Definizione della velocità angolare, formula, calcolo ed esercizi

IL velocità angolare È una misura della velocità di rotazione ed è definito come l'angolo che ruota il vettore di posizione dell'oggetto che ruota, per unità di tempo. È una grandezza che descrive molto bene il movimento di molti oggetti che si girano costantemente ovunque: CD, ruote per auto, macchinari, terra e molti altri.

Uno schema di "London Eye" può essere visto nella figura seguente. Rappresenta il movimento di un passeggero rappresentato dal punto P, che segue la traiettoria circolare, chiamata C:

Rappresentazione schematica della traiettoria circolare che segue un passeggero di "London Eye". Fonte: sé realizzato.

Il passeggero occupa la posizione P nell'istante T e la posizione angolare corrispondente a quel momento è ϕ.

Dal momento in cui viene trascorso un periodo di tempo Δt. In quel periodo la nuova posizione del passeggero puntuale è p 'e la posizione angolare ha aumentato un angolo Δϕ.

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Come viene calcolata la velocità angolare ?

Per le magnitudini rotazionali, le lettere greche sono ampiamente utilizzate, al fine di differenziarle dalle magnitudini lineari. Quindi inizialmente viene definita la velocità angolare media ω_M Mentre l'angolo viaggiava in un determinato periodo di tempo.

Quindi il quoziente Δϕ/Δt rappresenterà la velocità angolare media ω_M Tra i momenti t e t+Δt.

Se vuoi calcolare il velocità angolare Proprio al momento t, allora il quoziente Δϕ/Δt dovrà essere calcolato quando Δt ➡0:

 L'unità di misura di velocità angolare è rad/s.

Relazione tra velocità lineare e angolare

Velocità lineare v, È il quoziente tra la distanza percorsa e il periodo di tempo usato per viaggiarlo.

Nella figura sopra, la via dell'arco è ΔS. Ma quell'arco è proporzionale all'angolo viaggiato e al raggio, soddisfacendo la seguente relazione, che è valida fintanto che Δϕ è misurato in radianti:

Può servirti: metodo del parallelogramma: esempi, esercizi risolti

ΔS = R ・ Δϕ

Se dividiamo l'espressione precedente tra il periodo di tempo ΔT e prendiamo il limite quando Δt ➡0, otterremo:

v = r ・ ω

Movimento di rotazione uniforme

La foto è il famoso "London Eye", una ruota rotante alta 135 m che ruota lentamente, in modo che le persone possano salire a bordo delle cabine alla loro base e godersi il paesaggio di Londra. Fonte: Pixabay.

Un movimento di rotazione è uniforme se in qualsiasi momento osservato, l'angolo viaggiato è lo stesso nello stesso periodo di tempo.

Se la rotazione è uniforme, la velocità angolare in qualsiasi momento coincide con la velocità angolare media.

In un movimento di rotazione uniforme il tempo in cui una svolta completa è chiamata periodo e indica t.

Inoltre, quando l'angolo viene girato, è 2π (equivalente a 360º). Ecco perché in una rotazione uniforme la velocità angolare ω è correlata al periodo t, per mezzo della seguente formula:

La frequenza è definita F di una rotazione uniforme come il quoziente tra il numero di turni e il tempo trascorso a viaggiarli. Come 1 ritorno è in viaggio in un tempo t (il periodo) ha la seguente relazione:

F = 1/t

In altre parole, in una rotazione uniforme, la velocità angolare è correlata alla frequenza di:

Ω = 2π ・ f

Risolti esercizi di velocità angolare

Esercizio 1

Le cabine della grande ruota rotante conosciute come "L'occhio di Londra"Si muovono lentamente. La velocità delle cabine è di 26 cm/se la ruota ha un diametro di 135 m.

Con questi dati calcola:

Può servirti: sole

i) la velocità angolare della ruota

ii) la frequenza di rotazione

iii) Il tempo che prende una cabina per girare.

Risposte:

Yo) La velocità V in m/s è: v = 26 cm/s = 0,26 m/s.

La radio è metà del diametro: r = (135 m) / 2 = 67,5 m

v = r ・ ω => ω = v/r = (0,26 m/s)/(67,5 m) = 0,00385 rad/s

Ii) Ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (0,00385 rad / s) / (2π rad) = 6,13 x 10^-4 giri/s

F = 6.13 x 10^-4 turn/s = 0,0368 turno/min = 2,21 turno/ora.

