Formula generale equazioni quadratiche, esempi, esercizi

IL Formula generale, che è anche noto come il Formula solvente In alcuni testi, viene utilizzato per risolvere le equazioni di secondo grado: ascia² + bx + c = 0.

In loro A, B E C Sono numeri reali, con la condizione che A è diverso da 0, essere X Lo sconosciuto. Quindi, la formula generale presenta la clearance dell'ignoto attraverso un'espressione che coinvolge i valori di A, B E C come segue:

Figura 1. La formula generale in matematica viene utilizzata per risolvere le equazioni quadratiche. Fonte: f. Zapata.

E attraverso questa formula puoi trovare la soluzione di qualsiasi secondo grado o equazione quadratica, a condizione che tale soluzione esista.

Secondo gli storici, la formula generale era già conosciuta dall'antica matematica babilonese. Successivamente fu trasmesso ad altri popoli, come gli egiziani e i Greci, attraverso gli scambi culturali.

La formula e le sue varianti arrivarono in Europa grazie ai matematici musulmani stabiliti nella penisola iberica. Tuttavia, non hanno usato la notazione algebrica che attualmente usiamo. Questa notazione è dovuta al matematico francese e all'esperto crittografico del XVI secolo Francois Viete.

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Equazioni quadratiche per la formula generale

Vediamo come sorge la formula generale, al fine di verificarne la validità. A partire da un'equazione quadratica generale:

ascia² + bx + c = 0

Mettiamo in pratica alcune semplici manipolazioni algebriche, per raggiungere l'autorizzazione dell'ignoto. Esistono diversi modi per trasportare questo, ad esempio completare i quadrati, come mostrato allora.

Dimostrazione della formula generale

Iniziamo aggiungendo (-C) su entrambi i lati dell'uguaglianza:

ascia² + Bx = - c

E ora è moltiplicato per 4a, sempre su entrambi i lati dell'uguaglianza, in modo da non alterare l'espressione:

4 °² X² + 4ab x = - 4ac

Aggiunta di b²:

4 °²⋅x² + 4ab⋅x + b² = - 4ac + b²

Lo scopo è quello di completare i quadrati sul lato sinistro dell'uguaglianza, che contiene l'ignoto, in questo modo il suo gioco è facilitato. Così:

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-Il primo termine: 4 °² X² È il quadrato perfetto di 2ax

-L'ultimo, che è b², È il quadrato perfetto di b.

-E il termine centrale è il doppio prodotto di 2ax e b: 2⋅2ax⋅b = 4abx

Pertanto abbiamo un binomiale quadrato:

4 °²⋅x² + 4ab⋅x + b² = (2ax + b)²

E possiamo scrivere:

(2ax + b)² = - 4ac + b²

Siamo a un passo dal cancellare l'ignoto X:

E otteniamo già la formula generale che sappiamo:

Esistono altri modi per manipolare algebamente l'equazione quadratica e ottenere lo stesso risultato.

Esempi di utilizzo della formula generale

Per applicare la formula generale, i valori di A, B e C sono accuratamente determinati e sostituiti nella formula. Nota il simbolo più o meno nel numeratore; Ciò indica che dobbiamo considerare due possibilità relative all'operazione, una con il segno + e una con il segno -.

L'equazione quadratica può avere le seguenti soluzioni, in base al valore della quantità subradica, nota come discriminante:

-Si b² - 4ac> 0, l'equazione quadratica ha due soluzioni reali e diverse.

-Quando b² - 4ac = 0, l'equazione ha una soluzione unica, data da:

x = -b/2a

-Finalmente, se B² - 4ac < 0, la ecuación no tiene soluciones reales, pero sí tiene soluciones complejas.

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi in cui viene applicata la formula generale, notando che se uno qualsiasi dei coefficienti che accompagnano l'ignoto non appare, si capisce che vale 1. E se il termine indipendente è quello che non si trova, allora vale 0.

