Tipi di assiomi di probabilità, spiegazione, esempi, esercizi

IL assiomi di probabilità Sono proposizioni matematiche per quanto riguarda la teoria della probabilità, che non meritano dimostrazione. Gli assiomi furono istituiti nel 1933 dal matematico russo Andrei Kolmogorov (1903-1987) nel suo lavoro Fondamenti di teoria della probabilità e gettato la base dello studio matematico della probabilità.

Quando si eseguono un certo esperimento casuale ξ, lo spazio del campione è quello con insieme a tutti i possibili risultati dell'esperimento, chiamato anche eventi. Ogni evento è indicato come a e p (a) è la probabilità di accadere. Quindi Kolmogorov ha stabilito che:

Figura 1. Gli assiomi di probabilità consentono di calcolare la probabilità di colpire il gioco d'azzardo come la roulette. Fonte: Pixabay.

-Axioma 1 (nessuna negatività): La probabilità che si verifichi qualsiasi evento è sempre positiva o zero, P (a) ≥0. Quando la probabilità di un evento è 0, si chiama Evento impossibile.

-Axioma 2 (certezza): a condizione che un evento che appartiene a E, la sua probabilità di occorrenza sia 1, che possiamo esprimere come P (e) = 1. È ciò che è noto come a Evento sicuro, Da quando si esegue un esperimento, c'è un risultato con tutta la certezza.

-Axioma 3 (aggiunta): Nel caso di due o più eventi incompatibili da due a due, chiamati a₁, A₂, A₃..., la probabilità dell'evento a₁ più il a₂ più il a₃ E così via, è la somma delle probabilità che ognuna si verifica separatamente.

Questo è espresso come: Papà₁ U a₂ U a₃ U ...) = p (a₁) + P (a₂) + P (a₃) +..

figura 2. Il straordinario matematico russo Andrei Kolmogorov (1903-1987), che ha gettato le basi per probabilità assiomatica. Fonte: Wikimedia Commons.

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Esempio

Gli assiomi di probabilità sono ampiamente utilizzati in molte applicazioni. Per esempio:

Un artiglio o un tachuela vengono gettati in aria e quando il pavimento cade, c'è la possibilità di cadere con la punta su (u) o con la punta verso il basso (d) (non considereremo altre possibilità). Lo spazio campione di questo esperimento è costituito da questi eventi, quindi e = u, d.

Può servirti: solidi della rivoluzione: volume, tipi, esercizi risoltiFigura 3. Nell'esperimento del lancio del Tachuela ci sono due eventi di diverse probabilità: cadere con la punta su o sul pavimento. Fonte: Pixabay.

Applicando gli assiomi abbiamo:

P (e) = 1 (Axioma 2)

Ma P (e) = p (u) + p (d) (Axioma 3), poiché questi eventi sono reciprocamente incompatibili o disgiunti. Il bug non cade con la punta su o giù allo stesso tempo, è l'uno o l'altro, ma non entrambi, poiché altre possibilità vengono prese in considerazione. COSÌ:

P (u) + p (d) = 1

P (u) = 1 - p (d)

Se è altrettanto probabile cadere con la punta su o giù, P (u) = p (d) = ½ (Axioma 1). Tuttavia, potrebbe essere che a causa della costruzione e del design del bug. Ad esempio, potrebbe essere quello P (u) = ¾ Mentre P (d) = ¼ (Axioma 1).

Si noti che in entrambi i casi, la somma delle probabilità fornisce 1. Tuttavia, gli assiomi non indicano come allocare le probabilità, almeno non completamente. Ma affermano che sono numeri tra 0 e 1 e che, come si verifica in questo caso, la somma di tutti è 1.

Modi per assegnare probabilità

Gli assiomi di probabilità non costituiscono un metodo per assegnare il valore della probabilità. Per questo ci sono tre opzioni compatibili con gli assiomi:

Regola di Laplace

A ogni evento viene assegnata la stessa probabilità di accadere, quindi la probabilità di occorrenza è definita come:

P (a) = numero di casi favorevoli all'evento A/ Numero di casi possibili

Ad esempio, qual è la probabilità di estrarre un asso da un mazzo di carte francese? Il mazzo ha 52 carte, 13 di ogni bastone e ci sono 4 bastoncini. Ogni bastone ha 1 AS, quindi in totale ci sono 4 assi:

P (as) = ​​4/52 = 1/13

La regola di Laplace è limitata agli spazi campione finiti, in cui ogni evento è ugualmente probabile.

