Caratteristiche numeri composti, esempi, esercizi

IL numeri composti Sono quelli che hanno più di due divisori. Se stiamo bene, tutti i numeri sono almeno divisibili esattamente tra loro e tra 1. Coloro che hanno solo questi due divisori sono chiamati cugini e quelli che ne hanno di più sono composti.

Diamo un'occhiata al numero 2, che può essere diviso solo tra 1 e 2. Il numero 3 ha anche due divisori: 1 e 3. Pertanto entrambi sono cugini. Ora vediamo il numero 12, a cui possiamo dividere esattamente per 2, 3, 4, 6 e 12. Avere 5 divisori, 12 è un numero composto.

Figura 1. I numeri Primo in blu, possono essere rappresentati solo da una singola riga di punti, ma non dai numeri composti in rosso. Fonte: Wikimedia Commons.

E cosa succede al numero 1, ciò che divide tutti gli altri? Non è cugino, perché non ha due divisori e non è composto, quindi l'1 non rientra in nessuna di queste due categorie. Ma ci sono molti più numeri che lo fanno.

I numeri compositi possono essere espressi come prodotto dei numeri primi e questo prodotto, ad eccezione dell'ordine dei fattori, è unico per ogni numero. Ciò è garantito dal teorema fondamentale dell'aritmetica dimostrata dagli euclidi matematici greci (325-365 AC).

Torniamo al numero 12, che possiamo esprimere in diversi modi. Proviamo alcuni:

12 = 4 x 3 = 2 x 6 = 12 x 1 = 2² x 3 = 3 x 2² = 3 x 2 x 2 = 2 x 2 x 3 = 2 x 3 x 2

Le forme evidenziate in grassetto sono prodotti di numero primo e l'unica cosa che cambia è l'ordine dei fattori, che sappiamo non modifica il prodotto. Le altre forme, sebbene valide per esprimere 12, non sono solo costituite da cugini.

Esempi di numeri composti

Se vogliamo abbattere un numero composto nei suoi fattori primi, dobbiamo dividerlo tra i numeri primi in modo che la divisione sia esatta, cioè il residuo è 0.

Questa procedura è chiamata Decomposizione nei fattori primi o decomposizione canonica. I fattori Primo possono essere elevati agli esponenti positivi.

Abbatteremo il numero 570, notando che è uniforme e quindi divisibile tra 2, che è un numero primo.

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Useremo una barra per separare il numero sinistro dai divisori a destra. I rispettivi quozienti sono posizionati al di sotto del numero come ottenuti. La decomposizione è completata quando l'ultima figura nella colonna sinistra è 1:

570 │2
285 │

Dividendo per 2 il quoziente è 285 che è divisibile per 5, un altro numero primo, che termina in 5.

570 │2
285 │5
57 │

Il 57 è divisibile tra 3, anche cugino, poiché la somma delle sue cifre 5 +7 = 12 è un multiplo di 3.

570 │2
285 │5
57 │3
19 │

Finalmente ne abbiamo 19, che è un numero primo, i cui divisori sono 19 e 1:

570 │2
285 │5
57 │3
19 │19
1 │

Quando otteniamo il 1 possiamo esprimere 570 in questo modo:

570 = 2 x 5 x 3 x 19

E vediamo che in effetti, è il prodotto di 4 numeri primi.

In questo esempio abbiamo iniziato dividendo per 2, ma gli stessi fattori (in un altro ordine) sarebbero stati ottenuti se avesse iniziato a dividere per 5 per esempio.

figura 2. Il composto numero 42 può anche essere suddiviso da un diagramma a forma di albero. Fonte: Wikimedia Commons.

Criteri di divisibilità

Per abbattere un numero composto nei suoi principali fattori è necessario dividerlo esattamente. I criteri di divisibilità tra i numeri primi sono regole che ti consentono di sapere quando un numero è divisibile tra un altro esattamente, senza dover tote o dimostrare.

-Divisibilità tra 2

Tutto il numero di coppia, quelli che terminano a 0 o una figura di coppia sono divisibili tra 2.

-Divisibilità tra 3

Se la somma delle cifre di un numero è un multiplo di 3, anche il numero e quindi divisibile tra 3.

-Divisibilità tra 5

I numeri che terminano a 0 o 5 sono divisibili tra 5.

-Divisibilità tra 7

Un numero è divisibile tra 7 se quando si separa l'ultima cifra, moltiplicarlo per 2 e sottrarre il numero che rimane, il valore risultante è un multiplo di 7.

Questa regola sembra un po 'più complicata delle precedenti, ma in realtà non è tanto, quindi vediamo un esempio: sarà 98 divisibile tra 7?

