Matematica

Differenza di formule, equazioni, esempi, esercizi

Differenza di formule, equazioni, esempi, esercizi

IL Differenza di cubi È un'espressione algebrica binomiale della forma3 - B3, dove i termini A e B possono essere numeri reali o espressioni algebriche di vari tipi. Un esempio di differenza di cubi è: 8 - x3, Poiché 8 può essere scritto come 23.

Geometricamente possiamo pensare a un cubo di grandi dimensioni, dal lato A, a cui viene sottratto il piccolo bou del lato B, come illustrato nella Figura 1:

Figura 1. Una differenza di cubi. Fonte: f. Zapata.

Il volume della figura risultante è precisamente una differenza nei cubi:

V = a3 - B3

Per trovare un'espressione alternativa si osserva che questa figura può essere suddivisa in tre prismi, come mostrato di seguito:

figura 2. La differenza nei cubi (a sinistra dell'uguaglianza) è uguale alla somma dei volumi parziali (a destra). Fonte: f. Zapata.

Un prisma ha un volume dato dal prodotto delle sue tre dimensioni: larghezza x alta x profondità. In questo modo, il volume risultante è:

V = a3 - B3 = a2.B + B3 + A.B2

Il fattore B È comune a destra. Inoltre, nella figura mostrata sopra è soddisfatta in particolare che:

b = (a/2) ⇒ a = b + b

Pertanto si può dire che: b = a - b. Così:

A3 - B3 = B (A2 + B2 +A.b) = (a-b) (a2 + A.B + B2)

Questo modo per esprimere la differenza nei cubi si rivelerà molto utile in molte applicazioni e sarebbe stato ottenuto allo stesso modo, sebbene il lato del cubo mancante nell'angolo fosse diverso da B = A/2.

Si noti che la seconda parentesiSembra molto per il notevole prodotto del quadrato della somma, ma il termine incrociato non viene moltiplicato per 2. Il lettore può sviluppare il lato destro per verificare che sia effettivamente ottenuto A3 - B3.

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Può servirti: binomiale quadrato

Esempi

Ci sono diverse differenze di cubi:

1 - m6

A6B3 - 8Z12E6

(1/125).X6 - 27.E9

Analizziamo ognuno di loro. Nel primo esempio, l'1 può essere scritto come 1 = 13 e il termine m6 Rimane: (M2)3. Entrambi i termini sono cubi perfetti, quindi la loro differenza è:

1 -M6 = 13 - (M2)3

Nel secondo esempio i termini vengono riscritti:

A6B3 = (a2B)3

8Z12E6 = 23 (Z4)3 (E2)3 = (2Z4E2)3

La differenza di questi cubi è: (a2B)3 - (2Z4E2)3.

Infine, la frazione (1/125) è (1/53), X6 = (x2)3, 27 = 33 e e9 = (e3)3. Sostituendo tutto questo nell'espressione originale, si ottiene:

(1/125).X6  - 27Y9 = [(1/5) (x2)3 - (3y3)3

Fattorizzazione di una differenza di cubi

Il fatto la differenza nei cubi semplifica molte operazioni algebriche. Per fare questo, è sufficiente usare la formula detratta in precedenza:

Figura 3. Fattorizzazione della differenza nei cubi e espressione di un notevole quoziente. Fonte: f. Zapata.

Ora, la procedura per applicare questa formula è costituita da tre passaggi:

- Innanzitutto, si ottiene la radice cubica di ciascuno dei termini della differenza.

- Quindi sono costruiti il ​​binomiale e il trinomiale che appaiono sul lato destro della formula.

- Infine, il binomiale e il trinomiale vengono sostituiti per ottenere la fattorizzazione finale.

Illustreremo l'uso di questi passaggi con ciascuno degli esempi di differenza di cubi proposti sopra e quindi ottenere il suo equivalente fattorizzato.

Esempio 1

Espressione fatta 1 -m6   Seguendo i passaggi descritti. Iniziamo riscrivendo l'espressione come 1 -m6 = 13 - (M2)3 Per estrarre le rispettive radici cubiche di ogni termine:

Quindi vengono costruiti i binomiali e il trinomiale:

Può servirti: teoria della coda: storia, modello, a cosa serve ed esempi per

A = 1

b = m2

COSÌ:

A - b = 1 - m2

 (A2 +A.B + B2) = 12 + 1.M2 + (M2)2 = 1 + m2 + M4

 Finalmente viene sostituito nella formula A3 - B3 = (a-b) (a2 +A.B + B2)

1 -M6 = (1 - m2) (1 + m2 + M4)

Esempio 2

Fattore:

