Definizione di curtosi, tipi, formule, a cosa serve, ad esempio

IL Curtosi o kurtosi È un parametro statistico che serve a caratterizzare la distribuzione di probabilità di una variabile casuale, indicando il grado di concentrazione di valori attorno alla misura centrale. Questo è anche noto come "Grado di punta".

Il termine deriva dal "kurtos" greco che significa arcuato, quindi la curtosi indica il grado di puntamento o appiattimento della distribuzione, come si vede nella seguente figura:

Figura 1. Diversi tipi di curtosi. Fonte: f. Zapata.

Quasi tutti i valori di una variabile casuale tendono a raggrupparsi attorno a un valore centrale come la media. Ma in alcune distribuzioni, i valori sono più dispersi che in altre, risultando in curve più appiattite o più sottili.

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Definizione

La curtosi è un valore numerico di ciascuna distribuzione di frequenza, che in base alla concentrazione di valori intorno alla media, sono classificati in tre gruppi:

-Leptocurico: in cui i valori sono molto raggruppati attorno alla media, quindi la distribuzione è abbastanza appuntita e snella (Figura 1, a sinistra).

-Mesocurico: Ha una moderata concentrazione di valori intorno alla media (Figura 1 al centro).

-Phylicuric: Questa distribuzione ha una forma più ampia, perché i valori tendono ad essere più dispersi (Figura 1 a destra).

Formule ed equazioni

Curtosi può avere un valore, senza limitazioni. Il suo calcolo viene eseguito in base al modo in cui vengono consegnati i dati. La notazione utilizzata in ogni caso è la seguente:

-Coefficiente di cortosi: G₂

-Media aritmetica: X o x con barra

-Un i-eme: X_Yo

-La deviazione standard: σ

-Il numero di dati: N

-La frequenza dell'i-esimo: F_Yo

-Marchio di classe: MX_Yo

Con questa notazione, presentiamo alcune delle formule più comunemente usate per trovare Curtosi:

Può servirti: spazio vettoriale: base e dimensione, assiomi, proprietà

- Curtosi in base alla presentazione dei dati

Senza raggruppare o dati raggruppati alle frequenze

Dati raggruppati a intervalli

Eccesso di curtosi

Chiamato anche Coefficiente di puntamento di Fisher O Misura di Fisher, Serve a confrontare la distribuzione in studio con la distribuzione normale.

Quando la curtosi in eccesso vale 0, siamo in presenza di una distribuzione normale o di Gauss Bell. In questo modo, fintanto che viene calcolata l'abbronzatura in eccesso di una distribuzione, la stiamo effettivamente confrontando con la distribuzione normale.

Sia per i dati senza raggruppamento che per i dati raggruppati, il coefficiente di puntamento Fisher, indicato da K, è:

K = G₂ - 3

Tuttavia, si può dimostrare che la curtosi della distribuzione normale è 3, quindi se il coefficiente di puntamento del Fisher è 0 o vicino a 0 e c'è una distribuzione mesocurica. Se k> 0 la distribuzione è leptocurica e se k<0 es platicúrtica.

A cosa serve la curtosi?

La curtosi è una misura di variabilità utilizzata per caratterizzare la morfologia di una distribuzione. In questo modo, le distribuzioni simmetriche possono essere confrontate con la stessa dispersione media ed uguale (data dalla deviazione standard).

Avere misure di variabilità garantisce che le medie siano affidabili e aiutano a controllare le variazioni di distribuzione. Ad esempio, analizziamo queste due situazioni.

3 stipendi dei dipartimenti

Supponiamo che il seguente grafico mostri le distribuzioni nello stipendio di 3 dipartimenti della stessa società:

figura 2. Tre diverse distribuzioni illustrano situazioni pratiche. (Preparato da Fanny Zapata)

La curva A è la più sottile di tutte, e nella sua forma si deduce che la maggior parte degli stipendi di quel dipartimento sono molto vicini alla media, quindi la maggior parte dei dipendenti riceve un compenso simile.

