Funzioni e applicazioni trigonometriche del cerchio unitario

Lui Circolo unitario È un cerchio di raggio pari a 1, che di solito è focalizzato sul punto (0,0) del sistema di coordinate cartesiane XY. Viene utilizzato per definire facilmente le ragioni trigonometriche degli angoli dai rettangoli.

L'equazione del cerchio unitario focalizzato sull'origine è:

X² + E² = 1

Figura 1. Il cerchio unitario. Fonte: Wikimedia Commons.

Nella Figura 1 abbiamo il cerchio unitario, in cui ogni stanza è in un quadrante. I quadranti sono numerati con numero romano e sono contati anti -horary.

Nel primo quadrante c'è un triangolo. Le categorie, rispettivamente in rosso e in blu.8 e 0.6, mentre l'ipotenusa in verde misura 1, perché è una radio.

L'angolo acuto α è un angolo centrale in posizione standard, il che significa che il suo vertice coincide con il punto (0,0) e il suo lato iniziale con l'asse X positivo. L'angolo è misurato contrariamente alle mani dell'orologio e per convenzione viene assegnato un segno positivo.

Bene, nel cerchio unitario, le coordinate di Coseno e il seno di α sono rispettivamente le coordinate xe y del punto B, che nell'esempio sono 0.8 e 0.6.

Da questi due sono definiti:

• Tg α = sin α/cos α = 0.6/0.8 = 0.75
• Sec α = 1/ cos α = 1/0.8 = 1.25
• danno α = 1 / sin α = 1/0.6 = 1.66 ..
• ctg α = 1/tg = 0.8/0.6 = 1.33 ..

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Applicazioni di cerchio unitario

Se ci limitiamo ai rettangoli, le ragioni trigonometriche verrebbero applicate solo agli angoli acuti. Tuttavia, con l'aiuto del cerchio unitario, il calcolo delle ragioni trigonometriche è esteso a qualsiasi angolo α.

figura 2.- Angoli nei quadranti e l'angolo di riferimento nel cerchio unitario. Fonte: f. Zapata.

Per questo, è necessario definire prima il concetto di angolo di riferimento α_R:

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Angolo di riferimento

Sia α un angolo in posizione standard (quello di cui Lato iniziale coincide con l'asse X positivo), il suo angolo di riferimento α_R È tra i suoi lato terminale e l'asse x. La Figura 2 mostra l'angolo di riferimento per gli angoli nel quadrante I, II, III e IV.

Per ogni quadrante, l'angolo di riferimento viene calcolato come segue:

-Primo quadrante: α_R = α

-Secondo quadrante: α_R = 180º - α

-Terzo quadrante: α_R = α - 180º

-Quarto quadrante: α_R = 360º - α

Si noti che il primo angolo di quadrante α coincide con il suo angolo di riferimento. Bene, le ragioni trigonometriche per l'angolo α sono le stesse del loro angolo di riferimento, con i segni secondo coloro che hanno i quadranti in cui cade il lato terminale di α.

In altre parole, le ragioni trigonometriche coseno e il seno dell'angolo α coincidono con le coordinate del punto P, secondo la Figura 2.

Nella figura seguente vediamo le ragioni trigonometriche di alcuni angoli notevoli, come dedotto dal cerchio unitario.

Figura 3. Coordinate di alcuni punti notevoli nel cerchio unitario. Fonte: Wikimedia Commons.

I motivi per cui Coseno e il seno di qualsiasi angolo nel quadrante I sono tutti positivi. Per α = 60º abbiamo le coordinate (1/2; √3/2), che corrispondono rispettivamente a cos 60º e sen 60º.

Le coordinate di α = 120º sono (-1/2; √3/2), poiché essendo nel secondo quadrante, la coordinata X è negativa.

Layout dei grafici del coseno e del seno

Con l'aiuto del cerchio unitario e le coordinate dei punti p su di esso, è possibile disegnare i grafici delle funzioni cos t e sen t, come vedremo di seguito.

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Per questo, diverse posizioni di punto P (t) si trovano nel cerchio unitario. Inizieremo con il grafico della funzione f (t) = sen t.

Possiamo osservare che quando passiamo da t = 0 a t = π/2 (90º) il valore di sen t aumenta a 1, che è il valore massimo.

