Formule ed equazioni antiderivative, esempi, esercizi

UN antiderivativo F (x) di una funzione F(x) è anche chiamato primitivo o semplicemente l'integrale indefinito di detta funzione, se in un determinato intervallo Yo, È vero che F '(x) = f (x)

Ad esempio, prendiamo la seguente funzione:

f (x) = 4x³

Un antiderivativo di questa funzione è f (x) = x⁴, Dal momento derivando da F (x) dalla regola della derivazione per i poteri:

Si ottiene esattamente f (x) = 4x³.

Tuttavia, questo è solo uno dei tanti antiderivativi di f (x), poiché questa altra funzione: g (x) = x⁴ + 2 È anche, perché derivando da G (x) rispetto a x, è lo stesso che si ottiene indietro f (x).

Controlliamo:

Ricorda che quello derivato da una costante è 0. Pertanto al termine x⁴ Puoi aggiungere qualsiasi costante e il suo derivato continuerà a essere 4x³.

Si è concluso che qualsiasi funzione della forma generale f (x) = x⁴ + C, dove C è una vera costante, funge da antiderivativo di f (x).

Il precedente esempio illustrativo può essere espresso come segue:

df (x) = 4x³ Dx

L'antiderivativo o l'integrale indefinito è espresso con il simbolo ∫, quindi:

F (x) = ∫4x³ dx = x⁴ + C

Dove la funzione f (x) = 4x³  È chiamato integrazione, e c è il Costante di integrazione.

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Esempi di antiderivativi

Figura 1. L'anti -hotley non è altro che un integrale indefinito. Fonte: Pixabay.

Trovare un antiderivativo di una funzione è semplice in alcuni casi in cui i derivati ​​sono ben noti. Ad esempio, sii la funzione f (x) = sen x, un non prodigioso per essa è un'altra funzione f (x), in modo tale che quando deriva si ottiene f (x).

Quella funzione può essere:

F (x) = - cos x

Controlliamo che sia vero:

F '(x) = (- cos x)' =- (-sen x) = sin x

Quindi possiamo scrivere:

∫sen x dx = -cos x + c

Oltre a conoscere i derivati, esistono regole di integrazione di base e semplici per trovare antiderivativi o integrale indefiniti.

Può servirti: derivati ​​successivi

Sii una vera costante, quindi:

1.- ∫kdx = k ∫dx = kx + c

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

Se una funzione H (x) può essere espressa come somma o sottrazione di due funzioni, allora il suo integrale indefinito è:

3.- ∫h (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

Questa è la proprietà della linearità.

IL Regola di potere Per integrali può essere stabilito in questo modo:

Questa regola ha un'ovvia restrizione: dal denominatore N +1 Non può essere fatto 0, quindi n ≠ -1.

Nel caso di n = -1 viene utilizzata la seguente regola:

5.- ∫X ^-1 Dx = ln x +c

È facile dimostrare che il derivato di ln x è precisamente X ^-1.

Equazioni differenziali

Un'equazione differenziale è quella in cui l'ignoto è come derivato.

Ora, dall'analisi precedente, è facile rendersi conto che l'operazione inversa al derivato è l'antiderivativo indefinito o integrale.

Sia f (x) = y '(x), cioè derivato da una certa funzione. Possiamo usare la seguente notazione per indicare questo derivato:

Ne consegue immediatamente:

dy = f (x) dx

L'ignoto dell'equazione differenziale è la funzione y (x), quella la cui derivata è f (x). Per cancellarlo, l'espressione precedente è integrata su entrambi i lati, il che equivale all'applicazione dell'antiderivativo:

∫dy = ∫f (x) dx

L'integrale sinistro viene risolto dalla Regola 1 di integrazione, con k = 1 e quindi il ricercato -awaite viene cancellato:

e (x) = ∫f (x) dx = f (x) + c

E poiché C è una costante reale, per sapere quale sia appropriato in ciascun caso, l'istruzione deve contenere informazioni aggiuntive sufficienti per calcolare il valore di C. Questo è chiamato Condizione iniziale.

Vedremo esempi di applicazione di tutto questo nella prossima sezione.

Può servirti: stima puntuale

Esercizi antiderivati

- Esercizio 1

Applicare le regole di integrazione per ottenere i seguenti antiderivativi o integrali non definiti delle funzioni fornite, semplificando i risultati il ​​più possibile. È conveniente verificare il risultato per derivazione.

figura 2. Esercizi anterivati ​​o integranti definiti. Fonte: Pixabay.

