Proprietà dei derivati ​​parziali, calcolo, esercizi

IL derivati ​​parziali di una funzione con diverse variabili indipendenti sono quelle che si ottengono prendendo il derivato ordinario in una delle variabili, mentre le altre sono mantenute o prese come costanti.

Il derivato parziale in una delle variabili, determina come la funzione varia in ciascun punto, per unità di modifica la variabile in questione. 

Figura 1. La pendenza della linea tangente alla curva formata dall'intersezione del piano y = b con la superficie f (x, y) nel punto (a, b) è la derivata parziale di f rispetto a x, valutata in quel punto. Fonte: UPM.È

A causa della sua definizione, il derivato parziale viene calcolato prendendo il limite matematico del quoziente tra la variazione della funzione e la variazione della variabile rispetto a ciò che è derivato, quando il cambiamento di quest'ultimo tende a zero.

Supponiamo che il caso di una funzione F Dipende dalle variabili X E E, vale a dire per ogni coppia (X, y) A è assegnato z: 

f: (x, y) → z .

Il derivato parziale della funzione z = f (x, y), nel rispetto di X è definito come:

Ora, ci sono diversi modi per indicare il derivato parziale di una funzione, ad esempio:

La differenza con il derivato ordinario, in termini di notazione, è che il D di derivazione viene modificato in simbolo ∂, noto come "Jacobi D".

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Proprietà dei derivati ​​parziali

Il derivato parziale di una funzione di diverse variabili, rispetto a una di esse, è il derivato ordinario in detto variabile e considerando il resto come fisso o costante. Per trovare il derivato parziale, è possibile utilizzare le regole di derivazione dei derivati ​​ordinari.

Sotto le proprietà principali:

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Continuità

Se una funzione f (x, y) ha derivati ​​parziali in X E E sul punto (Xo, io) allora si può dire che la funzione è continua a quel punto.

Regola di derivazione

Una funzione f (x, y) Con derivati ​​parziali continui in X E E, che a sua volta dipende da un parametro T Attraverso x = x (t) E y = y (t), Ha un derivato ordinario rispetto alla variabile T, che è calcolato dalla regola della catena:

D_T Z = ∂_Xz d_Tx + ∂_Ez d_TE

Proprietà di chiusura o blocca

Il derivato parziale rispetto a una delle variabili di una funzione F di due o più variabili (X, y, ...), È un'altra funzione G In quelle stesse variabili, ad esempio: 

G (x, y, ...) = ∂_E f (x, y, ...)

Cioè, la derivazione parziale è un'operazione che va da R^N a r^N. In questo senso si dice che sia un operazione chiusa.

Derivati ​​parziali successivi

I successivi derivati ​​parziali di una funzione di diverse variabili possono essere definiti, dando origine a nuove funzioni nelle stesse variabili indipendenti.

Essere la funzione f (x, y). È possibile definire i seguenti derivati ​​successivi:

F_Xx = ∂_XF ;  F_Sì = ∂_SìF ; F_XY = ∂_XYF E F_Yx = ∂_YxF

Gli ultimi due sono noti come Derivati ​​misti Perché coinvolgono due diverse variabili indipendenti.

Teorema di Schwarz

Essere una funzione f (x, y), definito in modo tale che i suoi derivati ​​parziali siano funzioni continue in un sottoinsieme aperto di R².

Quindi, per ogni coppia (X, y) Che appartengano a detto sottoinsieme, i derivati ​​misti sono identici:

∂_XYF = ∂_YxF

L'affermazione precedente è nota come Teorema di Schwarz.

Come vengono calcolati i derivati ​​parziali?

I derivati ​​parziali sono calcolati in modo simile ai derivati ​​delle funzioni ordinarie in una singola variabile indipendente. Quando viene assunto il derivato parziale di una funzione di diverse variabili rispetto a una di esse, le altre variabili sono prese come costanti.

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Di seguito sono riportati diversi esempi:

Esempio 1

Essere la funzione:

f (x, y) = -3x² + 2 (e - 3)²

È richiesto di calcolare il primo derivato parziale rispetto a X e il primo derivato parziale rispetto a E.

Procedura

Per calcolare il parziale F nel rispetto di X, È preso E Come costante:

∂_XF = ∂_X(-3x² + 2 (e - 3)² ) = ∂_X(-3x² )+ ∂_X(2 (e - 3)² ) = -3 ∂_X(X²) + 0 = -6x.