A6B3 -8Z12E6 = (a2B)3 - (2Z4E2)3

Poiché questi sono cubi perfetti, le radici cubiche sono immediate: a2B e 2Z4E2, Da lì ne consegue:

- Binomiale: a2B - 2Z4E2

- Trinomiale: (a2B)2 + A2B. 2Z4E2 + (A2B +2Z4E2)2

 E ora è costruita la fattorizzazione desiderata:

A6B3 -8Z12E6 = (a2B - 2Z4E2). [(A2B)2 + A2B. 2Z4E2 + (A2B + 2Z4E2)2] =

= (a2B - 2Z4E2). [A4B2 + 2 °2B.z4E2 + (A2B + 2Z4E2)2"

In linea di principio la fattorizzazione è pronta, ma è spesso necessario semplificare ogni termine. Quindi il prodotto straordinario viene sviluppato da una somma - che appare alla fine e quindi aggiunge termini simili. Ricordando che il quadrato di una somma è:

(x + y)2 = x2 + 2xy + e2

Il diritto notevole alla destra si sviluppa in questo modo:

(A2B + 2Z4E2)2 = a4B2 + 4 °2B.z4E2 + 4Z8E4

 Sostituzione dello sviluppo ottenuto nella fattorizzazione della differenza nei cubi:

A6B3 -8Z12E6 = (a2B - 2Z4E2). [A4B2 + 2 °2B.z4E2 + A4B2 + 4 °2B.z4E2 + 4Z8E4] =

Infine, raggruppando termini simili e factoring i coefficienti numerici, che sono tutti coppie, si ottiene:

(A2B - 2Z4E2). [2 °4B2 + 6 °2B.z4E2 + 4Z8E4] = 2 (a2B - 2Z4E2). [A4B2 + 3 °2B.z4E2 + 2Z8E4"

Esempio 3

Fattorize (1/125).X6  - 27Y9 È molto più semplice del caso precedente. Innanzitutto vengono identificati gli equivalenti di A e B:

A = (1/5) x2

B = 3y3

Quindi vengono sostituiti direttamente sulla formula:

(1/125).X6  - 27Y9 = [(1/5) x2 - 3y3". [(1/25) x4 + (3/5) x2E3 + 9y6"

Esercizio risolto

La differenza nei cubi ha, come abbiamo detto, una varietà di applicazioni in algebra. Diamo un'occhiata ad alcuni:

Può servirti: 5 caratteristiche del piano cartesiano

Esercizio 1

Risolvi le seguenti equazioni:

ascia5 - 125 x2 = 0

b) 64 - 729 x3 = 0

Soluzione a

Innanzitutto l'equazione è un fattore in questo modo:

X2 (X3 - 125) = 0

Dato che 125 è un cubo perfetto, la parentesi è scritta come differenza nei cubi:

X2 . (X3 - 53) = 0

La prima soluzione è x = 0, ma ne troviamo di più se facciamo x3 - 53 = 0, quindi:

X3 = 53 → x = 5

Soluzione b

Il lato sinistro dell'equazione viene riscritto come 64 - 729 x3 = 43 - (9x)3. Perciò:

43 - (9x)3 = 0

Poiché l'esponente è lo stesso:

9x = 4 → x = 9/4

Esercizio 2

Espressione di fattorizzazione:

(x + y)3 - (X - y)3

Soluzione

Questa espressione è una differenza nei cubi, se nella formula di fattorizzazione notiamo che:

A = x+ e

b = x- y

Quindi il binomiale viene costruito per primo:

a - b = x+ y - (x- y) = 2y

E ora il trinomiale:

A2 + A.B + B2 = (x+ y)2 + (x + y) (x-y) + (x-y)2

Vengono sviluppati prodotti notevoli:

(x+ y)2 = x2 + 2xy +e2

(x+y) (x-y) = x2- E2

(X-y)2 = x2 - 2xy +e2

Quindi devi sostituire e ridurre i termini simili:

A2 + A.B + B2 = x2 + 2xy +e2+ X2- E2+ X2 - 2xy +e2 = 3x2 + E2

La fattorizzazione risulta in:

(x + y)3 - (X - y)3 = 2y. (3x2 + E2)

Riferimenti

  1. Baldor, a. 1974. Algebra. Editoriale culturale venezuelano S.A.
  2. Fondazione CK-12. Somma e differenza di cubi. Recuperato da: CK12.org.
  3. Khan Academy. Fattore di differenze dei cubi. Recuperato da: è.Khan Academy.org.
  4. La matematica è divertente avanzata. Differenza di due cubi. Recuperato da: Mathsisfun.com
  5. UNAM. Fattorizzazione di una differenza di cubi. Estratto da: DCB.Fi-c.UNAM.MX.