Proprietà integrali integrate, applicazioni, calcolo (esempi)

IL Integrale indefinito È l'operazione inversa della derivazione e indicarlo viene utilizzato il simbolo "s" allungato: ∫. Matematicamente l'integrale indefinito della funzione f (x) è scritto:

∫f (x) dx = f (x) + c

Dove l'integrazione f (x) = f '(x) è una funzione della variabile X, che a sua volta è quello derivato da un'altra funzione f (x), chiamata integrale o antiderivativa.

Figura 1. L'integrale indefinito è uno degli strumenti più potenti per la modellazione matematica. Fonte: Wikimedia Commons. Sfondo / dominio pubblico.

A sua volta, C è una costante che è conosciuta come Costante di integrazione, che accompagna sempre il risultato di qualsiasi integrale indefinito. Vedremo la sua origine immediatamente attraverso un esempio.

Supponiamo che ci chiediamo di trovare il seguente integrale indefinito i:

I = ∫x.Dx

Identifico immediatamente f '(x) con x. Significa che dobbiamo fornire una funzione f (x) in modo tale che il suo derivato sia x, qualcosa che non è difficile:

f (x) = ½ x²

Sappiamo che quando deriviamo f (x) arriviamo a f '(x), lo verifichiamo:

[½ x²] '= 2. (½ x) = x

Ora, la funzione: f (x) = ½ x² + 2 soddisfa anche il requisito, poiché la derivazione è lineare e il derivato di una costante è 0. Altre funzioni che, se derivate, risultano in f (x) = sono:

½ x² -1, ½ x² + quindici; ½ x² - √2 ..

E in generale tutte le funzioni della forma:

f (x) = ½ x² + C

Sono risposte corrette per il problema.

Una di queste funzioni è chiamata antiderivativa o primitiva di f '(x) = x è precisamente quell'insieme di tutti gli antiderivativi di una funzione che è noto come integrale indefinito.

È sufficiente conoscere uno dei primitivi, perché come visto, l'unica differenza tra loro è la costante C dell'integrazione.

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Se il problema contiene condizioni iniziali, è possibile calcolare il valore di C per adattarsi a esse (vedere l'esempio risolto in seguito).

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Come calcolare un integrale indefinito

Nell'esempio precedente è stato calcolato ∫x.dx perché una funzione f (x) si sapeva che quando era derivata, ha comportato l'integrazione.

Ecco perché dalle funzioni più conosciute e dai loro derivati, gli integrali di base possono essere risolti.

Inoltre ci sono alcune proprietà importanti che ampliano la gamma di possibilità durante la risoluzione di un integrale. Essere K Un numero reale, quindi è vero che:

1.- ∫kdx = k ∫dx = kx + c

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

3.- ∫h (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

4.- ∫x^N Dx = [x^N+1/n + 1] + c (n ≠ -1)

5.- ∫x ^-1 Dx = ln x +c

A seconda dell'integrazione, ci sono diversi metodi algebrici e numerici per risolvere gli integrali. Qui ci menzioniamo:

-Cambiamento di variabile

-Sostituzioni algebriche e trigonometriche.

-Integrazione per parti

-Decomposizione in semplici frazioni per integrare il tipo razionale

-Uso di tabelle

-Metodi numerici.

Ci sono integrali che possono essere risolti con più di un metodo. Sfortunatamente, non esiste un criterio unico per determinare a priori il metodo più efficace per risolvere un integrale specifico.

In effetti, alcuni metodi consentono di raggiungere la soluzione di alcuni integrali più rapidamente di altri. Ma la verità è che acquisire abilità risolvendo gli integrali devi praticare con ogni metodo.

- Esempio risolto

Risolvere:

Soluzione

Facciamo una semplice variazione variabile per la quantità subradica:

U = x-3

Con:

X = u+3

Derivare entrambe le parti su entrambe le espressioni che ottieni:

Dx = du

Ora sostituiamo l'integrale, che indicheremo come io:

I = ∫x √ (x-3) dx = ∫ (u+3) (√u) du = ∫ (u+3) u^1/2 du

Può servirti: variabile ordinale

Applichiamo proprietà distributiva e moltiplicazione dei poteri di uguale base e si ottiene:

I = ∫ (u^3/2 + 3 u^1/2) du

Per la proprietà 3 della sezione precedente:

