Funzione di overiezione, proprietà, esempi

UN funzione sovraiettiva È una relazione in cui ogni elemento appartenente a Codominium è un'immagine di almeno un elemento di dominio. Noto anche come funzione Di, Fanno parte della classificazione delle funzioni per quanto riguarda il modo in cui i loro elementi sono correlati.

Ad esempio una funzione Fa → B definito da F (x) = 2x

Che viene letto "F Viene da A Fino a B definito da F (x) = 2x "

Tocca Definire i set di avviamento e arrivo A e b.

A: 1, 2, 3, 4, 5 Ora i valori o le immagini che ciascuno di questi elementi verrà rilasciato quando valutato in F, Saranno gli elementi di Codominium.

F (1) = 2

F (2) = 4

F (3) = 6

F (4) = 8

F (5) = 10

Così formando l'insieme B: 2, 4, 6, 8, 10

Si può concludere quindi che:

F: 1, 2, 3, 4, 5  → 2, 4, 6, 8, 10 definito da F (x) = 2x è una funzione eccessiva

Ogni elemento del Codominium deve essere almeno un'operazione della variabile indipendente attraverso la funzione in questione. Non esiste una limitazione dell'immagine, un elemento di Codominium può essere un'immagine di più di un elemento del dominio e continuare a gestire un funzione sovraiettiva.

L'immagine mostra 2 esempi con funzioni di proiezione.

Fonte: autore

Nel primo, si osserva che le immagini possono essere indirizzate allo stesso elemento, senza compromettere il Eccessività della funzione.

Nel secondo vediamo una distribuzione equa tra dominio e immagini. Questo dà origine a Funzione bijective, dove i criteri di Funzione iniettiva e funzione eccessiva.

Un altro metodo per identificare funzioni di proiezione, è verificare se il Codominium è uguale al rango della funzione. Ciò significa che se il set di arrivo è uguale alle immagini fornite dalla funzione quando si valutano la variabile indipendente, La funzione è eccessiva.

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Proprietà

Considerare Eccessivo Quanto segue deve essere adempiuto a una funzione:

Essere F: d_F → C_F

∀ B ℮ C_F  E a ℮  D_F   / F (a) = b

Questo è il modo algebrico per stabilirlo Per tutti "b" che appartiene a c_F C'è una "A" che appartiene a D_F  tale che, la funzione F valutata in "A" è uguale a "B". 

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L'eccettività è una peculiarità delle funzioni, in cui il codicium e il rango sono simili. Pertanto, gli elementi valutati nella funzione costituiscono il set di arrivo.

Condizionamento delle funzioni

A volte una funzione che non lo è Eccessivo, può subire un certo condizionamento. Queste nuove condizioni possono trasformarlo in a funzione sovraiettiva.

Tutti i tipi di modifiche al dominio e al codominio della funzione sono validi, in cui l'obiettivo è soddisfare le proprietà di sovraiettività nella relazione corrispondente.

Esempi: esercizi risolti

Per soddisfare le condizioni di Eccessività Dovrebbero essere applicate diverse tecniche di condizionamento, questo al fine di garantire che ogni elemento del Codominium sia all'interno dell'insieme di immagini della funzione.

Esercizio 1

• Essere la funzione Fr → R definito dalla linea F (x) = 8 - x

A: [Tutti i numeri reali]

Fonte: autore

In questo caso, la funzione descrive una linea continua, che copre tutti i numeri reali sia nel loro dominio che nel loro intervallo. Perché il grado della funzione R_F È uguale a codicium R Si può concludere che:

Fr → R definito dalla linea F (x) = 8 - x è un funzione sovraiettiva.

Questo vale per tutte le funzioni lineari (funzioni il cui maggiore grado di variabile è uno).

Esercizio 2

• Studia la funzione Fr → R definito da F (x) = x² : Definisci se è un funzione sovraiettiva. Nel caso in cui non lo sia, mostra il condizionamento necessario per renderlo eccessivo.

Fonte: autore

La prima cosa da considerare è il Codominium di F, che consiste in numeri reali R. Non c'è modo per la funzione di lanciare un valore negativo, che esclude quelli reali negativi tra le possibili immagini.

Condizionamento dell'intervallo codicium [0 , ∞ ". Si evita di lasciare elementi del co -alomio senza relazionarsi attraverso F.

Le immagini vengono ripetute per coppie di elementi della variabile indipendente, come x = 1 E x = - 1.  Ma questo influisce solo sul Iniettività  della funzione, non essendo un problema per questo studio.

