Funzioni trigonometriche inverse, derivate, esempi, esercizi

IL Funzioni trigonometriche inverse, Come suggerisce il nome, sono le corrispondenti funzioni inverse del seno, coseno, tangenti, cotangenti, essiccanti e funzioni della mietitrice.

Le funzioni trigonometriche inverse sono indicate con lo stesso nome della corrispondente funzione trigonometrica diretta più il prefisso ARCO. Così:

1.- Arcsen (x) È la funzione trigonometrica inversa della funzione sin (x)

2.- Arccos (x) È la funzione trigonometrica inversa della funzione cos (x)

3.- Arctan (x) È la funzione trigonometrica inversa della funzione Tan (x)

4.- Arcot (x) È la funzione trigonometrica inversa della funzione COT (X)

5.- Arcsec (x) È la funzione trigonometrica inversa della funzione sec (x)

6.- Arcccsc (x) È la funzione trigonometrica inversa della funzione CSC (X)

Figura 1. Funzioni arcsen (x) (in rosso) e arccos (x) (in blu). Fonte: Wikimedia Commons.

La funzione θ = arcsen (x) Si traduce in un arco unitario θ (o angolo in radianti θ) tale che sin (θ) = x.

Pertanto, ad esempio, Arcsen (√3/2) = π/3 Poiché come è noto, il seno di π/3 radianti è uguale a √3/2.

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Valore principale delle funzioni trigonometriche inverse

In modo che una funzione matematica f (x) abbia inverso g (x) = f^-1(x) È necessario che questa funzione sia Iniettivo, Ciò significa che ogni valore e l'insieme di arrivo della funzione f (x) provengono da uno e solo un valore x.

È chiaro che questo requisito non è soddisfatto da alcuna funzione trigonometrica. Per chiarire il punto, notiamo che il valore y = 0,5 può essere ottenuto dalla funzione sinusale nei modi seguenti:

• sin (π/6) = 0,5
• sin (5π/6) = 0,5
• sin (7π/6) = 0,5

E molti altri, poiché la funzione del seno è periodica con il periodo 2π.

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Al fine di definire le funzioni trigonometriche inverse, è necessario limitare il dominio delle loro corrispondenti funzioni trigonometriche dirette, in modo che soddisfino il requisito di iniettività.

Questo dominio limitato della funzione diretta sarà l'intervallo principale o il ramo della corrispondente funzione inversa.

figura 2. Funzioni di arctan (x) (in rosso) e arcot (x) (in blu). Fonte: Wikimedia Commons.

Tabella dei domini e gamme di funzioni trigonometriche inverse

Figura 3. Arcsec (x) (in rosso) e arccsc (x) (in blu) funzioni (in blu). Fonte: Wikimedia Commons.

Derivato da funzioni trigonometriche inverse

Per ottenere i derivati ​​delle funzioni trigonometriche inverse, vengono applicate le proprietà dei derivati, in particolare quello derivato da una funzione inversa.

Se indichiamo per f (y) alla funzione e da F^-1(x) Alla sua funzione inversa, quindi la derivata dalla funzione inversa è correlata al derivato della funzione diretta attraverso la seguente relazione:

[F^-1(x)] '= 1/ f' [f^-1(X)]

Ad esempio: se x = f (y) = √y è la funzione diretta, il suo inverso sarà

y = f^-1(x) = x². Applichiamo la regola del derivato inverso a questo semplice caso per vedere che questa regola è soddisfatta:

[X²] '= 1 / [√y]' = 1 / (½ e^-½ = 2 e^½ = 2 (x²)^½ = 2x 

Bene, possiamo valutare questo trucco per trovare quelli derivati ​​da funzioni trigonometriche inverse.

Ad esempio, prendiamo θ = arcsen (x) Come funzione diretta, allora la sua funzione inversa sarà sin (θ) = x.

[arcsen (x)] '= 1 / [sin (θ)]' = 1 / cos (θ) = 1 / √ (1 - sen (θ)²) = ..

... = 1 / √ (1 - x²) .

In questo modo, è possibile ottenere tutti quelli derivati ​​dalle funzioni trigonometriche inverse, che sono mostrate di seguito:

Figura 4. Tabella di quelle derivate da funzioni trigonometriche inverse. Fonte: Wikimedia Commons.

Questi derivati ​​sono validi per qualsiasi argomento z appartenente a numeri complessi e sono quindi validi anche per qualsiasi argomento reale x, poiché z = x + 0i.

