Factoring

Qual è la fattorizzazione?

La fattorizzazione è un metodo attraverso il quale un polinomio viene espresso sotto forma di moltiplicazione di fattori, che possono essere numeri, lettere o entrambi. Per fattore, i fattori comuni ai termini sono raggruppati e in questo modo il polinomio viene decomposto in diversi polinomi.

Pertanto, quando i fattori si moltiplicano tra loro, il risultato è il polinomio originale. La fattorizzazione è un metodo molto utile quando ci sono espressioni algebriche, perché può diventare la moltiplicazione di diversi termini semplici; Ad esempio: 2 °² + 2ab = 2a _* (A + B).

Ci sono casi in cui un polinomio non può essere fattorizzato perché non vi è alcun fattore comune tra i suoi termini; Pertanto, queste espressioni algebriche sono divisibili solo tra loro e di 1. Ad esempio: x + y + z.

In un'espressione algebrica il fattore comune è il massimo divisore comune dei termini che lo compongono.

Metodi di fattorizzazione

Esistono diversi metodi di fattorizzazione, che vengono applicati a seconda del caso. Alcuni di questi sono i seguenti:

Fattorizzazione comune

In questo metodo sono identificati quei fattori comuni; Cioè, coloro che si ripetono nei termini dell'espressione. Quindi viene applicata la proprietà distributiva, viene rimosso il divisore comune massimo e la fattorizzazione è completata.

In altre parole, il fattore comune dell'espressione viene identificato e ogni termine è diviso tra questo; I termini risultanti saranno moltiplicati per il massimo divisore comune per esprimere la fattorizzazione.

Esempio 1

Fattorize (b²x) + (b²E).

Soluzione

Il primo è il fattore comune di ogni termine, che in questo caso è b², E quindi i termini sono divisi tra il fattore comune come segue:

(B²x) / b² = x

(B²y) / b² = y.

La fattorizzazione è espressa, moltiplicando il fattore comune per i termini risultanti:

(B²x) + (b²y) = b² (x + y).

Esempio 2

Fattoreze (2 °²B³) + (3ab²).

Soluzione

In questo caso abbiamo due fattori che vengono ripetuti in ogni termine che sono "A" e "B", e che sono aumentati a un potere. Per tenerli prima, i due termini sono suddivisi nella loro lunga forma:

2_*A_*A_*B_*B_*B + 3A_*B_*B

Si può vedere che il fattore "A" viene ripetuto solo una volta nel secondo termine e il fattore "B" viene ripetuto due volte in questo; Quindi nel primo termine ci sono solo 2, un fattore "A" e uno "B"; Mentre nel secondo termine rimane solo 3.

Pertanto, è scritto tutte le volte quanto "A" e "B" vengono ripetuti e moltiplicati per i fattori lasciati da ciascun termine, come osservato nell'immagine:

Fattorizzazione di raggruppamento

Poiché non in tutti i casi il massimo divisore comune di un polinomio è chiaramente espresso, è necessario fare altre misure per poter riscrivere il polinomio e quindi fattozza.

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Uno di questi passaggi è raggruppare i termini del polinomio in diversi gruppi e quindi utilizzare il metodo del fattore comune.

Esempio 1

Factareze AC + BC + AD + BD.

Soluzione

Ci sono 4 fattori in cui due sono comuni: nel primo termine è "C" e nel secondo è "D". In questo modo i due termini sono raggruppati e separati:

(AC + BC) + (AD + BD).

Ora è possibile applicare il metodo del fattore comune, dividendo ogni termine per il suo fattore comune e quindi moltiplicando quel fattore comune per i termini risultanti, come questo:

(AC + BC) / C = A + B

(ad + bd) / d = a + b

C (A + B) + D (A + B).

Ora si ottiene un binomiale che è comune per entrambi i termini. Per considerare viene moltiplicato per i restanti fattori; In questo modo devi:

AC + BC + AD + BD =  (C + D) _* (A + B).