I = ∫ u^3/2 Du +∫ 3u^1/2 du

Ora viene applicata la proprietà 4, che è noto come Regola di potere:

Primo integrale

∫ u^3/2 du = [u ^{3/2 + 1} / (3/2 + 1)] + C₁ =

= [u^5/2  / (5/2)] + C₁ = (2/5) u^5/2  + C₁

Secondo integrale

∫ 3u^1/2 Du = 3 ∫u^1/2 du = 3 [u^3/2  / (3/2)] + C₂ =

= 3 (2/3) u^3/2  + C₂ = 2U^3/2  + C₂

Quindi i risultati si uniscono:

I = (2/5) u^5/2  + 2U^3/2  + C

Le due costanti possono radunarsi in una senza problemi. Infine, non dobbiamo dimenticare di restituire il cambio di variabile che è stato fatto prima ed esprimere il risultato in termini di variabile originale X:

I = (2/5) (X-3)^5/2  + 2 (X-3)^3/2  + C

È possibile tener conto del risultato:

I = 2 (X-3) ^3/2 [(1/5) (X-3) +1] + C = (2/5) (X-3) ^3/2 (x + 2) + c

Applicazioni

L'integrale indefinito si applica a numerosi modelli nelle scienze naturali e sociali, ad esempio:

Movimento

Nella soluzione dei problemi di movimento, per calcolare la velocità di un cellulare, noto la sua accelerazione e nel calcolo della posizione di un cellulare, noto la sua velocità.

Economia

Quando si calcola i costi di produzione e si modellano una funzione di domanda, ad esempio.

Esercizio di domanda

La velocità minima richiesta da un oggetto per sfuggire all'attrazione gravitazionale terrestre è data da:

In questa espressione:

-V è la velocità dell'oggetto che vuole fuggire dalla terra

-Ed è la distanza misurata dal centro del pianeta

-M è la massa terrestre

-G è una gravitazione costante

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È richiesto di trovare la relazione tra v E E, Risolvere gli integrali indefiniti, se all'oggetto viene conferita una velocità iniziale V_O E il raggio della terra è noto e è chiamato r.

figura 2.- Una soia satellitare artificiale. Se viene fornita troppa velocità, sfuggirà alla gravità della Terra, la velocità minima per questo si chiama si chiama velocità di scarico. Fonte: Wikimedia Commons.

Soluzione

Ci vengono presentati due integrali indefiniti da risolvere attraverso le regole di integrazione:

Yo₁ = ∫v dv = v²/2 + C₁

Yo₂ = -Gm ∫ (1/y²) dy = -gm ∫ e^-2 dy = -gm [e^-2+1/(-2 + 1)] + C₂ = GM. E^-1 + C₂

Uguale a i₁ e io₂:

v²/2 + C₁ = GM. E^-1 + C₂

Le due costanti possono radunarsi in una:

Una volta risolti gli integrali, applichiamo le condizioni iniziali, che sono le seguenti: quando l'oggetto è sulla superficie della Terra, si trova a una distanza R dal centro dello stesso. Nell'affermazione ci dicono che è la distanza misurata dal centro della terra.

E solo essere in superficie è che la velocità iniziale è dotata di cui sfuggirà all'attrazione gravitazionale del pianeta. Pertanto possiamo stabilire che V (R) = V_O. In tal caso, nulla ci impedisce di sostituire questa condizione nel risultato che abbiamo appena ottenuto:

E da V_O È noto, così come G, M e R, possiamo cancellare il valore della costante di integrazione C:

Che possiamo sostituire nel risultato degli integrali:

E finalmente chiariamo V², factoring e raggruppamento correttamente:

Questa è l'espressione che mette in relazione la velocità v di un satellite che ha sparato dalla superficie del pianeta (raggio R) con rapidità iniziale vo, Quando è a distanza E Dal centro del pianeta.

Riferimenti

1. Haeussler, e. 1992. Matematica per l'amministrazione ed economia. Gruppo editoriale IberoAmerica.
2. Iperfisica. Velocità di fuga. Recuperato da: hthyperphysics.Phy-Astr.GSU.Edu.
3. Larson, r. 2010. Calcolo di una variabile. 9na. Edizione. McGraw Hill.
4. Purcell, e. 2007. Calcolo con geometria analitica. 9na. Edizione. Pearson Education.
5. Wolfram Mathworld. Esempio di integrali. Recuperato da: Mathworld.Wolfram.com.