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Seguiamo le istruzioni: separiamo l'ultima cifra che è 8, la moltiplichiamo per 2 che dà 16. Il numero lasciato separando 8 è 9. Sottraggiamo 16 - 9 = 7. E come 7 è un multiplo di se stesso, 98 è divisibile tra 7.

-Divisibilità tra 11

Se la somma delle cifre nella coppia (2, 4, 6 ...) è sottratta la somma delle figure di posizione dispari (1, 3, 5, 7 ...) Il numero è divisibile per 11.

I primi multipli di 11 sono facilmente identificati: ci sono 11, 22, 33, 44 ... 99. Ma attenzione, 111 non è, tuttavia 110 sì.

Ad esempio, vediamo se 143 è un multiplo di 11.

Questo numero ha 3 figure, l'unica figura di coppia è 4 (la seconda), le due figure dispari sono 1 e 3 (prima e terza) e la sua somma è 4.

Entrambe le somme sono sottratte: 4 - 4 = 0 e come si ottiene 0, si scopre che 143 è un multiplo di 11.

-Divisibilità tra 13

Il numero senza la cifra delle unità di 9 volte deve essere sottratto. Se l'account fornisce 0 o un multiplo di 13, il numero è un multiplo di 13.

Ad esempio, verificheremo che 156 è un multiplo di 13. La cifra delle unità è 6 e il numero che rimane senza di essa è 15. Moltiplichiamo 6 x 9 = 54 e ora sottraggiamo 54 - 15 = 39.

Ma 39 è 3 x 13, quindi 56 è un multiplo di 13.

Numeri Primo l'uno con l'altro

Possono due o più numeri primi o composti possono essere cugini tra loro o rame. Ciò significa che l'unico divisore comune che hanno è 1.

Ci sono due proprietà importanti da ricordare sul rame:

-Due, tre e più numeri consecutivi sono sempre cugini tra loro.

-Lo stesso si può dire di due, tre o più numeri dispari consecutivi.

Ad esempio 15, 16 e 17 sono numeri primi tra loro e così sono 15, 17 e 19.

Come sapere quanti divisori ha un numero composto

Un numero primo ha due divisori, lo stesso numero e 1. E quanti divisori ha un numero composto? Questi possono essere cugini o composti.

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Lascia che n un numero composto espresso in termini di decomposizione canonica come segue:

N = a^N . B^M. C^P… R^K

Dove a, b, c ... r sono i principali fattori e n, m, p ... k i rispettivi esponenti. Bene, la quantità di divisori c che ha n è dato da:

C = (N +1) (M +1) (P +1) ... (K +1)

Con c = prime divisori + divisori composti + 1

Ad esempio 570, che è espresso come segue:

570 = 2 x 5 x 3 x 19

Tutti i fattori primi sono elevati a 1, quindi 570 ha:

C = (1+1) (1+1) (1+ 1) (1 +1) = 16 divisori

Di questi 10 divisori che già conosciamo: 1, 2, 3, 5, 19 e 570. Mancano altri 10 divisori, che sono numeri composti: 6, 10, 15, 30, 38, 57, 95, 114, 190 e 285. Stanno osservando la decomposizione nei fattori primi e anche moltiplicando le combinazioni di questi fattori tra loro.

Esercizi risolti

- Esercizio 1

Decomponiti in fattori primi i seguenti numeri:

a) 98

b) 143

C) 540

d) 3705

Soluzione a

98 │2
49 │7
7 │7
1 │

98 = 2 x 7 x 7

Soluzione b

143 │11
13 │13
1 │

143 = 11 x 13

Soluzione c

540 │5
108 │2
54 │2
27 │3
9 │3
3 │3
1 │

540 = 5 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 5 x 2² X 3³

Soluzione d

3705 │5
741 │3
247 │13
19 │19
1 │

3705 = 5 x 3 x 13 x 19

- Esercizio 2

Scopri se i seguenti numeri sono cugini tra loro:

6, 14, 9

Soluzione

-I divisori di 6 sono: 1, 2, 3, 6

-Per quanto riguarda 14, è divisibile di: 1, 2, 7, 14

-Finalmente 9 ha come divisori: 1, 3, 9

L'unico divisore che hanno in comune è 1, quindi sono cugini tra loro.

Riferimenti

1. Baldor, a. 1986. Aritmetica. Edizioni e distribuzioni Codice.
2. Byju's. Numeri primi e compositi. Recuperato da: byjus.com.
3. Primo e numeri composti. Estratto da: Profeyennyviva la presentazione.File.WordPress.com
4. Smartick. Criteri di divisibilità. Recuperato da: smartick.È.
5. Wikipedia. Numeri compositi. Recuperato da: in.Wikipedia.org.