Identità trigonometriche (esempi ed esercizi)

IL Identità trigonometriche Queste sono relazioni tra ragioni trigonometriche, che sono vere per qualsiasi valore della variabile. Per esempio:

Tan θ = sin θ /cos θ

È un'identità trigonometrica che mette in relazione tre ragioni dell'angolo θ, la tangente, il seno e il coseno di detto angolo.

Figura 1. Alcune identità trigonometriche ampiamente utilizzate nel calcolo. Fonte: f. Zapata.

Questa identità è vera per tutto il valore, tranne quelli che rendono 0 il denominatore. Il cos θ è 0 per θ = ± π/2, ± 3π/2, ± 5π/2 ... Un altro esempio di identità trigonometrica è:

Sin x . Sec x . Ctg x = 1

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Dimostrazione

Esistono due modi fondamentali per dimostrare che è vera un'identità trigonometrica:

1- Trasformare uno dei membri dell'uguaglianza nell'altro, attraverso comode manipolazioni algebriche.

2- Sviluppare entrambi i membri dell'uguaglianza separatamente, fino a quando le rispettive espressioni finali di ciascuna sono esattamente le stesse.

Nell'identità proposta, trasformeremo il lato sinistro dell'uguaglianza, per il quale esprimiamo CTG X e Sec X in termini di seno e coseno come segue:

Ctg x = cos x / sen x

Sec x = 1 /cos x

Sostituiamo questa espressione sul lato sinistro dell'identità e semplifichiamo:

Sin x . (1/cos x). (cos x / sen x) = (sin x. cos x / cos x . sin x) = 1

E la veridicità dell'identità è già dimostrata.

Tipi di identità trigonometriche

Esistono diversi tipi di identità trigonometriche. Successivamente descriveremo brevemente quelli principali:

- Identità trigonometriche fondamentali

Distinguiamo due tipi di identità fondamentali:

I) quelli che sono espressi attraverso i motivi di base, il coseno e la tangente:

• Sec x = 1 /cos x
• Danno x / 1 / sin x
• Ctg x = 1 / tg x
• Tg x = sin x /cos x
• Ctg x = cos x / sen x

I) quelli derivati ​​dalla parità. Sappiamo attraverso il suo grafico che Sen X è una funzione strana, il che significa che:

Può servirti: 60 divisori

sin (-x) = - sin x

Per la sua parte Cos X è una coppia, quindi:

cos (-x) = cos x

COSÌ:

tg (-x) = sen (-x) / cos (-x) = -sen x / cos x

Allo stesso modo:

• COTG (-X) = -CTG X
• sec (-x) = sec x
• danno (-x) = - danno x

- Identità pitagoriche

Sono quelli ottenuti dall'applicazione del teorema di Pitagora al triangolo rettangolare dei gatti A e B e Hypotenusa C. Vediamo:

figura 2.- Dal teorema di Pitagora, si ottengono le tre identità trigonometriche pitagoriche. Fonte: Pixabay.

Il teorema di Pitagora afferma che:

C² = a² + B²

Dividendo tutto tra C²:

C² / C² = (a² / C²) + (B² / C²)

Il termine a sinistra è 1 e ricorda che il seno e il coseno dell'angolo acuto α sono definiti come:

sin α = a/c

cos α = b/c

Risultato:

1 = (sin α)² + (cos α)²

Questa identità è conosciuta come identità fondamentale.

La procedura può essere eseguita dividendo tra² e B², che dà origine a altre due identità:

Sec² α = 1 + tg² α

Har² α = 1 + ctg² α

- Formule per il coseno e il seno della somma/sottrazione degli angoli

Le principali identità trigonometriche per il coseno, il seno e la tangente della somma e della sottrazione sono le seguenti:

Dimostrazione SEN (α + β) e cos (α + β)

Queste identità possono essere dimostrate geometricamente o anche attraverso la formula Eulero:

E^Iα = cos α + i sin α

Diamo un'occhiata a cosa succede alla formula quando si sostituiscono la somma di due angoli α e β:

E^{I (α +β)} = cos (α + β) + I sin (α + β)

Questa espressione è complessa, la sua parte reale è cos (α + β) e la sua parte immaginaria è I peccato (α + β). Manteniamo questo risultato per usarlo in seguito e ci concentriamo sullo sviluppo della parte esponenziale:

