Proprietà della funzione logaritmica, esempi, esercizi

IL funzione logaritmica È una relazione matematica che associa ogni numero reale positivo X Con il tuo logaritmo E su una base A. Questa relazione soddisfa i requisiti per essere una funzione: ogni elemento x appartenente al dominio ha un'immagine unica.

Perciò:

f (x) = y = log_A X , Con un> 0 e diverso da 1.

Figura 1. Grafico delle funzioni del logaritmo per base 10 (verde), base E (rosso) e base 1.7 (viola). Fonte: Wikimedia Commons.

Le proprietà principali della funzione logaritmica sono:

-Il suo dominio è tutto il reais maggiore di 0, esclusi 0. In altre parole, non esiste un logaritmo o numeri negativi su qualsiasi base. Sotto forma di un intervallo:

Sole _F = (0, ∞+)

-Il logaritmo di un numero può essere negativo, positivo o 0, in modo che il suo intervallo o il percorso sia:

Rgo _F = (-∞, ∞+)

-La funzione logaritmica è sempre in crescita per un> 1 e diminuendo<1.

-L'inverso di f (x) = log_A X è la funzione esponenziale.

In effetti, la funzione del logaritmo basato su, è la funzione inversa della funzione potenziale:

F^-1(x) = a^E

Dal logaritmo basato A di un numero X, È il numero E a cui deve essere sollevata la base A ottenere X.

-Il logaritmo di base è sempre 1. Quindi, il grafico di f (x) = log_A X Interseca sempre sull'asse x nel punto (1.0)

-La funzione logaritmica è trascendente e non può essere espresso come polinomio o come quoziente di questi. Oltre al logaritmo, questo gruppo include funzioni trigonometriche ed esponenziali, tra le altre.

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Esempi

La funzione logaritmica può essere stabilita attraverso varie basi, ma le più utilizzate sono 10 e E, Dove E È il numero di Eulero pari a 2.71828 .. .

Quando viene utilizzata la base 10, il logaritmo si chiama logaritmo decimale, logaritmo volgare, brigg o semplicemente logaritmo per asciugare.

E se il numero E viene utilizzato, allora si chiama Logaritmo neperiano, da John Napier, il matematico scozzese che ha scoperto i logaritmi.

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La notazione usata per ciascuno è la seguente:

-Logaritmo decimale: log₁₀ x = log x

-Logaritmo neperiano: ln x

Quando verrà utilizzata un'altra base, è assolutamente necessario. Ad esempio, se si tratta di logaritmi sulla base 2, è scritto:

y = log₂ X

Diamo un'occhiata al logaritmo numero 10 in tre diverse basi, per illustrare questo punto:

Log 10 = 1

ln 10 = 2.30259

tronco d'albero₂ 10 = 3.32193

I calcolatori comuni portano solo logaritmi decimali (log) e logaritmo neperiano (funzione LN). Su Internet ci sono calcolatori con altre basi. In ogni caso, il lettore può verificare, con l'aiuto dello stesso, che con i valori precedenti è soddisfatto:

10¹ = 10

E^2.3026 = 10.0001

2^3.32193 = 10.0000

Le piccole differenze decimali sono dovute alla quantità di decimali presi nel calcolo del logaritmo.

I vantaggi dei logaritmi

Tra i vantaggi dell'utilizzo dei logaritmi c'è la facilità che forniscono per lavorare con grandi numeri, usando il loro logaritmo anziché il numero direttamente.

Ciò è possibile perché la funzione del logaritmo cresce più lentamente poiché i numeri sono maggiori, come apprezziamo nella grafica.

Quindi, anche nel caso di numeri molto grandi, i loro logaritmi sono molto più piccoli e manipolare piccoli numeri è sempre più facile.

Inoltre, i logaritmi soddisfano le seguenti proprietà:

-Prodotto: log (a.b) = log a + log b

-Quoziente: log (a/b) = log a - log b

-Energia: log a^B = b.Log a

E in questo modo, i prodotti e i quozienti diventano somme e sottrazione di numeri più piccoli, mentre il potenziamento viene trasformato in un prodotto semplice sebbene la potenza sia alta.

Questo è il motivo per cui i logaritmi consentono di esprimere numeri che variano in grandi gamme di valori, come l'intensità del suono, il pH di una soluzione, la luminosità delle stelle, la resistenza elettrica e l'intensità dei terremoti sul Richter scala.