E a sua volta, per calcolare il derivato rispetto a E È preso X Come costante:

∂_EF = ∂_E(-3x² + 2 (e - 3)² ) = ∂_E(-3x² )+ ∂_E(2 (e - 3)² ) = 0 + 2 · 2 (y - 3) = 4y - 12.

Esempio 2

Determina derivati ​​parziali del secondo ordine:  ∂_Xxf, ∂_Sìf, ∂_YxF E ∂_XYF Per la stessa funzione F dell'esempio 1.

Procedura

In questo caso, poiché il primo derivato parziale è già calcolato in X E E (Vedi Esempio 1):

∂_XxF = ∂_X(∂_Xf) = ∂_X(-6x) = -6

∂_SìF = ∂_E(∂_Ef) = ∂_E(4y - 12) = 4

∂_YxF = ∂_E(∂_Xf) = ∂_E(-6x) = 0

∂_XYF = ∂_X(∂_Ef) = ∂_X(4y - 12) = 0

Si osserva che ∂_YxF = ∂_XYF, Soddisfando così il teorema di Schwarz, poiché la funzione F e i suoi primi derivati ​​parziali sono tutti funzioni continue R².

figura 2. La funzione z = f (x, y) = -x2 - y2 + 6 è la superficie mostrata nella figura. Il derivato parziale rispetto a x è la pendenza della linea tangente della curva che risulta dall'intersezione di detta superficie con il piano y = cTte (il caso particolare è mostrato y = 2). Allo stesso modo la parte di F rispetto a ed è la pendenza della tangente all'intersezione con x = 1, nel punto (1, 2, 1).

Esercizi risolti

Esercizio 1

Essere la funzione:

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f (x, y) = -x² - E² + 6

Trova funzioni G (x, y) = ∂_XF  E H (x, y) = ∂_EF.

Soluzione

Il derivato parziale di F nel rispetto di X, per il quale la variabile E Diventa costante:

G (x, y) = - 2x

Allo stesso modo, il derivato parziale di G nel rispetto di E, facendo X costante, risultante per la funzione H:

H (x, y) = -2y

Esercizio 2 

Valuta per il punto (1, 2) le funzioni f (x, y) E G (x, y) dell'esercizio 1. Interpretare i risultati.

Soluzione

I valori vengono sostituiti x = 1 E y = 2 Ottenere:

f (1,2) = -(1)² -(2)² + 6 = -5 + 6 = 1

Questo è il valore che prende la funzione f quando valutato a quel punto.

La funzione f (x, y) È una superficie e coordinata bidimensionali z = f (x, y) È l'altezza della funzione per ogni coppia (X, y). Quando viene presa la coppia (1.2), L'altezza della superficie f (x, y) È Z = 1.

La funzione G (x, y) = - 2x rappresenta un piano nello spazio tridimensionale la cui equazione è Z = -2x O Bene -2x + 0 e -z = 0.

Detto aereo è perpendicolare al piano Xz E attraversa il punto (0, 0, 0). Quando valutato in x = 1 E y = 2 COSÌ Z = -2. Si noti che il valore z = g (x, y) È indipendente dal valore assegnato alla variabile E.

D'altra parte, se la superficie si interseca f (x, y) Con l'aereo y = c, con C costante, hai una curva nel piano Zx: z = -x² - C² + 6.

In questo caso il derivato di z nel rispetto di X coincide con il derivato parziale di f (x, y) nel rispetto di X: D_X Z = ∂_XF .

Quando si valuta in coppia (x = 1, y = 2) Il derivato parziale a quel punto ∂_XF (1.2) È interpretato come il pendio della linea tangente alla curva z = -x² + 2 sul punto (x = 1, y = 2) E il valore di questa pendenza è -2.

Riferimenti

1. Ayres, f. 2000. Calcolo. 5ed. Mc Graw Hill.
2. Derivati ​​parziali di una funzione in diverse variabili. Recuperato da: edificio.Upm.È.
3. Leithold, l. 1992. Calcolo con geometria analitica. Harla, s.A.
4. Purcell, e. J., Varberg, d., & Rigdon, s. E. (2007). Calcolo. Messico: Pearson Education.
5. Gorostizaga J. C. Derivati ​​parziali. Recuperato da: ehu.EUS
6. Wikipedia. Derivata parziale. Recuperato da: è.Wikipedia.com.