E^{I (α +β)} = e^Iα ⋅ e^Iβ = (cos α + i sin α) . (cos β + i sin β) =

Può servirti: prisma esagonale

= cos α⋅cos β + cos α⋅i sen β + i⋅sen α cos β - sen α⋅sen β

La parte reale di questa espressione è quella che non viene moltiplicata per l'unità immaginaria "i":

cos α⋅cos β - sen α. Sen β

La parte immaginaria quindi è:

I (cos α⋅sen β + sen α⋅cos β)

Perché due espressioni complesse siano le stesse, la parte reale di una deve essere uguale alla parte reale dell'altra. Lo stesso vale per le parti immaginarie.

Prendiamo il risultato salvato e lo confrontiamo con questo:

cos α. cos β - sen α. sin β = cos (α + β)

i (cos α⋅sen β + sen α⋅cos β) = I sin (α + β)

sin (α + β) = (cos α. sin β + sen α⋅cos β)

- Formule per il doppio angolo

Nelle formule precedenti prendiamo β = α e sviluppiamo:

sin (α + α) = Sen 2 α = Sen α⋅cos α + cos α. sin α = 2⋅ sin α ⋅ cos α

cos (α + α) = cos 2 α = cos α⋅cos α - sen α⋅sen α = cos² α - sen ² α

Tg (α + α) = Tg 2 α = [Tg α + Tg α] / [1- Tg α⋅TG α] = 2Tg α / 1-² α

Se nella seconda espressione COS viene sostituita² α = 1 - sen² α si ottiene:

cos 2 α = cos² α- (1- cos² α) = 2 cos² α -1

- Formule a metà angolo

In quest'ultima espressione sostituiamo α con α/2, rimane quanto segue:

cos α = 2 cos ²(α/2) -1

Cleaning:

Esercizi risolti

- Esercizio 1

Mostra che:

Soluzione

Lavoreremo algebricamente il termine a sinistra in modo che sembri a destra. Come nel termine giusto appare sen x, il primo passo è esprimere cos²X in termini di sen x in modo che tutto sia in termini di stessa ragione trigonometrica:

Può servirti: frazione equivalente a 3/5 (soluzione e spiegazione)

Quindi 1 - Sen è il fattore² x per essere una differenza di quadrati perfetti. Per fare ciò, si autorizza dall'identità fondamentale:

cos²X = 1 - sen² X

1 - Sen² x = (1- sin x) (1+senx)

E la fattorizzazione nell'espressione originale viene sostituita:

Il termine (1- Senx) è semplificato e rimane un'uguaglianza:

1 + sen x = 1 + senx

- Esercizio 2

Risolvi la seguente equazione trigonometrica e dai la soluzione per valori tra 0 e 360º:

TG x + sec² x = 3

Soluzione

Nel termine della sinistra ci sono due ragioni trigonometriche, quindi è necessario ridurre tutto a uno, per poter liberare l'ignoto. Il termine sec² X è espresso attraverso una delle identità pitagoriche:

Sec² α = 1 + tg² α

Sostituendo l'equazione:

TG X + 1 + TG² x = 3

Riorganizzare i termini:

Tg² x + tg x + 1 = 3

Questa equazione viene risolta modificando la variabile:

tg x = u

O² + U + 1 - 3 = 0 → U² + U - 2 = 0

Questa equazione di secondo grado è facilmente risolta dalla fattorizzazione:

(U +2) (u-1) = 0

Quindi u₁ = -2 e u₂ = 1, equivalente a:

Tg x₁ = -2

Tg x₂ = 1

Finalmente:

X₁ = arctg (-2) = 296.6 °

X₂  = arctg (1) = 45º

Riferimenti

1. Carena, m. 2019. Manuale di matematica preuniversity. Università nazionale della costa.
2. Figuera, j. 1999. Matematica. 1 °. Diversificato. Edizioni collegiali bolivariane.
3. Hoffman, J. Selezione di problemi di matematica. Volume 4.
4. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Wikipedia. Identità e formule di trigonometria. Recuperato da: è.Wikipedia.org.
6. Zapata, f. 4 modi per risolvere un'equazione di secondo grado. Recuperato da: Francesphysics.Blogspot.com.
7. Zill, d. 1984. Algebra e trigonometria. McGraw Hill.