Coordinate rettangolari Esempi ed esercizi risolti

IL coordinate rettangolari o cartesiani sono quelli ottenuti se proiettati ortogonalmente sui tre assi cartesiani x, y, z un punto situato nello spazio tridimensionale.

Gli assi cartesiani sono dritti reciprocamente perpendicolari. Nel sistema di coordinate cartesiane, tre numeri reali che sono le sue coordinate rettangolari sono assegnati a ciascun punto dello spazio.

Figura 1. Coordinate rettangolari del punto P (elaborazione propria)

Un aereo è un sottospazio di spazio tridimensionale. In caso di considerare punti su un piano, è sufficiente scegliere una coppia di assi perpendicolari X e come sistema cartesiano. Quindi ad ogni punto sul piano gli vengono assegnati due numeri reali che le sue coordinate rettangolari sono.

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Origine delle coordinate rettangolari

Le coordinate rettangolari furono originariamente proposte dal matematico francese René Descartes (1596 e 1650), motivo per cui ricevono la denominazione dei cartesiani.

Con questa idea di Descartes, ai punti del piano e dello spazio sono assegnati numeri, in modo che le figure geometriche abbiano associato un'equazione algebrica e i classici teoremi geometrici possono essere dimostrati algebramente. Con coordinate cartesiane, è nata la geometria analitica.

Il piano cartesiano

Se su un piano vengono scelte due linee perpendicolari che si intersecano in un punto o; e se anche a ciascuna riga viene assegnata una direzione e una scala numerica tra punti equidistanti successivi, esiste un sistema o un piano cartesiano in cui ogni punto del piano è associato a una coppia ordinata di due numeri reali che sono rispettivamente le sue proiezioni sul assi X e Y.

Punti A = (3, 2); B = (-2, 3); C = (-2, -3) e D = (3, -3) sono rappresentati nel piano cartesiano come mostrato di seguito:

figura 2. Punti sul piano cartesiano. (Elaborazione proprie)

Si noti che i due assi X e Y dividono il piano in quattro settori chiamati quadranti. Il punto A è nel primo quadrante, la B nel secondo quadrante, la C nel terzo quadrante e il punto D nel quarto quadrante.

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Distanza tra due punti

La distanza tra due punti A e B del piano cartesiano è la lunghezza del segmento che li unisce. Questa distanza può essere calcolata analiticamente come segue:

D (a, b) = √ (bx - ax)^2 + (by - ay)^2)

La formula anteriore si ottiene applicando il teorema di Pitagora.

Applicando detta formula ai punti A, B della Figura 2 è:

D (a, b) = √ (-2 - 3)^2 + (3 - 2)^2) = √ (-5)^2 + 1^2) = √ (26)

Cioè, che d (a, b) = 5,10 unità. Si noti che la distanza è stata ottenuta senza la necessità di misurare con una regola, è stata seguita una procedura completamente algebrica.

Espressione analitica di una linea

Le coordinate rettangolari consentono la rappresentazione analitica di oggetti geometrici fondamentali come il punto e la linea. Due punti A e B definiscono una singola riga. La pendenza della linea è definita come il quoziente tra la differenza nelle coordinate e il punto B inferiore, diviso per la differenza nelle coordinate X del punto B meno a:

pending = (by - ay)/(bx - ax)

Un punto di coordinate (x, y) che appartiene alla linea (AB) deve avere la stessa pendenza:

pending = (y - ay)/(x - ax)

L'equazione ottenuta dall'uguaglianza delle pendici è la rappresentazione analitica o algebrica della linea che passa attraverso i punti A e B:

(y - ay)/(x - ax) = (by - ay)/(bx - ax).

Se sei preso per A e B, le coordinate rettangolari della Figura 2 sono:

(Y - 2)/(x - 3) = (3 - 2)/( - 2 - 3)

(y - 2)/(x - 3) = -⅕

In questo caso particolare c'è una linea con una pendenza negativa -⅕, il che significa che si trova su un punto della linea e aumenta la coordinata X in un'unità, la coordinata e diminuiscono in 0,2 unità. 

