Boltzmann Storia costante, equazioni, calcoli, esercizi

IL Costante di Boltzmann È il valore che mette in relazione l'energia cinetica media di un sistema termodinamico o un oggetto con la temperatura assoluta dello stesso. Sebbene siano spesso confusi, la temperatura e l'energia non sono lo stesso concetto.

La temperatura è una misura di energia, ma non l'energia stessa. Con la costante di Boltzmann, uno è collegato tra loro come segue:

E_C = (3/2) k_B  T

Host Boltzmann a Vienna. Fonte: Dadotet presso l'inglese Wikipedia [CC BY-SA 3.0 (http: // creativeCommons.Org/licenze/by-sa/3.0/]]

Questa equazione è valida per una molecola di gas monoatomica ideale M, Dove E_C È la sua energia cinetica data a Joules, K_B È costante di Boltzmann e T È la temperatura assoluta in Kelvin.

In questo modo, quando aumenta la temperatura, aumenta anche l'energia cinetica media per molecola di sostanza, come previsto. E il contrario accade quando la temperatura diminuisce, essendo in grado di raggiungere il punto in cui l'intero movimento cessa, viene raggiunta la temperatura più bassa possibile o assoluta.

Quando si parla di energia cinetica media è necessario ricordare che l'energia cinetica è associata al movimento. E le particelle possono muoversi in molti modi, ad esempio muoversi, ruotare o vibrare. Naturalmente, non tutti lo farà allo stesso modo e, poiché sono innumerevoli, la media viene presa per caratterizzare il sistema.

Alcuni stati energetici hanno più probabilità di altri. Questo concetto è di radicale importanza in termodinamica. L'energia considerata nell'equazione precedente è l'energia cinetica della traduzione. Della probabilità degli Stati e della loro relazione con la costante di Boltzmann parlerà un po 'più tardi.

Nel 2018 il Kelvin è stato ridefinito e con lui la costante di Boltzmann, che nel sistema internazionale è di circa 1.380649 x 10^-23 J. K^-1. Molta più precisione può essere ottenuta per la costante di Boltzmann, che è stata determinata in numerosi laboratori di tutto il mondo, con metodi diversi.

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Storia

La famosa costante deve il suo nome al fisico Ludwig Boltzmann (1844-1906), nato a Vienna, che ha dedicato la sua vita come scienziato allo studio del comportamento statistico dei sistemi con molte particelle, dal punto di vista della meccanica newtoniana.

Sebbene oggi l'esistenza dell'atomo sia universalmente accettata, nel diciannovesimo secolo la convinzione del fatto che l'atomo esistesse davvero o fosse un artificio con cui sono stati spiegati molti fenomeni fisici erano in piena dibattito.

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Boltzmann era un forte difensore dell'esistenza dell'atomo, e ai suoi tempi affrontò dure critiche al suo lavoro da parte di molti colleghi, che consideravano di contenere paradossi insolubili.

Ha dichiarato che i fenomeni osservabili a livelli macroscopici potrebbero essere spiegati attraverso le proprietà statistiche di particelle costituenti come atomi e molecole.

Questa critica può essere dovuta al profondo episodio di depressione che lo ha portato a togliersi la vita all'inizio del settembre 1906, quando aveva ancora molto da fare, perché era considerato uno dei grandi fisici teorici del suo tempo e lì era poco per il fatto che altri scienziati contribuiranno a confermare la veridicità delle loro teorie.

Non è successo molto tempo dopo la sua morte quando nuove scoperte sulla natura dell'atomo e le sue particelle costituenti sarebbero state aggiunte per dare il motivo a Boltzmann.

Le opere costanti e di Planck di Boltzmann

Ora, costante di Boltzmann K_B È stato introdotto come è noto oggi dopo il lavoro del fisico austriaco. Era Max Planck, nella sua legge sull'emissione del corpo nero, un'opera che presentava nel 1901, che a quel tempo gli diede il valore di 1,34 x 10²³ J/k.

Nell'anno 1933, Boltzmann fu aggiunto a Vienna come tributo poster una targa con la definizione di entropia che coinvolge la famosa costante: S = k_B registro w, equazione che verrà discussa in seguito.

Oggi la costante di Boltzmann è indispensabile nell'applicazione delle leggi termodinamiche, della meccanica statistica e della teoria dell'informazione, i campi di cui questo fisico con una fine era un pioniere.

Valore ed equazioni

I gas possono essere descritti in termini macroscopici e anche in termini microscopici. Per la prima descrizione ci sono concetti come densità, temperatura e pressione.