Soluzione a

Applichiamo per la prima volta la Regola 3, poiché l'integrazione è la somma di due termini:

∫ (x +7) dx = ∫ xdx +∫7dx

Per il primo integrale viene applicata la regola dei poteri:

∫ xdx = (x² /2)+C₁

Nella seconda regola integrale 1 si applica, essendo k = 7:

∫7dx = 7∫dx = 7x + c₂

E ora i risultati vengono aggiunti. Le due costanti sono raggruppate in una, genericamente chiamata C:

∫ (x+7) dx = (x² /2) + 7x + C

Soluzione b

Per linearità questo integrale si decompone in tre integrali più semplici, a cui verrà applicata la regola dei poteri:

∫ (x^3/2 + X² + 6) dx = ∫x^3/2 Dx + ∫x² dx +∫6 dx =

= (2/5) x^5/2 + (1/3) x³ + 6x + c

Si noti che per ogni integrale appare una costante di integrazione, ma si incontrano in una singola chiamata C.

Soluzione c

In questo caso, è conveniente applicare la proprietà distributiva della moltiplicazione per sviluppare l'integrazione. Quindi usi la regola dei poteri per trovare ogni integrale separatamente, come nell'anno precedente.

∫ (x+1) (3x-2) dx = ∫ (3x²-2x+3x-2) dx = ∫ (3x² + X - 2) dx

Il lettore attento osserverà che i due termini centrali sono simili, quindi sono ridotti prima di integrare:

∫ (x+1) (3x-2) dx = ∫3x² dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x³ + (1/2) x² - 2x + c

Soluzione E

Un modo per risolvere l'integrale sarebbe quello di sviluppare energia, come è stato fatto nell'esempio D. Tuttavia, poiché l'esponente è più elevato, sarebbe necessario apportare una variazione variabile, in modo da non dover fare uno sviluppo così lungo.

Può servirti: variabile casuale continua

La variazione variabile è la seguente:

U = x + 7

Derivando su entrambi i lati questa espressione:

Du = dx

L'integrale si trasforma in un più semplice con la nuova variabile, che viene risolta con la regola dei poteri:

∫ (x+7)⁵ Dx = ∫ u⁵ du = (1/6) u⁶ + C

Infine, la modifica viene restituita per tornare alla variabile originale:

∫ (x+7)⁵ Dx = (1/6) (x+7)⁶ + C

- Esercizio 2

Una particella è inizialmente a riposo e si muove lungo l'asse x. La sua accelerazione per t> 0 è data dalla funzione a (t) = cos t. È noto che a T = 0, la posizione è x = 3, tutte nelle unità del sistema internazionale. È richiesto di trovare la velocità V (t) e la posizione x (t) della particella.

Soluzione

Poiché l'accelerazione è la prima derivata dalla velocità rispetto al tempo, hai la seguente equazione differenziale:

a (t) = v '(t) = cos t

Ne consegue che:

v (t) = ∫ cos t dt = sin t + c₁

D'altra parte, sappiamo che la velocità è a sua volta il derivato della posizione, quindi ci integriamo di nuovo:

x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sin t + c₁) dt = ∫sen t dt + ∫c₁ dt = - cos t + c₁ t + c₂

Le costanti di integrazione sono determinate dalle informazioni fornite nella dichiarazione. Innanzitutto, dice che la particella era inizialmente a riposo, quindi V (0) = 0:

V (0) = sin 0 + c₁ = 0

C₁ = 0

Quindi devi x (0) = 3:

x (0) = - cos 0 + c₁ 0 + c₂ = - 1 + C₂ = 3 → C₂ = 3+1 = 4

Le funzioni di velocità e posizione sono sicuramente così:

v (t) = sen t

x (t) = - cos t + 4

Riferimenti

1. Engler, a. 2019. Calcolo integrale. Università nazionale della costa.
2. Larson, r. 2010. Calcolo di una variabile. 9na. Edizione. McGraw Hill.
3. Testi matematici gratuiti. Antiderivatives. Recuperato da: matematica.LiiBreTexts.org.
4. Wikipedia. Antiderivativo. Recuperato da: in.Wikipedia.org.
5. Wikipedia. Integrazione indefinita. Recuperato da: è.Wikipedia.org.