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Il modo più normale di scrivere l'equazione della linea nel piano è con le coordinate e chiara in funzione della variabile X:

y = -(1/5) x + 13/5 

Esempi

Esempio 1

Ottieni mediante metodi analitici la distanza tra i punti C e A, essendo le coordinate rettangolari di C = (-2, -3) e quelle di A = (3.2).

La formula della distanza euclidea tra questi due punti è scritta in questo modo:

D (a, c) = √ ((cx - ax)^2 + (cy - ay)^2)

Sostituire le coordinate rettangolari corrispondenti che hai:

D (a, c) = √ (-2-3)^2 + (-3-2)^2) = √ (-5)^2 + (-5)^2) = 5√2 = 7.07

Esempio 2

Ottieni l'equazione della linea che passa attraverso il punto C delle coordinate (-2, -3) e il punto P di coordinate (2, 0).

Innanzitutto, si ottiene la pendenza della linea CP:

pending = (0 -(-3)) / (2 -( -2)) = ¾ 

Un punto Q di coordinate rettangolari generiche (x, y) che appartiene alla linea CP deve avere la stessa pendenza:

pending = (y -(-3)) / (x -( -2)) = (y +3) / (x +2)

Vale a dire che l'equazione della linea CP è:

(Y +3) / (x +2) = ¾

Un modo alternativo per scrivere l'equazione della linea CP è eliminare e:

y = ¾ x - 3/2 

Esercizi risolti

Esercizio 1

Ottieni le coordinate rettangolari del punto di intersezione tra le linee y = - (1/5) x + 13/5 e la linea y = ¾ x - 3/2.

Soluzione: per definizione, il punto di intersezione delle due linee condivide le stesse coordinate rettangolari. Pertanto, le coordinate e il punto di intersezione sono identici per entrambe le linee:

-(1/5) x + 13/5 = ¾ x - 3/2

Ciò che porta alla seguente espressione:

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(¾ + ⅕) x = 13/5 +3/2

Si ottiene risolvere la somma delle frazioni:

19/20 x = 41/10

Clearing x:

x = 82/19 = 4.32

Per ottenere il valore e l'intersezione, viene sostituito il valore x ottenuto in una delle linee:

y = ¾ 4.32 - 3/2 = 1.74

Ciò significa che le linee indicate sono intercettate nel punto I delle coordinate i = (4.32; 1,74).

Esercizio 2

Ottieni l'equazione della circonferenza che passa attraverso il punto di coordinata rettangolare R (3, 4) e che ha un centro all'origine delle coordinate.

Soluzione: la radio R è la distanza dal punto R all'origine o dalle coordinate (0, 0).

d (r, o) = √ ((rx - 0)^2 + (ry - 0)^2) = √ ((3 - 0)^2 + (4 - 0)^2) = √ (3^2 + 4^2) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

Cioè, è un raggio 5 cerchio 5 centrato su (0,0).

Un punto p (x, y) della circonferenza deve avere la stessa distanza 5 al centro (0, 0) per ciò che può essere scritto:

D (p, o) = √ ((x - 0)^2 + (y - 0)^2) = √ (x^2 + y^2) = 5

Vale a dire:

√ (x^2 + y^2) = 5

Per eliminare la radice quadrata, entrambi i membri dell'uguaglianza vengono lasciati in silenzio:

x^2 + y^2 = 25

Qual è l'equazione della circonferenza.

Con questo esempio è illustrata la potenza del sistema di coordinate rettangolari, che consente di determinare gli oggetti geometrici, come la circonferenza senza la necessità di utilizzare carta, matita e bussola. È stata determinata la circonferenza richiesta solo con metodi algebrici.

Riferimenti

1. Arfken G e Weber H. (2012). Metodi matematici per i fisici. Una guida completa. 7a edizione. Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Calcolo CC. Coordinate rettangolari Problemi risolti. Recuperato da: calcolo.DC
3. Weisstein, Eric W. "Coordinate cartesiane."Da Mathworld-A Wolfram Web. Recuperato da: Mathworld.Wolfram.com
4. Wikipedia. Sistema di coordinate cartesiano. Recuperato da: in.Wikipedia.com