Concetto di variazione lineare, esempi, esercizio fisico risolto

IL Variazione lineare Si verifica tra due magnitudini fisiche quando il grafico che le rappresenta è una linea retta. È equivalente a affermare che le variabili sono in dipendenza lineare, in modo che se uno di essi lo chiamiamo "y" e l'altro "x", saranno correlate per espressione matematica:

y = mx + b

In questa formula, M e B sono numeri reali. Il valore di m rappresenta la pendenza o l'inclinazione della linea - che è sempre costante - e B è il taglio della linea con l'asse verticale.

La variazione lineare di una grandezza rispetto a un'altra significa che il suo grafico è una linea retta. Fonte: Joulesergia/CC BY-S (https: // creativeCommons.Org/licenze/by-sa/4.0)

Ogni fenomeno che risponde a una variazione lineare ha nomi diversi per le variabili, come vedremo nei seguenti esempi. Tuttavia, la forma matematica dell'equazione è la stessa.

Sperimentalmente può essere stabilito se esiste una relazione lineare tra due magnitudini, misurando coppie di valori (x, y).

I punti ottenuti sono grafici in una carta millimetrica e sono osservati se hanno una tendenza lineare, cioè se esiste una linea che si regola adeguatamente ai dati sperimentali.

In primo luogo, questa linea può essere tracciata visivamente, ma per mezzo di a regressione lineare Possono essere trovati analiticamente, i valori di M e B della linea che si adattano meglio ai punti sperimentali.

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Esempi di variazione lineare

Esistono numerosi fenomeni naturali, nonché relazioni stabilite tra i modelli di misurazione, che obbediscono a una variazione lineare, ad esempio:

Velocità nel movimento rettilineo uniformemente vario

La velocità a seconda del tempo V (t) di un cellulare che si sposta lungo una linea con accelerazione costante a e velocità iniziale V_O  diverso da 0. Questo movimento è noto come movimento rettilineo uniformemente vario E l'equazione di velocità è:

Può servirti: densità

v (t) = v_O + A

Dilatazione termica

Un altro fenomeno naturale la cui variazione è lineare è l'aumento di lunghezza che sperimenta un'asta o un filo quando riscaldato.

In effetti, quando la temperatura di qualsiasi oggetto aumenta, anche le sue dimensioni e questo aumento dipende dalla variazione di temperatura Δt e da una quantità chiamata coefficiente di dilatazione lineare indicato dalla lettera greca α:

L = l_O + α Δt

In questa espressione L è la lunghezza finale dell'oggetto e l_O è la sua lunghezza iniziale.

Posizione di un cellulare a velocità costante

Un cellulare con velocità costante si muove sempre in linea retta. Se la linea retta è l'asse orizzontale x, la posizione x (t) in qualsiasi momento è data da:

x (t) = x_O + Vt

Dove x_O È la posizione iniziale, v è la velocità e t è il tempo. In questo modo si dice che la posizione x varia linearmente con il tempo t.

Una statura di una persona

Medici e antropologi possono stimare la statura di una persona misurando la lunghezza del femore.

Maggiore è una persona, più a lungo hanno le gambe, quindi ci sono modelli lineari per prevedere l'altezza di una persona adulta H (in pollici) se la lunghezza L (anche in pollici) del suo femore è nota, secondo l'equazione:

H = 1.880⋅l + 32.010

Scale di temperatura

Le scale Celsius e Fahrenheit vengono utilizzate quotidianamente per misurare le temperature. Quest'ultima scala è comunemente usata nei paesi di lingua inglese. C'è un'equivalenza per spostarsi dall'una all'altra:

F = (9/5) c + 32

Dove f è la temperatura in gradi Fahrenheit e C è la temperatura in gradi Celsius.

Pressione e profondità

La pressione assoluta p in un fluido incomprimibile come l'acqua, la cui densità costante è ρ, varia a seconda della profondità h come:

Può servirti: tiro orizzontale: caratteristiche, formule ed equazioni, esercizi

P = p_O + ρgh

Dove p_O È la pressione sulla superficie libera del liquido. Se il liquido è in un contenitore aperto all'atmosfera, questa pressione è semplicemente la pressione atmosferica P_ATM, Essere in grado di scrivere allora:

P = p_ATM + ρgh

La pressione atmosferica a livello del mare è di circa 101 kPa. Questa relazione tra p e h significa che la pressione aumenta linearmente con la profondità.

La pressione sperimentata dal subacqueo varia linearmente con la profondità. Fonte: Ahmed Samy/Pexels.

Esercizio risolto

Costo di guida

Il costo mensile C di gestione di un'auto include un costo fisso mensile c_O più il costo del chilometraggio o il chilometraggio viaggiati ogni mese. Un pilota osserva che in un mese il costo di gestione era di $ 380 per $ 480 e il mese successivo era $ 460 per 800 miglia.

Lascia che la quantità di miglia sia percorsa al mese dal conducente, con i dati forniti, trova:

a) La variazione lineare tra C e D.

b) Quanto sarebbe costato l'auto al mese in un viaggio di 1500 miglia?

c) il grafico di C rispetto a D.

Soluzione a

Supponiamo che le variabili abbiano una relazione data da:

C = c_O + A.D

Dove a e c_O Sono costanti da determinare. A è la pendenza della linea che rappresenta graficamente la relazione tra C e D. CO è il taglio con l'asse verticale, il costo fisso mensile che il conducente deve pagare per il semplice fatto di avere l'auto disponibile. Qui potrebbero essere inclusi i costi di manutenzione e tasse, ad esempio.

Per determinare inequivocabilmente una linea è necessario conoscere la sua pendenza. Per questo abbiamo i punti:

P₁: 480 miglia, $ 380

P₂: 800 miglia, $ 460

Questi punti, di coordinate (d, c) o (distanza, costo) sono analoghi ai punti di coordina. La pendenza della linea è quindi data da:

Può servirti: piano inclinato

A = (c₂ - C₁)/(D₂ - D₁)

A = [(460 - 380) $ / (800 - 480) miglia] = (1/4) $ / miglia

La pendenza della linea rappresenta il costo per miglio, in questo modo:

C = c_O + A.D = co + (1/4).D

Per determinare il costo di base C_O Questa equazione è presa e uno dei punti che sappiamo appartiene ad essa, ad esempio p₁:

380 $ = c_O + [(1/4) $ / Mile] . 480 miglia → 380 $ = c_O + $ 120

C_O = $ 260

Ora possiamo formulare il modello di variazione lineare come:

C = 260 + (1/4) d

Soluzione b

Il costo mensile per viaggiare per 1500 miglia è:

C = 260 + (1/4) x 1500 $ = $ 635

Soluzione c

Il grafico di C in funzione di D è:

Il costo C di maneggevolezza di un veicolo è una funzione lineare della distanza percorsa d. Fonte: Stewart, J. Precalcolazione.

Riferimenti

1. Baldor. 1977. Algebra elementare. Edizioni culturali venezuelane.
2. Hoekenga, c. Equazioni lineari nella scienza. Recuperato da: Visionlearning.com.
3. Hoffman, J. Selezione di problemi di matematica. Volume 2.
4. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Stewart, J. 2006. Prececculment: matematica per il calcolo. 5 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.
6. Zill, d. 1984. Algebra e trigonometria. McGraw Hill.