Coordinate sferiche esempi ed esercizi risolti

IL coordinate sferiche Sono un sistema di localizzazione del punto nello spazio tridimensionale costituito da una coordinata radiale e due coordinate angolari chiamate coordinate polari e coordinate azimutali.

Nella Figura 1, che vediamo sotto, sono mostrate le coordinate sferiche (r, θ, φ) di un punto m. Queste coordinate sono indirizzate a un sistema ortogonale di assi cartesiani x, y, z di origine o.

Figura 1. Coordinate sferiche (r, θ, φ) da un punto m. (Wikimedia Commons)

In questo caso, la coordinata R del punto M è la distanza da quel punto all'origine o. La coordinata polare θ rappresenta l'angolo tra la semi -asse positiva z e il raggio vettoriale om. Mentre la coordinata azimutale φ è l'angolo tra il semi -asse positivo x e il raggio vettoriale om ', essendo M' la proiezione ortogonale di m sul piano XY.

La coordinata radiale R assume solo valori positivi, ma se un punto si trova all'origine, allora r = 0. La coordinata polare θ assume un valore minimo 0º per i punti situati sul semi -trib positivo. Infine, la coordinata azimutale φ assume un valore minimo 0º e un livello massimo a 360º.

0 ≤ r < ∞

0 ≤ θ ≤ 180º

0 ≤ φ  < 360º

[TOC]

Cambio di coordinate

Successivamente, verranno fornite le formule che consentono le coordinate cartesiane (x, y, z) di un punto m, supponendo che le coordinate sferiche dello stesso punto (r, θ, φ):

x = r sen (θ) cos (φ)

y = r sen (θ) sin (φ) 

z = r cos (θ)

Allo stesso modo, è utile trovare le relazioni per spostarsi dalle coordinate cartesiane (x, y, z) di un punto dato alle coordinate sferiche di quel punto:

R = √ (x^2 + y^2 + z^2)

θ = arcan (√ (x^2 + y^2) / z)

Può servirti: variabile casuale discreta

φ = arctan (y / x)

Base vettoriale in coordinate sferiche

Dalle coordinate sferiche, viene definita una base ortonormali di vettori di base, che sono indicati da Ur, Uθ, Uφ. La Figura 1 mostra questi tre vettori dell'unità, che hanno le seguenti caratteristiche:

- Ur È il vettore dell'unità tangente alla linea radiale θ = cTe e φ = cTe;

- Uθ È il vettore tangente unitario all'arco φ = cTe e r = cTe;

- Uφ È il vettore unitario tangente ad arco r = cTte e θ = cTe.

Elementi di linea e volume in coordinate sferiche

La posizione vettoriale di un punto nello spazio nelle coordinate sferiche è scritta in questo modo:

R = r Ur

Ma una variazione infinitesimale o uno spostamento di un punto nello spazio tridimensionale, in queste coordinate è espressa dalla seguente relazione vettoriale:

DR = dr Ur + r dθ Uθ + r sen (θ) dφ Uφ

Infine, un volume infinitesimale DV nelle coordinate sferiche è scritto in questo modo:

dv = r^2 sin (θ) dr dθ dφ

Queste relazioni sono molto utili per il calcolo degli integrali di linea e del volume in situazioni fisiche che hanno una simmetria sferica.

Relazione con le coordinate geografiche

Le coordinate geografiche sono intese che servono a individuare i luoghi sulla superficie terrestre. Questo sistema utilizza le coordinate di latitudine e lunghezza per individuare la posizione sulla superficie della terra.

Nel sistema di coordinate geografiche, si suppone la superficie terrestre.

figura 2. Lunghezza α e β latitudine di un osservatore sulla superficie terrestre.

La latitudine β è un angolo formato da un raggio che inizia dal centro della terra al punto che si desidera posizionare. Viene misurato dal piano equatoriale, come mostrato nella Figura 2. D'altra parte, la lunghezza α è l'angolo che il meridiano del punto che sta mettendo forma rispetto al meridiano zero (noto come Greenwich Meridian).

Può servirti: valore relativo

La latitudine può essere latitudine nord o meridionale, a seconda che il luogo che si trova si trova nell'emisfero settentrionale o nell'emisfero meridionale. Allo stesso modo, la lunghezza può essere ovest o questa a seconda che la posizione sia ovest o est dello zero meridiano.

