Funzione decrescente Come identificarlo, esempi, esercizi

UN funzione decrescente f è uno il cui valore diminuisce all'aumentare del valore di x. Significa che in un determinato intervallo, considerando due valori x₁ e x₂ tale che x₁ < x₂, Quindi f (x₁)> f (x₂).

Un esempio di una funzione che diminuisce sempre è f (x) = -x³, il cui grafico mostra nella figura seguente:

Figura 1. Una funzione che diminuisce sempre nell'intero dominio è f (x) = -x^3. Fonte: f. Zapata attraverso la geogebra.

Sebbene alcune funzioni come questa siano caratterizzate dall'essere diminuendo in tutto il loro dominio, non tutti si comportano in questo modo, ci sono anche in aumento e anche quelle che crescono e diminuiscono in alcuni intervalli di dominio. Lo studio della crescita e della riduzione degli intervalli è chiamato monotonia della funzione.

Allo stesso modo, la crescita o la diminuzione della funzione possono essere considerate in un determinato punto di dominio. Ma qualsiasi funzione che sta diminuendo in un determinato intervallo, è anche in ogni punto che appartiene ad esso.

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Come identificare una funzione decrescente?

Il grafico della funzione indica visivamente se sta diminuendo o meno. Se, quando si muove nel crescente senso della X, la funzione "scende", significa che sta diminuendo.

E se hai intervalli in cui diminuisce e cresce alternativamente, il che è il più normale, perché questi sono chiaramente rivelati osservando il comportamento della funzione in tutto il suo dominio, poiché ci saranno intervalli in cui la funzione "sale" e altri Quale "scendere".

In alternativa, se il grafico delle funzioni non è disponibile, analiticamente è possibile determinare se sta diminuendo in un punto o in un intervallo, attraverso il primo derivato.

Criterio del primo derivato

Nota il comportamento della funzione decrescente mostrata nella Figura 2. I segmenti di linea rosa sono tangenti ai punti le cui coordinate sono [a, f (a)] E [A+H, F (A+H)] e avere una pendenza negativa.

Può servirti: come vengono ottenute le informazioni in un sondaggio?figura 2. La pendenza della linea tangente al grafico di f (x) è negativa a x = a, quindi la funzione sta diminuendo a questo punto. Fonte: f. Zapata.

Per questa funzione è soddisfatto:

F (a+h) - f (a) < 0 ⇒  F (A+H) < f (a)

Pertanto si può pensare che la funzione stia diminuendo x = a.

Tuttavia, la prima derivata dalla funzione f (x), valutata su x = a, che per definizione è la pendenza della linea tangente alla curva su x = a, è dato da:

Il limite indica che il valore di H può essere fatto più piccolo come si desidera e suggerisce che il segno di fa), Può essere usato per sapere se la funzione sta diminuendo o meno in un determinato punto, a condizione che il derivato esista a quel punto.

Allora si fa) < 0, Si può affermare che la funzione sta diminuendo e al contrario, se f '(a)> 0, Quindi la funzione sta crescendo a quel punto.

Teorema per le funzioni di riduzione e crescita

In precedenza era stato fatto riferimento al comportamento della funzione in un certo punto. Ora, il seguente teorema consente di conoscere gli intervalli in cui una funzione sta diminuendo, in crescita o costante:

Sia F una funzione differenziabile nell'intervallo (a, b). È vero che:

-Sì f '(x) < 0 para todo x perteneciente a (a,b), entonces f(x) es decreciente en (a,b).

-Se al contrario f '(x)> 0 Per tutte x appartenenti a (a, b), si dice che la funzione f (x) stia crescendo in (a, b).

-Infine, se f '(x) = 0 per tutti x che appartiene all'intervallo (a, b), f (x) è costante in detto intervallo.

Dimostrazione

Supponiamo f '(x) < 0 para cualquier valor de x en el intervalo (a,b), además se tienen x₁ e x₂ appartenente a detto intervallo e la condizione che x₁< x₂.

