Formula di legge biot-savart, dimostrazione, applicazioni, esercizi

IL Legge biot-savart stabilisce una relazione tra il campo magnetico DB  in un punto p, prodotto da un filo sottile che trasporta una corrente I e la cui lunghezza differenziale è DS. Questa legge viene utilizzata per trovare il campo magnetico delle attuali distribuzioni attraverso il Principio di sovrapposizione. 

Ciò significa che per calcolare il campo magnetico totale nel punto P, dobbiamo aggiungere tutti i contributi che ogni parte differenziale DS del filo contribuisce. E questa somma viene eseguita attraverso un integrale effettuato sull'intera distribuzione corrente.

Figura 1. Un segmento di filo trasporta una corrente I, che produce un campo magnetico in un punto P a una certa distanza dal filo, che viene calcolato dalla legge biot-savart. Fonte: Bauer, W. Fisica per ingegneria e scienze.

In questo modo puoi calcolare il campo che produce fili con corrente di diverse geometrie.

La legge di Biot-Savart prende il nome dai due fisici francesi che l'hanno scoperta nel 1820: Jean Marie Biot (1774-1862) e Felix Savart (1791-1841). Per raggiungere questo obiettivo, hanno dovuto studiare l'intensità e la forma del campo magnetico prodotto da numerose distribuzioni attuali.

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Formula

L'espressione matematica della legge Biot-Savart è la seguente:

Mantiene analogie con il suo equivalente per calcolare il campo elettrico: la legge di Coulomb, solo che il campo magnetico DB in p è perpendicolare sul piano in cui si trova il filo. Possiamo vederlo nella Figura 1.

L'espressione precedente può anche essere scritta come segue:

In entrambe le espressioni, R È il vettore di posizione, diretto dall'elemento corrente IDS al punto in cui si desidera calcolare il campo.

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Per la sua parte, R Con un accento di circonflejo è il vettore unitario che è diretto nella sua stessa direzione e direzione, ma con un modulo pari a 1. Il vettore R È rappresentato come segue:

Per questo motivo, sostituendo nell'equazione precedente, quella che ha r³ Nel denominatore, l'espressione r viene immediatamente raggiunta² Nel denominatore.

Oltre ai vettori di cui sopra, la formula contiene la costante μ_O, chiamata Permeabilità al vuoto e il cui valore è:

μ_O = 4π x10^-7 T.m/ a.

Se vogliamo calcolare il vettore del campo magnetico, è necessario integrare tutta la distribuzione corrente, per la quale abbiamo bisogno dei dati sulla sua geometria:

Il prodotto vettoriale e la regola della mano destra

La legge Biot-Savart prevede un prodotto vettoriale tra i vettori IDS E R. Il risultato di un prodotto vettoriale tra due vettori è anche un vettore.

In questo caso il modulo prodotto vettoriale IDS X R IS: (IDS) ⋅R⋅Senθ, dove θ è l'angolo tra IDS E R, come mostrato nella Figura 1.

In questo modo l'entità del campo dB Esso è dato da:

La direzione e il significato possono essere determinati con la regola della mano destra, che è illustrata in questa figura:

figura 2. Regola destra per la legge biot-savart. Fonte: Wikimedia Commons.

Invitiamo il lettore a posizionare la mano destra seguendo i vettori delle figure 1 e 2. Per la Figura 1, l'indice deve puntare a sinistra, seguendo l'IDS o idl, Il dito medio punta secondo il vettore R unitario.

E infine il pollice è diretto e questa è la direzione del campo magnetico.

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Dimostrazione della legge Biot-Savart

La legge Biot-Savart è eminentemente sperimentale, il che significa che la sua formulazione proviene da molte osservazioni sul comportamento del campo magnetico prodotto dai cavi attuali.

Osservazioni Biot e Savart

Queste erano le osservazioni degli scienziati francesi sul campo magnetico DB:

-L'entità di dB è inversamente proporzionale a R².

-È anche direttamente proporzionale all'entità dell'elemento corrente, che si chiama IDS E anche a sen θ, dove θ è l'angolo tra i vettori dS E R.