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In questo modo si può concludere che:

Fr  →[0, ∞ ) definito da F (x) = x²    È una funzione eccessiva

Esercizio 3

• Definisci le condizioni del Codominium che farebbero eccessivo alle funzioni

Fr  → R definito da F (x) = sin (x)

Fr  → R definito da F (x) = cos (x)

Fonte: autore Fonte: autore.

Il comportamento delle funzioni trigonometriche è simile a quello delle onde, essendo molto comune per trovare ripetizioni della variabile dipendente tra le immagini. Anche nella maggior parte dei casi la gamma della funzione è limitata a uno o più settori della linea reale.

Questo è il caso delle funzioni seno e coseno. Dove i loro valori fluttuano nell'intervallo [-1, 1]. Detto intervallo deve condizionare il Codominium per ottenere l'involucro della funzione.

Fr  →[ -undici ] definito da F (x) = sin (x)  È una funzione eccessiva

Fr  →[ -undici ]definito da F (x) = cos (x) È una funzione eccessiva

Esercizio 4

• Studia la funzione

F: [0, ∞ ) → R definito da F (x) = ± √x   denotare se è un funzione sovraiettiva

Fonte: autore

La funzione F (x) = ± √x  Ha la particolarità che definisce 2 variabili dipendenti ad ogni valore di "x" . Cioè, l'intervallo riceve 2 elementi per ciascuno che viene effettuato nel dominio. Un valore positivo e negativo per ciascun valore di "x" deve essere verificato per ciascun valore di "x".

Quando si osservano l'assemblaggio iniziale si noti che il dominio è già stato limitato, questo al fine di evitare le indeterminazioni prodotte durante la valutazione di un numero negativo all'interno di una root di coppia.

Quando si verificano l'intervallo della funzione, mostra che ogni valore di Codominium appartiene all'intervallo.

In questo modo si può concludere che:

F: [0, ∞ ) → R definito da F (x) = ± √x  È una funzione eccessiva

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Esercizio 4

• Studia la funzione F (x) = ln x  denotare se è un funzione sovraiettiva. Condizionare l'arrivo e la partenza si imposta per adattare la funzione ai criteri di sovraiettività.

Fonte: autore

Come mostrato nel grafico la funzione F (x) = ln xè definito per i valori di "x" maggiore di zero. Mentre i valori di "e" o delle immagini possono prendere qualsiasi valore reale.

In questo modo possiamo limitare il dominio di F (x) = all'intervallo (0 , ∞ )

Mentre il grado della funzione può essere mantenuto come insieme di numeri reali R.

Considerando questo, si può concludere che:

F: [0, ∞ ) → R definito da F (x) = ln x  È una funzione eccessiva

Esercizio 5

• Studia la funzione del valore assoluto F (x) = | x | e designare i set di arrivo e di partenza che sono raccolti ai criteri per l'accoglienza.

Fonte: autore

Il dominio della funzione è soddisfatto per tutti i numeri reali R. In questo modo l'unico condizionamento deve essere effettuato nel Codominium, tenendo conto del fatto che la funzione del valore assoluto prende solo valori positivi.

Il codicium della funzione viene stabilito equalizzandolo nell'intervallo dello stesso

[0 , ∞ )

Ora si può concludere che:

F: [0, ∞ ) → R definito da F (x) = | x |  È una funzione eccessiva

Esercizi proposti

1. Verifica se le seguenti funzioni sono eccessive:

• F: (0, ∞ ) → R definito da F (x) = log (x + 1)
• Fr → R definito da F (x) = x³
• Fr →[1, ∞ )  definito da F (x) = x²  + 1
• [0, ∞ ) → R definito da F (x) = log (2x + 3)
• Fr → R definito da F (x) = sec x
• F: r - 0 → R definito da F (x) = 1 / x

Riferimenti

1. Introduzione alla logica e al pensiero critico. Merrilee h. Salmone. Università di Pittsburgh
2. Problemi nell'analisi matematica. Piotr Bilar, Alfred Witkowski. Università di Wroclaw. Palo.
3. Elementi di analisi astratta. Mícheál O'Searcoid PhD. Dipartimento di Matematica. University College Dublino, Beldfield, Dublind 4
4.  Introduzione alla logica e alla metodologia delle scienze deduttive. Alfred Tarski, New York Oxford. la stampa dell'università di Oxford.
5.  Principi di analisi matematica. Enrique Linés Escardó. Revoca editoriale s. Al 1991. Barcellona, ​​Spagna.