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Esempi

- Esempio 1

Trova Arctan (1).

Soluzione

L'Arctan (1) è l'arco unitario (angolo in radianti) ፀ tale che l'abbronzatura (ፀ) = 1. Quell'angolo è ፀ = π/4 perché così (π/4) = 1. Quindi arctan (1) = π/4.

- Esempio 2

Calcola Arcsen (cos (π/3)).

Soluzione

L'angolo π/3 radianti è un angolo notevole il cui coseno è ½, quindi il problema è ridotto a trovare arcsen (½).

Quindi si tratta di trovare l'angolo il cui seno dà ½. Quell'angolo è π/6, poiché sen (π/6) = sen (30º) = ½. Pertanto arcsen (cos (π/3)) = π/6. 

Esercizi

- Esercizio 1

Trova il risultato della seguente espressione:

Sec (Arcan (3)) + CSC (Arcot (4))

Soluzione

Iniziamo a nominare α = arcan (3) e β = arcot (4). Quindi l'espressione che dobbiamo calcolare è così:

Sec (α) + CSC (β)

L'espressione α = arcan (3) è equivalente a dirlo (α) = 3.

Poiché la tangente è la gamba opposta sull'adiacente, viene costruito un triangolo rettangolo di cateto contrario a α di 3 unità e una categoria adiacente di 1 unità, in modo che (α) = 3/1 = 3.

In un triangolo rettangolo l'ipotenusa è determinata dal teorema di Pitagora. Con questi valori è √10, così::

sec (α) = ipotenusa / cateto adiacente = √10 / 1 = √10.

Allo stesso modo β = arcot (4) equivale a affermare che COT (β) = 4.

Viene costruito un triangolo rettangolare di cateto adiacente a β di 4 unità e una cateto opposta di 1 unità, in modo che COT (β) = 4/1.

Il triangolo viene immediatamente completato trovando la sua ipotenusa grazie al teorema di Pitagora. In questo caso si è rivelato avere √17 unità. Quindi viene calcolato il CSC (β) = ipotenuse / cateto opposto = √17 / 1 = √17.

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Ricordare che l'espressione che dobbiamo calcolare è: 

sec (arcan (3)) + csc (arcot (4)) = sec (α) + csc (β) =…

… = √10 + √17 = 3.16 + 4.12 = 7,28.

- Esercizio 2

Trova le soluzioni di:

Cos (2x) = 1 - sen (x)

Soluzione

È necessario che tutte le funzioni trigonometriche siano espresse nello stesso argomento o angolo. Useremo l'identità del doppio angolo:

Cos (2x) = 1 - 2 sen²(X)

Quindi l'espressione originale è ridotta a:

1 - 2 sen²(x) = 1 - sin x

Una volta semplificato e fattorizzato è espresso come:

sin (x) (2 sen (x) - 1) = 0

Che dà origine a due possibili equazioni: sin (x) = 0 con soluzione x = 0 e un'altra equazione sen (x) = ½ con x = π/6 come soluzione.

Le soluzioni all'equazione sollevata sono: x = 0 o x = π/6.

- Esercizio 3

Trova le soluzioni della seguente equazione trigonometrica:

cos (x) = sin²(X)

Soluzione

Per risolvere questa equazione, è conveniente posizionare un singolo tipo di funzione trigonometrica, quindi useremo l'identità trigonometrica fondamentale in modo che l'equazione originale venga riscritta come segue:

cos (x) = 1 - cos²(X)

Se chiamiamo y = cos (x), l'espressione può essere riscritta come:

E² + e - 1 = 0

È un'equazione di secondo grado in e, le cui soluzioni sono:

y = (-1 ± √5) / 2

Quindi i valori di X che soddisfano l'equazione originale sono:

x = arcos ((-1 ± √5) / 2)

La soluzione reale è il segno positivo x = 0,9046 rad = 51,83º.

L'altra soluzione è complessa: x = (π - 1.06 i) rad.

Riferimenti

1. Zoloinkel, m. 1994. Enciclopedia della matematica. Kluwer Academic Publishers / Springer Science & Business Media. 
2. Mate di cellulare. Funzioni trigonometriche inverse. Recuperato da: Matemovil.com
3. Formule universe. Funzioni trigonometriche inverse. Recuperato da: Universoformulas.com
4. Weisstein, Eric W. Inventare funzioni trigonometriche. Recuperato da: Mathworld.Wolfram.com
5. Wikipedia. Inventare funzioni trigonometriche. Recuperato da: in.Wikipedia.com