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Frequenza relativa

Qui l'esperimento deve essere ripetibile, poiché il metodo si basa sull'esecuzione di un gran numero di ripetizioni.

Facciamo ripetizioni dell'esperimento ξ, di cui scopriamo che n è il numero di volte che si verifica un determinato evento A, quindi la probabilità che questo evento si verifichi è:

P (a) = lim_{I → ∞} (nessuno dei due)

Dove n/i è la frequenza relativa di un evento.

Definire p (a) in questo modo soddisfa gli assiomi di Kolmogorov, ma ha l'inconveniente che molti test debbano essere eseguiti in modo che la probabilità sia appropriata.

Metodo soggettivo

Una persona o un gruppo di persone può accettare di assegnare la probabilità a un evento, attraverso i propri giudizi. Questo metodo ha lo svantaggio che persone diverse possono assegnare diverse probabilità allo stesso evento.

Esercizio risolto

Nell'esperimento di lancio contemporaneamente 3 valute oneste, ottenendo le possibilità degli eventi descritti:

a) 2 facce e una croce.

b) 1 faccia e due croci

c) 3 croci.

d) almeno 1 faccia.

Soluzione a

I volti sono indicati con C e le croci con x. Ma ci sono diversi modi per ottenere due facce e una croce. Ad esempio, le prime due monete possono cadere con il viso e la terza con Cruz. O il primo può cadere in faccia, la seconda croce e la terza faccia. E infine il primo può essere una croce e le facce rimanenti.

Per rispondere alle domande è necessario conoscere tutte le possibilità, che sono descritte in uno strumento chiamato Diagramma ad albero O Albero di probabilità:

Figura 4. Diagramma degli alberi per il lancio simultaneo di tre monete oneste. Fonte: f. Zapata.

La probabilità che in qualsiasi valuta sia costosa è ½, lo stesso accade per le croci, poiché la valuta è onesta. Nella colonna di destra, tutte le possibilità di lancio sono elencate, ovvero lo spazio campione.

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Le combinazioni che rispondono all'evento richiesto sono scelte dallo spazio campione, poiché l'ordine in cui appaiono i volti non è importante. Ci sono tre eventi favorevoli: CCX, CXC e XCC. La probabilità di ogni evento è:

P (ccx) = ½. ½ . ½ = 1/8

Lo stesso accade per gli eventi CXC e XCC, ognuno ha 1/8 di probabilità di accadere. Pertanto la probabilità di ottenere esattamente 2 facce è la somma delle probabilità di tutti gli eventi favorevoli:

P (2 facce) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0.375

Soluzione b

Trovare la probabilità che ci siano esattamente due croci è un problema analogo a quello precedente, ci sono anche tre eventi favorevoli tratti dallo spazio del campione: CXX, XCX e XXC. Perciò:

P (2 croci) = 3/8 = 0.375

Soluzione c

Sappi intuitivamente che la probabilità di ottenere 3 croci (o 3 facce) è inferiore. In questo caso, l'evento richiesto è XXX, alla fine della colonna destra, la cui probabilità è:

P (xxx) = ½. ½. ½ = 1/8 = 0.125.

Soluzione d

È richiesto di ottenere almeno 1 faccia, ciò significa che possono andarsene 3 facce, 2 facce o 1 faccia. L'unico evento incompatibile con questo è quello in cui escono 3 croci, la cui probabilità è 0.125. Pertanto la probabilità richiesta è:

P (almeno 1 faccia) = 1 - 0.125 = 0.875.

Riferimenti

1. Canavos, g. 1988. Probabilità e statistiche: applicazioni e metodi. McGraw Hill.
2. Devore, j. 2012. Probabilità e statistiche per l'ingegneria e la scienza. 8 °. Edizione. Cengage.
3. Lipschutz, s. 1991. Serie Schaum: probabilità. McGraw Hill.
4. OBREGón, i. 1989.Teoria della probabilità. Limusa editoriale.
5. Walpole, r. 2007. Probabilità e statistiche per l'ingegneria e la scienza. Pearson.