Fisico

Dinamica di un sistema di particelle esempi, esercizi

Dinamica di un sistema di particelle esempi, esercizi

IL Dinamica di un sistema di particelle Consiste nell'applicazione delle leggi di Newton dal movimento a una serie di particelle, che possono essere discrete (le particelle possono essere contate) o per far parte di un oggetto esteso, in questo caso il sistema è continuo.

Per spiegare il movimento di un sistema di particelle, è scomodo analizzare ciascuno separatamente e vedere quali forze agiscono su di esso. Invece, viene definito un punto rappresentativo dell'insieme, chiamato Centro di massa.

Descrivere il movimento del centro di massa offre un panorama di grande successo del movimento globale del set, consente anche di applicare le leggi di Newton analoghe a quando l'oggetto è considerato una particella senza dimensioni.

Quest'ultimo modello, chiamato Modello di particelle, È bene descrivere le traduzioni e anche quando non è necessario considerare le dimensioni dell'oggetto. Ma gli oggetti ordinari sono dimensioni e se hanno anche un movimento di rotazione, è necessario tenere conto dei punti su cui vengono applicate le forze.

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Esempi

La terra e la luna

Illustrazione di terra e luna

Un insieme di particelle discrete m1, M2, M3... che alla fine si muove rispetto all'origine di un sistema di coordinate, a causa di una forza risultante che agisce su di essi è un buon esempio di sistema di particelle.

La Terra può essere considerata come una particella e la luna un'altra, quindi entrambi costituiscono un sistema di 2 particelle sotto l'azione della forza di gravità del sole.

Oggetti estesi

Una persona, un animale o qualsiasi oggetto dell'ambiente, può anche essere considerata un sistema di particelle, solo che questi sono così piccoli, che non si può contare uno per uno. Questo è un sistema continuo, ma tenendo conto di determinate considerazioni, il suo trattamento è lo stesso di un sistema discreto.

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Ecco i dettagli.

Il centro di massa di un sistema di particelle

Per iniziare lo studio di un sistema di particelle devi trovare il centro di massa (CM), che è il punto in cui l'intera massa del sistema è concentrata.

Figura 1. Un sistema di particelle nel sistema di riferimento XYZ. Fonte: f. Zapata.

Per il sistema discreto della Figura 1, con N particelle, ognuna ha un vettore di posizione diretto dall'origine o dal sistema di coordinate al punto P (x, y, z) dove si trova la particella. Questi vettori sono indicati come R1, R2, R3.. RN.

Le coordinate CM sono calcolate dalle seguenti equazioni:

Dove ciascuna delle masse del set è rappresentata come m1, M2, M3... MN. Si noti che la somma ∑ mYo È equivalente alla massa totale del set. Se il sistema è continuo, i riassunti vengono sostituiti con integrali.

Ciascuno degli indirizzi perpendicolari è rappresentato dai vettori dell'unità Yo, J E K, Pertanto, il vettore di posizione CM, indicato RCm, Può essere espresso da:

RCm = xCm Yo + ECm J + zCm K

figura 2. Posizione centrale di massa di un sistema di particelle. Fonte: f. Zapata.

Movimento CM

Una volta nota la posizione del centro di massa, vengono applicate le equazioni conosciute del movimento. La velocità di CM è la prima derivata dalla posizione rispetto al tempo:

In questo caso, il sistema ha una quantità totale di movimento P che viene calcolato come il prodotto della massa totale del sistema e la velocità del centro di massa:

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P = M ∙vCm

In alternativa, la quantità totale di sistema del sistema può essere calcolata direttamente:

P = m1v1 + M2v2 + M3v3 +.. . = ∑ mYo vYo

Mentre l'accelerazione di CM è la velocità derivata:

Forza su cm

Le forze che agiscono su un sistema di particelle possono essere:

  • Forze interne, a causa delle interazioni tra le stesse particelle.
  • Forze esterne, causate da agenti esterni al sistema.

Poiché le forze interne sono presentate da coppie, della stessa grandezza e direzione, ma i sensi opposti, secondo la terza legge di Newton, è soddisfatto che:

∑ Fint = 0

Pertanto, le forze interne non alterano il movimento del tutto, ma sono molto importanti per determinare l'energia interna.

Se il sistema è isolato e non ci sono forze esterne, secondo la prima legge di Newton, il centro di massa è a riposo o si muove con un movimento rettilineo uniforme. Altrimenti, il centro di massa sperimenta un'accelerazione data da:

∑ Fext = M ∙ACm

Dove m è la massa totale del sistema. L'equazione precedente può essere scritta in questo modo:

E significa che la forza esterna è equivalente alla variazione temporanea della quantità di movimento, un altro modo per esprimere la seconda legge di Newton e la stessa usata dal famoso fisico inglese nel suo libro Principio.

Esercizio risolto

Il centro di massa di un sistema a 2 particelle è sull'asse X in un certo momento, in posizione x = 2.0 m e muoversi con velocità 5.0 m/s nella stessa direzione e positivamente. Se una delle particelle è all'origine e all'altra, di massa 0.1 kg, è a riposo a x = 8.0 m, calcola:

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a) La massa della particella che è all'origine.

b) quantità di movimento del sistema

c) Quale velocità è la particella che è all'origine?

Soluzione a

Dall'equazione per la posizione del centro di massa:

RCm = xCm Yo + ECm J + zCm K = 2.0 m Yo

Poiché il CM ha solo una coordinata X, viene utilizzata la prima equazione del trio precedentemente indicato:

Le coordinate vengono ora sostituite, se la particella è indicata all'origine come il numero 1 e l'altra come il numero 2, i dati numerici sono:

X1 = 0 m, x2 = 8.0 m, m2 = 0.1 kg, xCm = 2.0 m

Restare:

= 0.3 kg

Soluzione b

La quantità di movimento del sistema è calcolata da:

P = M ∙vCm

La massa totale m è uguale a:

M = 0.3 kg + 0.1 kg = 0.4 kg

Perciò:

P = 0.4 kg ∙ 5.0 m/s Yo = 2 kg.SM Yo

Soluzione c

Dell'equazione per P di un sistema a due parti, si schiarisce v1, Poiché gli altri dati sono noti, perché l'affermazione afferma che la particella 2 è a riposo, quindi:

v2 = 0 

E P È semplicemente come:

P = m1v1

v1 = P / M1 = 2 kg.SM Yo / 0.3 kg = 6.67 m/s Yo

Riferimenti

  1. Duke University. Sistemi di particelle. Recuperato da: Webhome.Phy.Duca.Edu.
  2. Rex, a. 2011. Fondamenti di fisica. Pearson.
  3. Sears, Zemansky. 2016. Fisica universitaria con fisica moderna. 14 °. Ed. Volume 1. Pearson.
  4. Serway, r., Jewett, J. (2008). Fisica per la scienza e l'ingegneria. Volume 1. 7 °. Ed. Apprendimento del Cengage.
  5. Tipler, p. (2006) Fisica per la scienza e la tecnologia. 5 ° ed. Volume 1. Editoriale tornato.