Formule di distribuzione di Poisson, equazioni, modello, proprietà

IL Distribuzione di Poisson È una distribuzione discreta delle probabilità, attraverso la quale puoi conoscere la probabilità che, all'interno di un campione di grandi dimensioni e durante un determinato intervallo, si verifica un evento la cui probabilità è piccola.

Spesso, la distribuzione di Poisson può essere utilizzata al posto della distribuzione binomiale, a condizione che siano soddisfatte le seguenti condizioni descritte: campione di grandi dimensioni e piccole probabilità.

Figura 1. Grafico di distribuzione di Poisson per parametri diversi. Fonte: Wikimedia Commons.

Siméon-Denis Poisson (1781-1840) ha creato questa distribuzione che porta il suo nome, molto utile quando si tratta di eventi imprevedibili. Poisson pubblicò i suoi risultati nel 1837, un lavoro di ricerca sulla probabilità di verificarsi di frasi penali errate.

Successivamente, altri ricercatori hanno adattato la distribuzione in altre aree, ad esempio il numero di stelle che potrebbero essere in un certo volume di spazio o la probabilità che un soldato morisse a causa di un coz di un cavallo.

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Formula ed equazioni

La forma matematica della distribuzione di Poisson è la seguente:

 - La variabile casuale è E

- μ (talvolta anche indicato come λ) È il parametro medio o di distribuzione

- Numero Eulero: E = 2.71828

- La probabilità di ottenere y = k è p

- K È il numero di successi 0, 1,2,3 ..

- N È il numero di test o eventi (dimensione del campione)

Le variabili casuali discrete, come suggerisce il nome, dipendono dal caso e prendono solo valori discreti: 0, 1, 2, 3, 4 ..., k.

La media della distribuzione è data da:

La varianza σ, che misura la dispersione dei dati, è un altro parametro importante. Per la distribuzione di Poisson è:

σ = μ

Poisson ha determinato che quando N → ∞ e P → 0, il μ medio viene chiamato valore atteso- Tende a una costante:

μ → costante

Importante: P È la probabilità di verificarsi dell'evento che tiene conto della popolazione totale, mentre P (y) È la previsione di Poisson sul campione.

Modello e proprietà

La distribuzione di Poisson ha le seguenti proprietà:

-La dimensione del campione è grande: N → ∞.

-Gli eventi o gli eventi considerati sono indipendenti l'uno dall'altro e si verificano in modo casuale.

-Probabilità P Che certo evento E Si verifica per un periodo di tempo specifico è molto piccolo: P → 0.

-La probabilità di più di un evento nell'intervallo di tempo è 0.

-Il valore medio è vicino a una costante data da: μ = n.P (n è la dimensione del campione)

-Poiché la dispersione σ è uguale a μ, in quanto adotta valori maggiori, anche la variabilità è maggiore.

-Gli eventi devono essere distribuiti uniformemente nell'intervallo di tempo utilizzato.

-L'insieme di possibili valori degli eventi E È: 0,1,2,3,4 .. .

Può servirti: esperimento casuale: concetto, spazio campione, esempi

-La somma di Yo Variabili che seguono una distribuzione di Poisson, è anche un'altra variabile di Poisson. Il suo valore medio è la somma dei valori medi di queste variabili.

Differenze con la distribuzione binomiale

La distribuzione di Poisson differisce dalla distribuzione binomiale nei seguenti aspetti importanti:

-La distribuzione binomiale è influenzata sia dalla dimensione del campione S che dalla probabilità P, Ma la distribuzione di Poisson è influenzata solo dalla media μ.

-In una distribuzione binomiale, i possibili valori della variabile casuale E Sono 0,1,2, ... invece nella distribuzione di Poisson non c'è limite superiore per questi valori.

Esempi

Poisson inizialmente applicò la sua famosa distribuzione a casi legali, ma a livello industriale, uno dei suoi primi usi era nella produzione di birra. In questo processo le colture di lievito vengono utilizzate per la fermentazione.

Il lievito è costituito da cellule viventi, la cui popolazione è variabile nel tempo. Nella produzione di birra è necessario aggiungere la quantità necessaria, quindi è necessario conoscere la quantità di celle per unità di volume.