Formule per passare da geografico a sferico

Per ottenere queste formule, la prima cosa è stabilire un sistema di coordinate. Il piano XY viene scelto in coincidenza con il piano equatoriale, essendo la semi -asse positiva x che va dal centro della terra e attraverso il meridiano zero. A sua volta, l'asse e passa attraverso il 90º e il meridiano. La superficie terrestre ha la radio RT.

Con questo sistema di coordinate, le trasformazioni geografiche a sferiche sono quindi:

αEβN → (RT, θ = 90º-β, φ = α)

αOβN → (RT, θ = 90º-β, φ = 360º-α)

αEβ → (RT, θ = 90º+β, φ = α)

αOβS → (Rt, θ = 90º+β, φ = 360º-α) 

Esempi

Esempio 1

Le coordinate geografiche di Palma de Maiorca (Spagna) sono:

Lunghezza est 38.847º e latitudine settentrionale 39.570º. Per determinare le coordinate sferiche corrispondenti a Palma de Maiorca, viene applicata la prima delle formule delle formule della sezione precedente:

38.847ºE39.570ºN → (r = 6371 km, θ = 90º-39.570º, φ = 38.847º)

Quindi le coordinate sferiche sono:

Palma de Maiorca: (r = 6371 km, θ = 50,43º, φ = 38,85º)

Nella risposta precedente, è stato preso r uguale al raggio medio della terra.

Esempio 2

Sapendo che le Isole Falkland (Falkland) hanno coordinate geografiche 59ºO 51,75ºS, determinare le corrispondenti coordinate polari. Ricorda che l'asse X va dal centro della terra al meridiano 0º e sul piano equatoriale; l'asse Y anche nel piano equatoriale e attraverso il meridiano occidentale a 90º; Finalmente l'asse Z sull'asse della rotazione terrestre nella direzione sud-nord.

Può servirti: curtosi: definizione, tipi, formule, a cosa serve, ad esempio

Per trovare quindi le corrispondenti coordinate sferiche, utilizziamo le formule presentate nella sezione precedente:

59ºO 51,75ºS → (r = 6371 km, θ = 90º+51.75º, φ = 360º-59º) vale a dire

Malvinas: (r = 6371 km, θ = 141,75º, φ = 301º)

Esercizi

Esercizio 1

Trova le coordinate cartesiane di Palma de Maiorca nel sistema di riferimento di Cartesiano XYZ mostrato nella Figura 2.

Soluzione: In precedenza, nell'esempio 1 le coordinate sferiche sono state ottenute in base alle coordinate geografiche di Palma de Maiorca. In modo che le formule presentate sopra possano essere usate per spostarsi da sferici a cartesiani:

x = 6371 km Sen (50,43º) cos (38,85º)

Y = 6371 km Sen (50,43º) Sen (38,85º) 

Z = 6371 km cos (50,43º)

L'esecuzione dei calcoli corrispondenti sono:

Palma de Maiorca: (x = 3825 km, y = 3081 km, z = 4059)

Esercizio 2

Trova le coordinate cartesiane delle Isole Falkland nel sistema di riferimento di Cartesiano XYZ mostrato nella Figura 2.

Soluzione: In precedenza nell'esempio 2 le coordinate sferiche sono state ottenute in base alle coordinate geografiche delle Isole Falkland. In modo che le formule presentate sopra possano essere usate per spostarsi da sferici a cartesiani:

x = 6371 km Sen (141,75º) cos (301º)

y = 6371 km sen (141,75º) sen (301º) 

Z = 6371 km cos (141,75º)

Si ottiene l'esecuzione dei calcoli corrispondenti:

Isole Falkland: (x = 2031 km, y = -3381 km, z = -5003)

Riferimenti

1. Arfken G e Weber H. (2012). Metodi matematici per i fisici. Una guida completa. 7a edizione. Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Calcolo CC. Problemi di coordinate cilindrici e sferici risolti. Recuperato da: calcolo.DC
3. Workshop di astronomia. Latitudine e longitudine. Estratto da: tariffa.Blogspot.com/
4. Weisstein, Eric W. “Coordinate sferiche."Da Mathworld-A Wolfram Web. Recuperato da: Mathworld.Wolfram.com
5. Wikipedia. Sistema di coordinate sferiche. Recuperato da: in.Wikipedia.com
6. Wikipedia. Campi vettoriali in coordinate cilindriche e sferiche. Recuperato da: in.Wikipedia.com