D'altra parte, da t = π/2 a t = 3π/2 il valore di sin t diminuisce da 1, passando attraverso 0 a t = π al suo minimo di -1 a t = 3π/2.

La figura mostra il grafico del primo ciclo di f (t) = sen t che corrisponde al primo ritorno al cerchio unitario, questa funzione è periodica periodica 2π.

Figura 4. Figura del grafico di f (t) = sen t per un ciclo. Fonte: Zill, D. Algebra, trigonometria e geometria analitica.

È possibile eseguire una procedura analoga per ottenere il grafico della funzione f (t) = cos t, come mostrato nella seguente animazione:

Figura 5. I grafici del seno e del coseno funzionano dal cerchio unitario. Fonte: Wikimedia Commons.

Proprietà di funzioni di Seno e Coseno

-Entrambe le funzioni sono continue nell'insieme di numeri reali e anche periodici, del periodo 2π.

-Il dominio delle funzioni f (t) = sen t e f (t) = cos t sono tutti numeri reali: (-∞, ∞).

-Per la via del seno o del seno e del coseno hai l'intervallo [-1,1]. Le staffe indicano che -1 e 1 sono inclusi.

- Gli zeri sin t sono i valori che corrispondono a nπ con n intero, mentre gli zeri di cos t sono [(2n+1)/2] con n anche interi.

-La funzione f (t) = sin t è dispari, ha una simmetria rispetto all'origine mentre la funzione cos t è uniforme, la sua simmetria è rispetto all'asse verticale.

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Esercizi risolti

- Esercizio 1

Dato cos t = - 2/5, che è la coordinata orizzontale del punto P (t) nel cerchio unitario nel secondo quadrante, ottieni la coordinata verticale corrispondente Sen t.

Soluzione

Poiché p (t) appartiene al cerchio unitario, in cui è soddisfatto:

X² + E² = 1

Perciò:

y = ± √ 1 - x²

Poiché p (t) è nel secondo quadrante, verrà preso il valore positivo. La coordinata verticale del punto p (t) è y:

y = √ 1 - (-2/5)² = √0.84

- Esercizio 2

Un modello matematico per la temperatura T In gradi Fahrenheit in ogni giorno, T Ore dopo mezzanotte, è dato da:

T (t) = 50 + 10 sen [(π /12) × (t - 8)]

Con T compreso tra 0 e 24 ore. Trovare:

a) La temperatura alle 8 del mattino.

b) ore durante le quali t (t) = 60 ºF

c) temperature massime e minime.

Soluzione a

Sostituiamo t = 8 nella funzione data:

T (8) = 50 + 10 sen [(π/12) × (t-8)] = 50 + 10 sen [(π/12) × (8-8)] =

= 50 + 10 x Sen 0 = 50 ºF

Soluzione b

50 + 10 sen [(π/12) × (T-8)] = 60

È un'equazione trigonometrica e devi cancellare la "T" sconosciuta:

10 sen [(π/12) × (t -8)] = 60 - 50 = 10

sin [(π/12) × (t-8)] = 1

Sappiamo che sen π/2 = 1, quindi l'argomento mammario deve essere 1:

(π/12) × (T-8) = π/2

T-8 = 6

t = 14 h

Si è concluso che 14 ore dopo mezzanotte la temperatura è di 60 °, cioè le 2 pm. Non c'è altra ora durante il giorno (24 ore) in cui ciò accade.

Soluzione c

La temperatura massima corrisponde al valore in cui Sen [(π/12) × (T-8)] = 1 ed è 60 ºF. D'altra parte, il minimo si verifica se sen [(π/12) × (t -8)] = -1 ed è 40 ºF.

Riferimenti

1. Figuera, j. 1999. Matematica. 1 °. Diversificato. Edizioni collegiali bolivariane.
2. Hoffman, J. Selezione di problemi di matematica. Volume 4.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. La matematica è divertente. Cerchio unitario. Recuperato da: da: Mathsisfun.com.
5. Wikipedia. Identità e formule di trigonometria. Recuperato da: è.Wikipedia.org.
6. Zill, d. 1984. Algebra e trigonometria. McGraw Hill.