Durante la seconda guerra mondiale, la distribuzione di Poisson fu usata per sapere se i tedeschi indicavano davvero Londra da Calais o semplicemente sparando a caso. Questo era importante per gli alleati determinare quanto fosse buona la tecnologia disponibile per i nazisti.

Applicazioni pratiche

Le applicazioni di distribuzione di Poisson si riferiscono sempre ai conteggi del tempo o allo spazio. E poiché la probabilità di occorrenza è piccola, è anche conosciuta come "Legge degli eventi rari".

Ecco un elenco di eventi che rientrano in una di queste categorie:

-La registrazione delle particelle in un decadimento radioattivo, che come la crescita delle cellule di lievito, è una funzione esponenziale.

-Numero di visite a un determinato sito Web.

-Arrivo delle persone in fila per pagare o essere frequentato (teoria delle code).

-Numero di auto che passano attraverso un certo punto su una strada, per un determinato intervallo di tempo.

figura 2. La quantità di auto che attraversa un punto segue approssimativamente una distribuzione di Poisson. Fonte: Pixabay.

-Mutazioni subite in una certa catena di DNA dopo aver ricevuto l'esposizione alle radiazioni.

-Numero meteora del diametro superiore a 1 m caduto in un anno.

-Difetti per metro quadrato di un tessuto.

-Quantità di cellule del sangue in 1 centimetro cubico.

-Chiamate al minuto a una valutazione telefonica.

-Scintille di cioccolato presenti in 1 kg di pasta per torta.

-Numero di alberi infettati a proposito in 1 ettaro della foresta.

Si noti che queste variabili casuali rappresentano il numero di volte in cui un evento si verifica per un periodo di tempo fisso (Chiamate al minuto alla valutazione telefonica) o una data regione di spazio (Difetti di un tessuto per metro quadrato).

Può servirti: variazione proporzionale

Questi eventi, come già stabilito, sono indipendenti dal tempo che è passato dall'ultima occorrenza.

Avvicinandosi alla distribuzione binomiale con la distribuzione di Poisson

La distribuzione di Poisson è un buon approccio alla distribuzione binomiale fintanto che:

-La dimensione del campione è grande: n ≥ 100

-Probabilità p è piccolo: p ≤ 0,1

- μ essere nell'ordine di: NP ≤ 10

In tali casi, la distribuzione di Poisson è uno strumento eccellente, poiché la distribuzione binomiale può essere complicata da applicare in questi casi.

Esercizi risolti

Esercizio 1

Uno studio sismologico ha stabilito che negli ultimi 100 anni c'erano 93 grandi terremoti in tutto il mondo, almeno 6.0 sulla scala richter -logaritmica-. Supponiamo che la distribuzione di Poisson sia un modello adeguato in questo caso. Trovare:

a) Il verificarsi medio di grandi terremoti all'anno.

B Sì P (y) È la probabilità di accadere E Serrori per un anno selezionato casuale, trova le seguenti probabilità:

P(0), P(1), P (2), P (3), P (4), P (5), P (6) e P (7).

c) I veri risultati dello studio sono i seguenti:

- 47 anni (0 terremoti)

- 31 anni (1 terremoto)

- 13 anni (2 terremoti)

- 5 anni (3 terremoti)

- 2 anni (4 terremoti)

-  0 anni (5 terremoti)

- 1 anni (6 terremoti)

- 1 anni (7 terremoti)

Come vengono questi risultati con quelli ottenuti nella sottosezione B? La distribuzione di Poisson è una buona scelta per modellare questi eventi?

Soluzione a)

a) I terremoti sono eventi la cui probabilità P È piccolo e stiamo prendendo in considerazione un periodo di tempo limitato, di un anno. I terremoti medi sono:

μ = 93/100 terremoti / anno = 0.93 terremoti all'anno.

Soluzione B)

b) Per calcolare le probabilità richieste, i valori vengono sostituiti nella formula indicata all'inizio:

Ad esempio da trovare P (2), Quale sarebbe la probabilità che ci saranno 2 grandi terremoti all'anno:

y = 2

μ = 0.93

E = 2.71828

E questa è la probabilità che ci siano 7 grandi terremoti per un anno:

È abbastanza meno di p (2).