Iii) T = 1 / f = 1/21 giro / ora = 0,45311 tempo = 27 min 11 sec

Esercizio 2

Un'auto giocattolo si muove su una pista circolare di raggio di 2 m. A 0 s la sua posizione angolare è 0 rad, ma dopo un tempo la sua posizione angolare è data da:

φ (t) = 2 ・ t 

Determinare:

i) Velocità angolare 

ii) velocità lineare in qualsiasi momento.

Risposte:

Yo) La velocità angolare è il derivato della posizione angolare: ω = φ '(t) = 2.

In altre parole.

Ii) La velocità lineare dell'auto è: v = r ・ ω = 2 m ・ 2 rad/s = 4 m/s = 14,4 km/h

Esercizio 3

La stessa macchina dell'esercizio precedente inizia a fermarsi. La sua posizione angolare in funzione del tempo è data dalla seguente espressione:

φ (t) = 2 ・ t - 0,5 ・ t² 

Determinare:

i) velocità angolare in qualsiasi momento

ii) velocità lineare in qualsiasi momento

iii) Il tempo che impieghi per fermarti dal momento in cui inizi a rallentare

iv) l'angolo percolato 

v) a distanza percorsa

Risposte:

Yo) La velocità angolare è il derivato della posizione angolare: ω = φ '(t)

Ω (t) = φ '(t) = (2 ・ t - 0,5 ・ t²) '= 2 - t

Ii) La velocità lineare dell'auto in qualsiasi momento è data da:

v (t) = r ・ ω (t) = 2 ・ (2 - t) = 4 - 2 t

Può servirti: velocità relativa: concetto, esempi, esercizi

Iii) Il tempo che assume il momento in cui inizia a rallentare.

v (t) = 4 - 2 t = 0 => t = 2

Vale a dire che si ferma 2 s dopo aver iniziato a fermarsi.

IV) Nel periodo di 2 secondi, dal momento in cui inizia a fermarsi fino a quando non viene viaggiato un angolo dato da φ (2):

φ (2) = 2 ・ 2 - 0,5 ・ 2^2 = 4 - 2 = 2 rad = 2 x 180 / π = 114,6 gradi

V) Nell'arco di 2 s compreso poiché inizia a fermarsi fino a quando non si ferma una distanza da:

S = r ・ φ = 2m ・ 2 rad = 4 m

Esercizio 4

Le ruote di un'auto hanno un diametro di 80 cm. Se l'auto si muove a 100 km/h. Trova: i) la velocità angolare della rotazione della ruota, ii) la frequenza di rotazione delle ruote, iii) il numero di giri che la ruota dà in un percorso di 1 ora.

Risposte:

Yo) In primo luogo gireremo la velocità dell'auto di km/h a m/s

V = 100 km / h = (100/3.6) m/s = 27,78 m/s

La velocità angolare di rotazione delle ruote è data da:

Ω = v/r = (27,78 m/s)/(0,4 m) = 69,44 rad/s

Ii) La frequenza di rotazione delle ruote è data da:

F = ω / 2π = (69,44 rad / s) / (2π rad) = 11,05 turn / s

La frequenza di rotazione è generalmente espressa in rivoluzioni al minuto r.P.M.

F = 11,05 Turn/S = 11.05 Turn/(1/60) min = 663.15 R.P.M

Iii)  Il numero di turni che la ruota dà in una rotta di 1 ora, viene calcolato sapendo che 1 ora = 60 minuti e che la frequenza è il numero di turni N diviso per il tempo in cui vengono somministrati.

F = n / t => n = f ・ t = 663.15 (turni / min) x 60 min = 39788,7 giri.

Riferimenti

1. Giancoli, d. Fisica. Principi con applicazioni. 6a edizione. Prentice Hall. 106-108.
2. Resnick, r. (1999). Fisico. Volume 1. Terza edizione in spagnolo. Messico. Azienda editoriale continentale S.A. di c.V. 67-69.
3. Serway, r., Jewett, J. (2008). Fisica per la scienza e l'ingegneria. Volume 1. 7 °. Edizione. Messico. Editori di apprendimento di Cengage. 84-85.
4. Geogebra.org