Calcolo dell'approccio usando differenziali

Un approccio in matematica è un numero che non è il valore esatto di qualcosa, ma è il più vicino che è considerato utile come detto valore esatto.

Quando vengono eseguiti gli approcci in matematica, è perché è manualmente difficile (o talvolta impossibile) conoscere il valore preciso di ciò che vuoi.

Lo strumento principale quando si lavora con gli approcci è il differenziale di una funzione. Il differenziale di una funzione F, indicato da Δf (x), non è altro che il derivato della funzione f moltiplicato per la variazione nella variabile indipendente, cioè Δf (x) = f '(x)*Δx.

A volte vengono utilizzati df e dx al posto di Δf e Δx.

Approcci usando differenziale

La formula applicata per eseguire un'approssimazione attraverso il differenziale deriva solo dalla definizione della derivata di una funzione come limite.

Questa formula è data da:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0)*(x-x0) = f (x0) + f' (x0)*Δx.

Qui si capisce che Δx = x-x0, quindi x = x0+Δx. Usando questo la formula può essere riscritta come

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)*Δx.

Va notato che "x0" non è un valore arbitrario, ma che è un tale valore che F (x0) è facilmente noto; Inoltre, "f (x)" è solo il valore che vogliamo affrontare.

Ci sono approcci migliori?

La risposta è si. Il precedente è il più semplice degli approcci chiamati "approccio lineare".

Per approcci di migliore qualità (l'errore commesso è inferiore), vengono utilizzati i polinomi con più derivati ​​chiamati "polinomi di Taylor", così come altri metodi numerici come il metodo di Newton-Raphson tra gli altri.

Strategia

La strategia da seguire è:

- Scegli una funzione F adeguata per eseguire l'approssimazione e il valore "x" che f (x) è il valore che si desidera approssimare.

- Scegli un valore "x0", vicino a "x", in modo tale che f (x0) sia facile da calcolare.

- Calcola ΔX = X-X0.

- Calcola la funzione derivata e f '(x0).

- Sostituire i dati nella formula.

Esercizi di approssimazione risolti

In ciò che continua ci sono una serie di esercizi in cui vengono eseguite approssimazioni usando differenziale.

1. Primo esercizio

Circa √3.

Soluzione

Seguendo la strategia devi scegliere una funzione adeguata. In questo caso si può vedere che la funzione da scegliere deve essere f (x) = √x e il valore per approssimarsi è f (3) = √3.

Ora devi scegliere un valore "x0" vicino a "3" in modo che f (x0) sia facile da calcolare. Se viene scelto "x0 = 2", deve "x0" è vicino a "3" ma f (x0) = f (2) = √2 non è facile da calcolare.

Il valore di "x0" che si adatta è "4", perché "4" è vicino a "3" e anche F (x0) = f (4) = √4 = 2.

Se “x = 3” e “x0 = 4”, allora Δx = 3-4 = -1. Ora viene calcolato il derivato di F. Cioè, f '(x) = 1/2*√x, quindi f' (4) = 1/2√4 = 1/2*2 = 1/4.

Si ottiene la sostituzione di tutti i valori nella formula:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4)*( - 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1.75.

Se viene utilizzato un calcolatore, si ottiene che √3≈1.73205 ... questo mostra che il risultato precedente è una buona approssimazione del valore reale.

2. Secondo esercizio

Circa √10.

Soluzione

Come prima viene scelto come funzione f (x) = √x e in questo caso x = 10.

Il valore di X0 che deve essere scelto in questa occasione è "x0 = 9". È quindi necessario.

Quando si valuta nella formula si ottiene

√10 = f (10) ≈ 3 + 1*1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ..

Usando un calcolatore si ottiene che √10 ≈ 3.1622776 ... qui puoi anche vedere che prima è stato ottenuto un buon approccio.

3. Terzo esercizio

Circa ³√10, dove ³√ indica la radice cubica.

Soluzione

Chiaramente, la funzione che dovrebbe essere utilizzata in questo esercizio è f (x) = ³√x e il valore di "x" deve essere "10".

Un valore vicino a "10" in modo tale che la sua radice cubica sia nota è "x0 = 8". Quindi devi Δx = 10-8 = 2 e f (x0) = f (8) = 2. Devi anche f '(x) = 1 /3*³√x² e conseguente /12.

Sostituzione dei dati nella formula si ottiene che:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12)*2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.16666 .. .

Il calcolatore dice che ³√10 ≈ 2.15443469 ... Pertanto, l'approssimazione è stata buona.

4. Quarto esercizio

Circa LN (1.3), dove "LN" indica la funzione del logaritmo naturale.

Soluzione

Innanzitutto viene scelto come funzione f (x) = ln (x) e il valore di "x" è 1.3. Ora, sapendo un po 'della funzione del logaritmo, puoi sapere che ln (1) = 0, e anche "1" è vicino a "1.3 ". Pertanto, è scelto "x0 = 1" e quindi Δx = 1.3 - 1 = 0.3.

D'altra parte, f '(x) = 1/x, in modo che f' (1) = 1. Quando si valuta nella formula data è necessario:

ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1*0.3 = 0.3.

Quando si utilizza una calcolatrice è necessario LN (1.3) ≈ 0.262364 ... in modo che l'approssimazione fatta sia buona.