- Esempio 1

Risolvi le seguenti equazioni quadratiche:

a) 6x² + 11x -10 = 0

b) 3x² -5x -1 = 0

Rispondi a

Scriviamo i coefficienti di ciascun termine: a = 6, b = 11, c = -10 e sostituiscono i valori nella formula generale:

Può servirti: tassazione

x = (-11 ± 19) /12

Il risultato porta alle seguenti due soluzioni reali:

X₁ = (-11 + 19)/12 = 8/12 = 2/3

X₂ = (-11 -19)/12 = -5/2

Risposta b

Ancora una volta sono determinati i coefficienti: a = 3, b = -5 e c = -1. Sostituendo nella formula:

A differenza del caso precedente, la radice quadrata di 37 non è un numero intero, ma possiamo anche aumentare le due soluzioni e lasciare la radice o trovare il valore decimale corrispondente con l'aiuto del calcolatore:

X₁ = (-5 + √37)/6 ≈ 0.18

X₂ = (-5 - √37)/6 ≈ - 1.85

- Esempio 2

Risolvi l'equazione di secondo grado x² - 4x +13 = 0.

Risposta

Come sempre, identifichiamo i valori dei coefficienti e sostituiamo la formula generale: a = 1, b = - 4, c = 13. Questo porta a:

Abbiamo una radice negativa, quindi le soluzioni di questa equazione sono numeri complessi. La radice può essere espressa in termini di Yo, IL Unità immaginaria:

√ (36i²) = 6i

Da quando io² = -1, quindi le soluzioni complesse sono:

X₁ = (4 + 6i)/2 = 2 + 3i

X₂ = (4 - 6i)/2 = 2 - 3i

Esercizio risolto

Una scala di 10 m di lunghezza si appoggia contro una parete verticale, con il piede da quel muro. Le scale scivolano e il piede è separato in più 3 m dalla base.

Trova la distanza verticale che scorre attraverso la parte superiore della scala.

figura 2. Una scala supportata su una parete scivola un po 'e la fermata superiore si muove verticalmente in una distanza D. Fonte: f. Zapata.

Soluzione

Per trovare la distanza verticale che fa scorrere la parte superiore della scala, è necessario trovare la posizione in cui originariamente riguardava il terreno. Possiamo farlo con il teorema di Pitagora, perché la figura che si forma è quella di un triangolo destro:

H = (10² - 6²) ^½ = 8 m

Una volta che la scala scivola, una distanza si muove D, Misura poiché la parte superiore era alta 8 m, fino a raggiungere la sua nuova posizione, a (H-D) metri da terra. L'ignoto a chiarire è d.

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Per trovarlo proponiamo un nuovo triangolo rettangolo, che si forma dopo che la scala è scivolata un po '. Questo triangolo ha ancora ipotenusa pari a 10 m e la cateto parallelo è ora 6m + 3m = 9 m, quindi:

(H-D)² = 10² - 9² = 100 - 81 = 19

Sostituiamo H = 8m, precedentemente calcolato:

(8-D)² = 19

L'equazione può essere risolta in diversi modi, incluso l'uso della formula generale, che mostreremo di seguito con questi passaggi:

Passo 1

Sviluppa la notevole sinistra della sinistra:

64 -16d + d² = 19

Passo 2

Stabilire l'equazione di secondo grado per sconosciuto d:

D² - 16d + 45 = 0

Passaggio 3

-I coefficienti sono: a = 1, b = -16 e c = 45, li sostituiamo nella formula generale:

Le soluzioni dell'equazione sono:

D₁ = (16 + √76)/2 ≈ 12.36 m

D₂ = (16 - √76)/2 ≈ 3.64 m

Passaggio 4

Le soluzioni ottenute vengono analizzate: la prima non ha senso fisico, poiché non è possibile per la scala compilare 12.36 m, se originariamente la fermata era alta 8 m a terra.

Pertanto, la risposta corretta è la seconda soluzione: la parte superiore della scala scivola d = 3.64 m.

Il lettore può risolvere il problema applicando un altro metodo?

Riferimenti

1. Baldor. 1977. Algebra elementare. Edizioni culturali venezuelane.
2. Hoffman, J. Selezione di problemi di matematica. Volume 2.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Stewart, J. 2006. Prececculment: matematica per il calcolo. 5 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.
5. Zill, d. 1984. Algebra e trigonometria. McGraw Hill.