Può servirti: angoli alternativi esterni: esercizi ed esercizi risoltifigura 2. I logaritmi sono usati sulla scala Richter per quantificare l'entità dei terremoti. L'immagine mostra un edificio crollato a Concepción, in Cile, durante il terremoto del 2010. Fonte: Wikimedia Commons.

Diamo un'occhiata a un esempio della gestione delle proprietà dei logaritmi:

Esempio

Trova il valore di X nella seguente espressione:

log (5x +1) = 1 + log (2x-1)

Risposta

Abbiamo un'equazione logaritmica qui, in vista del fatto che l'ignoto è sull'argomento del logaritmo. Viene risolto lasciando un singolo logaritmo su ciascun lato dell'uguaglianza.

Iniziamo posizionando tutti i termini che contengono "X" a sinistra dell'uguaglianza e quelli che contengono solo numeri a destra:

log (5x+1) - log (2x -1) = 1

A sinistra abbiamo la sottrazione di due logaritmi, che possono essere scritti come il logaritmo di un quoziente:

log [(5x+1)/ (2x-1)] = 1

Tuttavia, a destra è il numero 1, che possiamo esprimere come log 10, come abbiamo visto in precedenza. COSÌ:

log [(5x+1)/ (2x-1)] = log 10

Affinché l'uguaglianza sia adempiuta, il argomenti dei logaritmi devono essere gli stessi:

(5x+1)/ (2x-1) = 10

5x + 1 = 10 (2x - 1)

5x + 1 = 20 x - 10

-15 x = -11

x = 11/15

Esercizio di applicazione: scala di Richter

Nel 1957 si verificò un terremoto in Messico la cui grandezza era 7.7 sulla scala Richter. Nel 1960 si verificò un altro terremoto di magnitudo in Cile, 9.5.

Calcola quante volte il terremoto cileno è stato più intenso di quello del Messico, sapendo che l'entità M_R Sulla scala Richter è dato dalla formula:

M_R = log (10⁴ Yo)

Soluzione

La grandezza nella scala Richter di un terremoto è una funzione logaritmica. Calcoleremo l'intensità di ogni terremoto, poiché abbiamo le magnitudini Richter. Facciamolo passo dopo passo:

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-Messico: 7.7 = log (10⁴ Yo)

Poiché l'inverso della funzione del logaritmo è l'esponenziale, lo applichiamo su entrambi i lati dell'uguaglianza con l'intenzione di cancellare I, che si trova nell'argomento del logaritmo.

Dal momento che sono logaritmi decimali, la base è 10. COSÌ:

Nel termine di destra, 10 e registro (10⁴ I) sono cancellati (come con la radice quadrata e quadrata), essendo: lasciare:

10 ^7.7 = 10⁴ Yo

L'intensità del terremoto del Messico era:

Yo_M = 10 ^7.7 / 10⁴ = 10^3.7

 -chili: 9.5 = log (10⁴ Yo)

La stessa procedura ci porta all'intensità del terremoto cileno i_Cap:

Yo_Cap = 10 ^9.5 / 10⁴ = 10^5.5

 Ora possiamo confrontare entrambe le intensità:

Yo_Cap / Yo_M = 10^5.5 / 10^3.7 = 10^1.8 = 63.1

 Yo_Cap = 63.1. Yo_M

Il terremoto del Cile era circa 63 volte più intenso del Messico. Poiché l'entità è logaritmica, cresce più lentamente dell'intensità, quindi una differenza di 1 in grandezza significa un'ampiezza 10 volte maggiore dell'onda sismica.

La differenza tra le magnitudini di entrambi i terremoti è 1.8, quindi potremmo aspettarci una differenza di intensità più vicine a 100 rispetto a 10, come è successo effettivamente.

In effetti, se la differenza fosse stata esattamente 2, il terremoto cileno sarebbe stato 100 volte più intenso del messicano.

Riferimenti

1. Carena, m. 2019. Manuale di matematica preuniversity. Università nazionale della costa.
2. Figuera, j. 2000. Matematica 1st. Anno diversificato. Edizioni co-bo.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Larson, r. 2010. Calcolo di una variabile. 9na. Edizione. McGraw Hill.
5. Stewart, J. 2006. Prececculment: matematica per il calcolo. 5 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.