Tuttavia, va ricordato che un gas è composto da molte particelle, che hanno una tendenza globale a un certo comportamento. È quella tendenza che è macroscopicamente. Un modo per determinare la costante di Boltzmann è grazie all'equazione ben nota dei gas ideali:

P.V = n. R. T

Qui P È la pressione del gas, V È il suo volume, N È il numero di moli presenti, R È la costante dei gas e T È la temperatura. In un mole di gas ideale la seguente relazione tra il prodotto è soddisfatta P.V, e l'energia cinetica della traduzione K L'intero set è:

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P.V = (2/3). K

Quindi l'energia cinetica è:

K = (3/2) n.R.T

Dividendo per il numero totale di molecole presenti, che verranno chiamate n, si ottiene l'energia cinetica media di una singola particella:

E_C = K /n

E_C= (3/2n) n.R.T

In un mol c'è il numero di particelle n_A, E quindi il numero totale di particelle è N = nnA, soggiorno:

E_C = (3/2nn_A) N.R.T

Proprio il quoziente R/n_A È la costante di Boltzmann, essendo dimostrato che l'energia cinetica della traduzione media di una particella dipende solo dalla temperatura assoluta e non da altre magnitudini come pressione, volume o persino dal tipo di molecola:

E_C = (3/2) k_B. T

La costante e l'entropia di Boltzmann

Un gas ha una data temperatura, ma quella temperatura può corrispondere a diversi stati di energia interna. Come visualizzare questa differenza?

Considera il lancio simultaneo di 4 monete e i modi in cui possono cadere:

Modi in cui 4 monete possono cadere. Fonte: sé realizzato

Il set di monete può assumere un totale di 5 stati, che sono considerati Macroscopico, descritto nella figura. Quale di questi stati direbbe il lettore che è il più probabile?

La risposta dovrebbe essere lo stato di 2 facce e 2 croci, perché ha un totale di 6 possibilità, delle 16 illustrate nella figura. E 2⁴ = 16. Questi sono equivalenti agli Stati Uniti microscopico.

E cosa succede se vengono lanciate 20 monete al posto di 4? Ci sarebbero un totale di 2^venti possibilità o "stati microscopici". È un numero molto più grande e più difficile da gestire. Per facilitare la gestione di grandi numeri, i logaritmi sono molto appropriati.

Ora, ciò che sembra evidente è che lo stato con il più grande disturbo è il più probabile. Gli stati più ordinati come 4 facce o 4 francobolli sono un po 'meno probabili.

L'entropia di uno stato macroscopico S è definita come:

S = k_B ln w

Dove W È il numero di possibili stati microscopici e K_B È costante di Boltzmann. COME ln w È senza dimensioni, l'entropia ha le stesse unità di k_B: Joule/k.

Questa è la famosa equazione nella lapide di Boltzmann a Vienna. Tuttavia, più dell'entropia, il pertinente è il cambiamento di esso:

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ΔS = k_B ln w₂ - K_B ln w₁ = k_B ln (w₂/w₁)

Come viene calcolato K_B?

Il valore della costante di Boltzmann si ottiene sperimentalmente proprio con le misurazioni basate su termometria acustica, che vengono eseguiti utilizzando la proprietà che stabilisce la dipendenza dalla velocità del suono in un gas con la temperatura dello stesso.

In effetti, la velocità del suono in un gas è data da:

Dove b _adiabatico È il modulo di compressibilità adiabatica dato da:

B_adiabatico = γP

E ρ è la densità del gas. Per l'equazione precedente, P È la pressione del gas in questione e γ È il coefficiente adiabatico, il cui valore per un gas specifico si trova nelle tabelle.

Gli istituti metrologici sperimentano anche altri modi per misurare la costante, come JOHNSON NOUME TERMOMETRY, che utilizza le fluttuazioni termiche che si verificano casualmente nei materiali, in particolare nei driver.

Esercizi risolti

-Esercizio 1

Trovare:

a) L'energia cinetica della traduzione media E_C che ha una molecola di gas ideale a 25 ºC

b) l'energia cinetica della traduzione K delle molecole in 1 mol di questo gas

c) La velocità media di una molecola di ossigeno a 25 ºC

Fatto

M_ossigeno = 16 x 10 ^-3 kg/mol

Soluzione

A) E_C = (3/2) k t = 1.5 x 1.380649 x 10^-23J. K^-1 x 298 K = 6.2 x 10^-ventuno J

B) K = (3/2) n.R.T = 5 x 1 mol x 8.314 J/mol .K x 298 K = 3716 J

C) E_C = ½ mv², Tenendo conto che la molecola di ossigeno è diatomica e la massa molare deve essere moltiplicata per 2, sarà:

-Esercizio 2

Trova il cambiamento di entropia quando 1 moli di gas occupato con un volume di 0.5m³ Si espande per occupare 1 m³.

Soluzione

ΔS = k_B ln (w₂/w₁)

W₂= 2^NW₁ (Ce n'erano 2⁴ Stati microscopici per il lancio di 4 monete, ricorda?)

Dove n è il numero di particelle presenti in 0.5 mol di gas 0.5 x n_A:

ΔS = k_B ln (2^N W₁/w₁) = k_B ln 2^N= k_B 0.5n_A ln 2 = 2.88 J/K

Riferimenti

1. Atkins, p. 1999. Chimica fisica. Omega Editions. 13-47.
2. Bauer, w. 2011. Fisica per ingegneria e scienze. Volume 1. Mc Graw Hill. 664-672.
3. Giancoli, d.  2006. Fisica: principi con applicazioni. 6 ° ... Ed Prentice Hall. 443 -444.
4. Sears, Zemansky. 2016. Fisica universitaria con fisica moderna. 14 °. Ed. Volume 1. 647-673.
5. Se ridefinizione. Kelvin: Boltzmann costante. Recuperato da: NIST.Gov