Può servirti: numeri interi

Per la sua parte nel Dipartimento B, la curva salariale segue una distribuzione normale, poiché la curva è mesocurica, in cui assumiamo che gli stipendi siano stati distribuiti in modo casuale.

E infine abbiamo la curva C che è molto appiattita, un segno che in questo dipartimento la gamma di stipendio è molto più ampia rispetto agli altri.

I risultati di un esame

Supponiamo ora che le tre curve della Figura 2 rappresentino i risultati di un esame applicato a tre gruppi di studenti della stessa materia.

Il gruppo le cui qualifiche sono rappresentate dalla curva al leptocurico, è piuttosto omogeneo, il più ottenuto una valutazione media o stretta.

È anche possibile che il risultato fosse dovuto al fatto che le domande dell'esame avevano più o meno lo stesso grado di difficoltà.

D'altra parte, i risultati del gruppo C indicano una maggiore eterogeneità nel gruppo, che probabilmente contiene studenti medi, alcuni studenti più eccezionali e sicuramente un altro meno attento.

O potrebbe significare che le domande del test avevano gradi di difficoltà molto diversi.

La curva B è mesocurica, indicativa che i risultati del test hanno seguito una distribuzione normale. Questo è di solito il caso più frequente.

Esempio risolto di curtosi

Trova il coefficiente di puntamento di Fisher per i seguenti voti, ottenuto in un esame di fisica a un gruppo di studenti, con una scala da 1 a 10:

5, 5, 4, 7, 7,7, 9, 8, 9, 4, 3

Soluzione

La seguente espressione verrà utilizzata per i dati non gruppi, riportati nelle sezioni precedenti:

Con il coefficiente di Fisher Point dato da:

Può servirti: identità pitagoriche: dimostrazione, esempio, esercizi

K = g₂ - 3

Questo valore consente di conoscere il tipo di distribuzione.

Per calcolare g₂ È conveniente farlo in modo ordinato, passo dopo passo, poiché devono essere risolte diverse operazioni aritmetiche.

Passo 1

Innanzitutto, viene calcolata la media delle qualifiche. Ci sono n = 11 dati.

X = (5+5+4+7+7+7+9+8+9+4+3)/11 = 6.182

Passo 2

Si trova la deviazione standard, per la quale viene utilizzata questa equazione:

 Usando un calcolatore con funzioni statistiche il risultato è immediato:

σ = 1.992

Oppure puoi anche costruire una tabella, che è anche richiesta per il passaggio successivo e in cui è scritto ogni termine dei riassunti che saranno necessari, a partire da (x_Yo - X), quindi (x_Yo - X)² E poi (x_Yo - X)⁴ :

Passaggio 3

Eseguire la somma indicata nel numeratore della formula per G₂. Per questo, viene utilizzato il risultato della colonna destra della tabella precedente:

∑ (X_Yo - X)⁴= 290.quindici

Perciò:

G₂ = (1/11) x 290.15 /1.992⁴ = 1.675

Il coefficiente di segnaletica di Fisher è:

K = g₂ - 3 = 1.675 - 3 = -1.325

Quali interessi è il segno del risultato, che, quando negativo, corrisponde a una banca di diversi livelli di difficoltà.

L'uso di un foglio di calcolo come Excel, facilita notevolmente la risoluzione di questi tipi di problemi e offre anche la possibilità di graficamente la distribuzione.

Riferimenti

1. Levin, r. 1988. Statistiche per gli amministratori. 2 °. Edizione. Prentice Hall.
2. Marco, f. Curtosi. Recuperato da: Economipedia.com.
3. Oliva, j. Asimmetria e curtosi. Estratto da: statisticsAucv.File.WordPress.com.
4. Spurr, w. 1982. Processo decisionale in amministrazione. Limusa.
5. Wikipedia. Curtosi. Recuperato da: in.Wikipedia.org.