Fattorizzazione di ispezione

Questo metodo viene utilizzato per fare conto di polinomi quadratici, chiamati anche trinomiali; Cioè, quelli che sono strutturati come ascia² ± bx + c, dove il valore di "a" è diverso da 1. Questo metodo viene utilizzato anche quando il trinomiale ha la forma x² ± bx + c e il valore di "a" = 1.

Esempio 1

Fattore X² + 5x + 6.

Soluzione

Hai un trinomiale quadratico della forma x² ± bx + c. Per tenerlo prima, si devono scoprire due numeri che, quando si moltiplicano, si traducono nel valore "C" (cioè 6) e che la sua somma è uguale al coeffic "B". Quei numeri sono 2 e 3:

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

In questo modo, l'espressione è semplificata come segue:

(X² + 2x) + (3x + 6)

Ogni termine è fattore:

• Per (x² + 2x) Il termine comune viene rimosso: x (x + 2)
• Per (3x + 6) = 3 (x + 2)

Pertanto, l'espressione rimane:

x (x +2) +3 (x +2).

Dato che hai un binomiale comune, per ridurre l'espressione, lo moltiplica per termini rimanenti e deve:

X² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Esempio 2

Fattore 4A² + 12a +9 = 0.

Soluzione

Hai un trinomiale quadratico della forma dell'ascia² ± bx + c e per considerare moltiplica tutta l'espressione per il coefficiente di x²; In questo caso, 4.

4 °² + 12a +9 = 0

4 °² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a² + 12a (4) + 36 = 0

4² A² + 12a (4) + 36 = 0

Ora si devono scoprire due numeri che, quando si moltiplicano tra loro, provocano il valore di "C" (che è 36) e che quando si uniscono al coefficiente del termine "A", che è 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

In questo modo l'espressione viene riscritta, tenendo conto di 4² A² = 4a _* 4 °. Pertanto, la proprietà distributiva viene applicata a ciascun termine:

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(4a + 6) _* (4a + 6).

Infine, l'espressione è divisa per il coefficiente di a²; cioè 4:

(4a + 6) _* (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) _* ((4a + 6)/ 2).

L'espressione è la seguente:

4 °² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Fattorizzazione con prodotti notevoli

Ci sono casi in cui, per considerare completamente i polinomi con i metodi precedenti, diventa un processo molto lungo.

Ecco perché un'espressione può essere sviluppata con le formule di prodotti notevoli e quindi il processo diventa più semplice. Tra i prodotti notevoli più utilizzati ci sono:

• Differenza di due quadrati: (a² - B²) = (a - b) _* (A + B)
• Quadrato perfetto di una somma: a² + 2ab +b² = (a + b)²
• Quadrato perfetto di una differenza: a² - 2ab + b² = (a - b)²
• Differenza di due cubi: a³ - B³ = (A-B)_*(A² + AB + B²)
• Somma di due cubi: a³ - B³ = (a + b) _* (A² - AB + B²)

Esempio 1

Fattore (5² - X²)

Soluzione

In questo caso c'è una differenza di due quadrati; Pertanto, viene applicata la formula del prodotto notevole:

(A² - B²) = (a - b) _* (A + B)

(5² - X²) = (5 - x) _* (5 + x)

Esempio 2

Fattore 16x² + 40x + 25²

Soluzione

In questo caso, esiste una piazza perfetta di una somma, perché possono essere identificati due termini quadrati e il termine rimasto è il risultato di moltiplicare due per la radice quadrata del primo termine, per la radice quadrata del secondo termine.

A² + 2ab +b² = (a + b)²

Per fare conto, vengono calcolate solo le radici quadrate del primo e del terzo mandato:

√ (16x²) = 4x

√ (25²) = 5.

Quindi i due termini risultanti sono espressi separati dal segno dell'operazione e tutto il polinomio quadrato è elevato:

16x² + 40x + 25² = (4x + 5)².