I risultati sono elencati di seguito:

P (0) = 0.395, p (1) = 0.367, p (2) = 0.171, p (3) = 0.0529, p (4) = 0.0123, p (5) = 0.00229, p (6) = 0.000355, p (7) = 0.0000471.

Ad esempio, potremmo dire che esiste una probabilità di 39.5 % che nessun grande terremoto si verifica in un determinato anno. O che ci sono 5,29 % che si verificano 3 grandi terremoti in quell'anno.

Soluzione C)

c) Le frequenze vengono analizzate, moltiplicando per n = 100 anni:

39.5; 36.7; 17.1; 5.29; 1.23; 0.229; 0.0355 e 0.00471.

Può servirti: derivati ​​algebrici

Per esempio:

- Una frequenza di 39.5 indica che, in 39.Si verificano 5 terremoti di 100 anni o grandi, potremmo dire che è abbastanza vicino al vero risultato di 47 anni senza alcun grande terremoto.

Confrontiamo un altro risultato di Poisson con risultati reali:

- Il valore ottenuto da 36.7 significa che in un periodo di 37 anni c'è 1 grande terremoto. Il vero risultato è che in 31 anni ci fu 1 grande terremoto, una buona coincidenza con il modello.

- 17 sono previsti.1 anni con 2 grandi terremoti ed è noto che in 13 anni, il che è un valore ravvicinato, in effetti c'erano 2 grandi terremoti di grandi dimensioni.

Pertanto il modello di Poisson è accettabile per questo caso.

Esercizio 2

Una società stima che il numero di componenti che falliscono prima di completare 100 ore di funzionamento, segua una distribuzione di Poisson. Se il numero medio di guasti è 8 in quel momento, trova le seguenti probabilità:

a) Che un componente fallisce in 25 ore.

b) guasto inferiore a due componenti, in 50 ore.

c) che almeno tre componenti falliscono in 125 ore.

Soluzione a)

a) È noto che l'errore medio in 100 ore è di 8, quindi in 25 ore è prevista la quarta parte dei guasti, vale a dire 2 guasti. Questo sarà il parametro μ.

È richiesta la probabilità di fallire 1 componente, la variabile casuale è "componenti che falliscono prima di 25 ore" e il suo valore è y = 1. Sostituendo nella funzione di probabilità:

 b) Ora la variabile casuale è "componenti che falliscono prima di 50 ore". Il parametro è μ = 4, Poiché il valore atteso dei guasti in 50 ore è 4.

Tuttavia, la domanda è la probabilità che meno di due componenti falliscano in 50 ore, non che esattamente 2 componenti falliscono in 50 ore, quindi dobbiamo aggiungere le probabilità che:

-Nessuno fallisce

-Fallire solo 1

P (meno di 2 componenti) = P (0) + P (1)

P (meno di 2 componenti) = 0.0183+0.0732 = 0.0915

c) Che almeno 3 componenti falliscono in 125, significa che 3, 4, 5 o più in quel momento possono fallire.

La probabilità che si verifichi almeno uno dei numerosi eventi è uguale a 1, tranne la probabilità che nessuno degli eventi si verifichi.

-L'evento richiesto è fallire 3 o più componenti in 125 ore

-Che l'evento non accade significa che meno di 3 componenti falliscono, la cui probabilità è: P (0)+P (1)+P (2)

Il parametro μ della distribuzione in questo caso è:

 μ = 8 + 2 = 10 guasti in 125 ore.

P (caduti 3 o più componenti) = 1- p (0)- p (1)- p (2) =

= 1-0.0026786 = 0.9972

Riferimenti

1. Matematica. Distribuzione di Poisson. Recuperato da: è.Matematica.com
2. Mendenhall, w. 1981. Statistiche per l'amministrazione ed economia. 3 °. edizione. Gruppo editoriale IberoAmerica.
3. Stat Trek. Insegnati statistiche. Distribuzione di Poisson. Recuperato da: stattrek.com,
4. TRIOLA, m. 2012. Statistiche elementari. 11 °. Ed. Pearson Education.
5. Wikipedia. Distribuzione di Poisson. Recuperato da: in.Wikipedia.org