, poiché il primo evento condizioni il secondo.

- Esercizio 2

Un negozio ha 15 camicie in tre dimensioni: 3 piccoli, 6 medi e 6 grandi. Sono selezionate 2 camicie in modo casuale.

a) Quale probabilità entrambe le camicie selezionate sono piccole, se una viene rimossa per la prima volta e senza sostituire l'altro un altro?

b) Ciò che è probabile, entrambe le camicie selezionate sono piccole, se una viene rimossa per la prima volta, il secondo viene sostituito e il secondo viene rimosso?

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Soluzione a

Ecco due eventi:

Evento A: la prima camicia selezionata è piccola

Evento B: la seconda maglietta selezionata è piccola

La probabilità dell'evento A è: p (a) = 3/15

La probabilità che proviene dall'evento B è: P (B) = 2/14, perché una maglietta era già stata estratta (14), ma è anche desiderata incontrare l'evento alla prima maglietta estratta deve essere piccola e da lì ci sono 2 piccoli.

In altre parole, la probabilità di A e B sarà il prodotto delle probabilità è:

P (a e b) = p (bped) p (a) = (2/14) (3/15) = 0.029

Pertanto, la probabilità di essere dell'evento A e B è uguale al prodotto che l'evento è, a causa della probabilità dell'evento B se l'evento è stato dato.

Si dovrebbe notare che:

P (B..A) = 2/14

La probabilità che sia dell'evento B indipendentemente dal fatto che l'evento sia dato sarà o meno:

P (b) = (2/14) Se il primo era piccolo o p (b) = 3/14 se il primo non era piccolo.

In generale, si può concludere quanto segue:

P (bped) non è uguale a p (b) => b non è indipendente da a

Soluzione b

Ci sono di nuovo due eventi:

Evento A: la prima camicia selezionata è piccola

Evento B: la seconda maglietta selezionata è piccola

P (a) = 3/15

Ricorda qual è il risultato, la camicia viene sostituita dal lotto e di nuovo rimuove a caso una camicia. La probabilità che era dell'evento B, se l'evento A è stato dato:

P (B..A) = 3/15

La probabilità che gli eventi vengano dati a e b sarà:

P (a e b) = p (bped) p (a) = (3/15) (3/15) = 0.04

Notare che: 

P (b..a) è uguale a p (b) => b è indipendente da a.

- Esercizio 3

Considera due eventi indipendenti a e b. È noto che la probabilità che si verifichi l'evento è 0,2 e la probabilità che si verifichi l'evento B è 0,3. Quale sarà la probabilità che si verifichino entrambi gli eventi?

Soluzione 2

Sapendo che gli eventi sono indipendenti, è noto che la probabilità che si verifichino entrambi gli eventi è il prodotto delle probabilità individuali. Cioè per dire,

P (a∩b) = p (a) p (b) = 0,2 * 0,3 = 0,06

Si noti che è una probabilità molto più bassa della probabilità che ogni evento si verifichi indipendentemente dal risultato dell'altro. O in altre parole, molto meno delle probabilità individuali.

Riferimenti

1. Berenson, m. 1985. Statistiche per l'amministrazione ed economia. Inter -American s.A. 126-127.
2. Monterrey Institute. Probabilità di eventi indipendenti. Recuperato da: Monterreyinstitute.org
3. Professore Mats. Eventi indipendenti. Recuperato da: YouTube.com
4. Superprof. Tipi di eventi, eventi dipendenti. Recuperato da: SuperProf.È
5. Tutor virtuale. Probabilità. Estratto da: vitutor.netto
6. Wikipedia. Indipendenza (probabilità). Recuperato da: Wikipedia.com