-DB è perpendicolare ad entrambi IDS -la direzione della corrente R.

-Diversi di dB è tangenziale a un cerchio radiofonico R filo -ceduto. In altre parole, il campo B prodotto da un segmento attuale è costituito da circonferenze concentriche alla sterile.

-Il significato in cui ruota B È dato dalla regola del pollice destro: il pollice destro è puntato nella direzione della corrente e le restanti quattro dita sono arricciate attorno al filo, in seguito alla circolazione del campo.

Tutte queste osservazioni sono combinate nell'espressione matematica della legge precedentemente descritta.

Applicazioni di legge biot-savart

Quando la distribuzione corrente ha un'elevata simmetria, l'integrale può essere facilmente risolto, vediamo alcuni casi:

Filo rettilineo e sottile

Un filo rettilineo di lunghezza l trasporta una corrente i, come quella che appare nella figura.

Illustra la geometria necessaria per il calcolo del campo. Questo è perpendicolare al foglio di carta, in uscita sul piano se la corrente scorre da sinistra a destra e in arrivo altrimenti (controllalo con la regola della mano destra).

Può servirti: paramegnetismoFigura 3.- A sinistra la geometria necessaria per calcolare il campo magnetico che produce un segmento di filo sottile nel punto P. A destra gli angoli che determinano la posizione di p rispetto alle estremità del segmento. Fonte: Serway, R. Fisica per la scienza e l'ingegneria.

Essere K  Il vettore dell'unità nella direzione perpendicolare al piano, dopo aver eseguito il processo di integrazione, il campo magnetico che il filo produce in p è:

Spira circolare

Il ciclo radio circolare A Trasporta una corrente come mostrato nella figura e produce un campo magnetico DB -in verde scuro- al punto p sull'asse assiale, a una distanza X dal centro.

Figura 4.- Geometria per il calcolo del campo prodotto dalla spasi circolare nel punto P sull'asse assiale. Fonte: Wikimedia Commons.

Un altro elemento corrente situato sul lato opposto produrrebbe un altro contributo alla dB (verde chiaro), in modo tale che il suo componente verticale sia cancellato con il primo.

Il risultato è che il campo magnetico netto è orizzontale, quindi è integrato solo in questi componenti, risultando:

Esercizio risolto

C'è un filo estremamente lungo che trasporta una corrente di 2 per fluire come mostrato nell'immagine. Calcola l'entità del campo magnetico ad una distanza radiale di 5 cm dal filo.

Figura 5.- Linee di campo magnetico di un segmento di filo rettilineo che trasporta corrente. Fonte: Wikimedia Commons.

Soluzione

Dal momento che è un filo molto lungo, possiamo prendere l'espressione per il segmento rettilineo e fare θ₁= 0º e θ₂ = 180º per gli angoli limite. Questo è sufficiente per la lunghezza del filo per conservare l'infinito.

In questo modo avremo il campo è:

Questo semplifica:

Ora sostituiamo i valori dell'affermazione:

I = 2 a

R = 5 x10^-2 M

μ_O= 4π x10^-7 T.m/ a

La direzione e il senso di B Sono mostrati nella Figura 5, dove la direzione che lascia il foglio è stata presa come K.

Riferimenti

1. Bauer, w. 2011. Fisica per ingegneria e scienze. Volume 1. Mc Graw Hill.
2. Figueroa, d. 2005. Serie: Physics for Science and Engineering. Volume 6. Elettromagnetismo. A cura di Douglas Figueroa (USB).
3. Giancoli, d.  2006. Fisica: principi con applicazioni. 6 °. Ed Prentice Hall.
4. Resnick, r. 1999. Fisico. Vol. 1. 3a ed. in spagnolo. Azienda editoriale continentale S.A. di c.V.
5. Sears, Zemansky. 2016. Fisica universitaria con fisica moderna. 14 °. Ed. Volume 1.
6. Serway, r., Jewett, J. 2008. Fisica per la scienza e l'ingegneria. Volume 2. 7 °. Ed. Apprendimento del Cengage.