Esempio 3

Fattore 27a³ - B³

Soluzione

L'espressione rappresenta una sottrazione in cui due fattori sono elevati al cubo. Per tenerli, viene applicata la formula del prodotto notevole della differenza nei cubi, che è:

A³ - B³ = (A-B)_*(A² + AB + B²)

Pertanto, per fattore, la radice cubica viene rimossa da ciascun termine del binomiale e moltiplicata per il quadrato del primo termine, oltre al prodotto del primo al secondo termine, più il secondo termine quadrata.

27A³ - B³

³√ (27a³) = 3a

³√ (-b³) = -b

27A³ - B³ = (3a - b) _* [(3A)² + 3ab + b²)

27A³ - B³ = (3a - b) _* (9a² + 3ab + b²)

Fattorizzazione con la regola Ruffini

Questo metodo viene utilizzato quando si dispone di un polinomio di grado maggiore di due, al fine di semplificare l'espressione a diversi polinomi più piccoli.

Esempio 1

Facredice Q (x) = x⁴ - 9x² + 4x + 12

Soluzione

Innanzitutto vengono ricercati i numeri che sono divisori di 12, che è il termine indipendente; Questi sono ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 e ± 12.

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Quindi la X viene sostituita da questi valori, dal meno al massimo, e quindi viene determinata con quale dei valori la divisione sarà esatta; Cioè, il resto deve essere 0:

x = -1

Q (-1) = (-1)⁴ - 9 (-1)² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1⁴ - 9 (1)² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2⁴ - 9 (2)² + 4 (2) + 12 = 0.

E così via per ogni divisore. In questo caso, i fattori trovati sono per x = -1 e x = 2.

Il metodo Ruffini è ora applicato, in base al quale i coefficienti di espressione saranno divisi per i fattori trovati in modo che la divisione sia esatta. I termini polinomiali sono ordinati da un esponente maggiore a inferiore; Nel caso in cui manca un termine con il grado che segue nella sequenza, un 0 viene posizionato in posizione.

I coefficienti si trovano in uno schema visto nella seguente immagine.

Il primo coefficiente viene abbassato e moltiplicato per il divisore. In questo caso, il primo divisore è -1 e il risultato viene inserito nella colonna seguente. Quindi il valore del coefficiente con quel risultato ottenuto viene aggiunto verticalmente e il risultato viene posizionato di seguito. In questo modo il processo viene ripetuto fino all'ultima colonna.

Quindi la stessa procedura viene ripetuta di nuovo, ma con il secondo divisore (che è 2) perché l'espressione può ancora essere semplificata.

Pertanto, per ogni radice raggiunta il polinomio avrà un termine (x - a), dove "a" è il valore della radice:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

D'altra parte, questi termini dovrebbero essere moltiplicati per il resto che è rimasto della regola Ruffini 1: 1 e -6, che sono fattori che rappresentano un grado. In questo modo si forma l'espressione è: (x² + X - 6).

Ottenere il risultato della fattorizzazione polinomiale con il metodo di Ruffini è:

X⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (X² + X - 6)

Infine, il polinomio di grado 2 che appare nell'espressione precedente può essere riscritto come (x+3) (x-2). Pertanto, la fattorizzazione finale è:

X⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2)_*(x+3)_*(X-2).

Riferimenti

1. Arthur Goodman, L. H. (millenovecentonovantasei). Algebra e trigonometria con geometria analitica. Pearson Education.
2. J, v. (2014). Come insegnare ai bambini il prese in considerazione un polinomio.
3. Manuel Morillo, a. S. (S.F.). Matematica di base con applicazioni.
4. Roelse, p. L. (1997). Metodi lineari per la fattorizzazione polinomiale sui campi finiti: teoria e implementazioni. Università Essen.
5. Sharpe, d. (1987). Anelli e fattorizzazione.