Il teorema del valore medio afferma che esiste un numero reale C, tra x₁ e x₂, tale che:

Può servirti: fattore comune per il raggruppamento di termini: esempi, esercizi

Come stabilito da X₁< x₂,  ΔX è positivo. Quindi, poiché f '(c) è negativo, quindi anche Δy. Perciò F (x₁) è più grande di F (x₂) E la funzione diminuisce effettivamente in ogni caso nell'intervallo (a, b).

Passaggi da sapere se una funzione sta diminuendo

Per trovare gli intervalli di diminuzione e crescita di una funzione applicando il teorema precedente, questi passaggi vengono seguiti:

-Trova il primo derivato dalla funzione e abbinala a zero, risolvendo l'equazione risultante. Determinare anche i punti in cui il derivato non esiste.

Tutti questi punti sono chiamati punti critici Ed è necessario trovarli, dal momento che in essi il derivato ha l'opportunità di cambiare il loro segno, indicativo che la funzione va dalla crescita alla diminuzione o al contrario.

-Il dominio della funzione è diviso in intervalli determinati dai punti in cui il primo derivato viene annullato o non esiste.

-Infine, il segno del derivato viene studiato in un punto arbitrario che appartiene a ciascuno degli intervalli ottenuti nel passaggio precedente.

Esempi di funzioni decrescenti

Le funzioni non diminuiscono tutte alla stessa velocità, alcune lo fanno più velocemente di altre. Le seguenti funzioni, che appaiono frequentemente in pratica, stanno diminuendo:

La funzione esponenziale

Una funzione della forma f (x) = a^X, Con A compreso tra 0 e 1, non includendo questi, diminuisce rapidamente in tutto il loro dominio.

Funzione 1/x

Attraverso un programma grafico online come geogebra, viene creato il grafico della funzione f (x) = 1/x, confermando che sta diminuendo in tutto il suo dominio.

Figura 3. La funzione f (x) = 1/x sta diminuendo. Fonte: f. Zapata attraverso la geogebra.

La funzione correlata

Le funzioni della forma y = mx + b con m<0 tienen gráficas que son rectas de pendiente negativa y por lo tanto son funciones decrecientes.

Può servirti: uguaglianza matematica

Esercizio risolto

Trova, se presente, gli intervalli di riduzione della funzione:

f (x) = x⁴ - 6x² - 4

Soluzione

Il primo passo è trovare f '(x):

f '(x) = 4x³ - 12x

Il primo derivato di f (x) è una funzione continua, cioè non ha punti di discontinuità, ma viene annullato in:

4x³ - 12x = 0 = 4x (x²-3) = 0

Le soluzioni di questa equazione sono: x₁ = 0, x₂ = - √3 e x₃ = √3. Questi sono i punti critici, che dividono il dominio di f (x) negli intervalli: (-∞,- √3); (- √3.0); (0, √3); (√3, ∞+).

Quindi viene valutato il primo derivato in un valore X arbitrario, che appartiene a ciascun intervallo. Questi valori sono stati scelti:

Per (-∞,- √3)

F '(-2) = 4 (-2)³ - 12x (-2) = -32+24 = -8

Per (- √3.0)

F '(-1) = 4 (-1)³ - 12x (-1) = -4+12 = 8

Per (0, √3)

f '(1) = 4 (1)³ - 12x (1) = 4-12 = -8

Per (√3, ∞+)

f '(2) = 4 (2)³ - 12x (2) = 32-24 = 8

Come sono diversi intervalli, è una buona idea fare una tabella per organizzare i risultati. La freccia verso l'alto indica che la funzione cresce e giù, che diminuisce:

Si è concluso che la funzione diminuisce agli intervalli (-∞,- √3) e (0, √3) e cresce negli intervalli rimanenti. La funzione originale in geogebra è facilmente controllata mediante graficia.

Riferimenti

1. Ayres, f. 2000. Calcolo. 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, l. 1992. Calcolo con geometria analitica. Harla, s.A.
3. Purcell, e. J., Varberg, d., & Rigdon, s. E. (2007). Calcolo. Messico: Pearson Education.
4. Matemobile. Funzioni, crescere, diminuire e costante. Recuperato da: Matemovil.com
5. Stewart, J. 2006. Prececculment: matematica per il calcolo. 5 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.