Variabile casuale discreta

Spieghiamo cos'è una variabile casuale discreta, le sue caratteristiche, diamo esempi e risolviamo esercizi

Cos'è una variabile casuale discreta?

UN variabile casuale discreta È un valore numerico ottenuto a caso, a seguito di un esperimento e che richiede solo valori limitati o contabili. Ciò significa che, dati due valori consecutivi della variabile, non vi è alcun valore intermedio tra loro.

Esempi di variabili discrete sono il numero di petali di un fiore, quante facce (o croci) sono contemporaneamente due monete, il numero di membri o figli di una famiglia, il numero di persone che vivono in una casa e molte altre.

In tutti i casi, i risultati dell'esecuzione dell'esperimento sono contabili. Può essere definita una variabile casuale chiamata "x = numero di bambini di una famiglia" e questa variabile può prendere i valori 0, 1, 2, 3 ..

Quindi, per un caso generale, una variabile casuale discreta viene identificata da:

X = x₁, X₂, X₃... X_K

Dove x₁, X₂, X₃... sono i possibili risultati dell'esperimento.

È spesso interessato a conoscere la probabilità di verificarsi di ciascuno di questi possibili risultati, indicato come:

P₁ = P (x = x₁)

P₂ = P (x = x₂)
.
.
.

E così via per ogni valore x. L'indice "i" varia da 1 a k: i = 1,2,3… k.

Questo elenco, che contiene le probabilità di ciascun possibile risultato dell'esperimento, è chiamato distribuzione di probabilità O funzione di probabilità, a condizione che la variabile casuale sia numerica, la probabilità di ciascun evento è compresa tra 0 e 1 e la somma di tutte le probabilità è uguale a 1.

Esempi di variabili casuali discrete

Le variabili casuali discrete sono sempre numeriche e contabili. Di solito misurano il numero di volte in cui si verifica un evento, ad esempio:

• Numero di chiamate ricevute da un call center un pomeriggio.
• Importo dei depositi bancari effettuati in un solo giorno.
• Avvia un dado e leggi il numero che appare sulla parte superiore.
• Numero di volti che escono durante il lancio di due valute identiche.
• Studenti che hanno approvato l'esame Algebra I, selezionati casualmente da un gruppo di 100 studenti di ingegneria di un'università.
• Membri adulti di una mandria di elefanti in una riserva africana.
• Numero di bambini per famiglia in una certa città.
• Persone che frequentano una funzione cinematografica di mezzanotte.
• Numero di auto che passano attraverso un pedaggio su un'autostrada.

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Valori interi e frazionari

Tutte le variabili casuali discrete menzionate prendono interi valori. Tuttavia, variabili casuali discrete possono essere definite con valori frazionari, ad esempio la variabile casuale F data da:

F = frazione di pezzi difettosi scegliendo casualmente 50 elementi di un lotto

I valori possibili sono i seguenti:

• Non viene trovato alcun pezzo difettoso: f₁= 0
• Solo 1 pezzo difettoso di 50: F₂= 1/50 = 0.02
• Due pezzi difettosi si trovano in 50: f₃= 2/50 = 0.04
• E così via, fino al caso in cui i 50 pezzi scelti sono cattivi: f₅₁ = 50/50 = 1

Esercizi risolti

Esercizio 1: identificare variabili casuali discrete

Hanno le variabili casuali date da:

X = Numero di terremoti all'anno, si è verificato in una certa zona geografica

Y = lunghezza esatta del piede umano

Z = dimensioni calzature per adulti

R = durata di una chiamata a a Call center

Sono tutte variabili casuali discrete? Giustifica la risposta.

Soluzione

Le variabili X e Z sono discrete, poiché il numero di terremoti in un anno è un importo contabile. D'altra parte, le dimensioni delle calzature sono finite, la numerazione può variare in base al paese, ad esempio 6, 6.5, 7 ..., ma è anche un importo finito.

D'altra parte, la lunghezza esatta del piede umano può prendere qualsiasi valore. Ad esempio, tra due persone il cui piede misura 23.5 e 23.8 cm, è sempre possibile trovarne un altro la cui misura del piede, diciamo 23.6 cm. Anche questo tipo di variabile è casuale, ma continua.

Per quanto riguarda il tempo che dura una telefonata, non è una variabile discreta, poiché ci sono valori infiniti tra due volte T₁ e T₂ durata.

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Esercizio 2: due monete simultanee

Un esperimento consiste nel lanciare contemporaneamente due valute identiche, per le quali è definita la variabile casuale x = numero di facce. Trovare:

a) i valori che X prende.

b) la distribuzione delle probabilità

Soluzione a

I possibili risultati dell'esperimento sono i seguenti: nessuno costoso (due foche), UN costoso e a foca, UN foca e uno costoso E infine, due volti.

Negando il viso come c e il sigillo come s, i risultati sono riassunti come segue:

Ω = (s, s); (C, s); (S, c); (DC)

Questo set è noto come il Spazio campione.

Pertanto, la variabile casuale X prende i valori: 0 (nessuna faccia), 1 (una faccia in entrambe le monete) e 2 (era costoso in entrambe le monete). Poiché i risultati sono contabili, la variabile, oltre a casuale, è discreta:

X = 0,1,2

Soluzione b

Quando viene lanciata una moneta, se onesto, il costoso O foca Hanno la stessa possibilità di andarsene, pari a ½. Pertanto, se vengono lanciate contemporaneamente due monete, poiché i risultati sono indipendenti, poiché le monete non si influenzano, la probabilità di ottenere due lati (o due croci) sta moltiplicando le probabilità di ciascun evento.

Se si ottengono due croci, significa che non è uscito alcun volto:

P (2 croci = 0 facce) = p (x = 0) = ½ ∙ ½ = ¼

D'altra parte, la probabilità della combinazione CS o SC è la somma delle due probabilità favorevoli:

P (1 faccia) = p (x = 1) = ¼ + ¼ = ½

Infine, la probabilità di ottenere due facce è:

P (2 facce) = p (x = 2) = ½ ∙ ½ = ¼

Si noti che questa distribuzione di probabilità soddisfa i requisiti stabiliti all'inizio:

La probabilità di ciascun evento è compresa tra 0 e 1.

Aggiungendo le tre probabilità, 1: ¼ + ½ + ¼ = 1

Può servirti: vettori colineali L'istogramma mostra la distribuzione di probabilità per il lancio di due valute identiche. Nell'asse orizzontale viene posizionata la variabile casuale, il centro della barra corrisponde al valore della variabile. E nell'asse verticale la probabilità è posizionata, in questo caso, percentuale. Fonte: f. Zapata.

Esercizio 3: Dlanci un dado equilibrato

Un esperimento consiste nel lanciare due volte un dado equilibrato. La variabile casuale definita è:

X = Numero di volte a 1 esce

a) Elencare i possibili risultati dell'esperimento e determinare i valori della variabile casuale.

b) Trova la distribuzione delle tue probabilità.

Soluzione a

Dato che si tratta di un dado equilibrato, tutte le facce hanno la stessa probabilità di andarsene, e poiché i dadi sono un cubo con sei facce, questa probabilità è uguale a 1/6.

I possibili risultati dell'esperimento possono essere sintetizzati come segue:

• Non ottieni 1 o una volta: x₁= 0
• L'1 esce solo una volta: x₂= 1
• Entrambi i lanci sono 1: x₃= 2

Pertanto, la variabile casuale X è discreta e ha tre valori:

X = 0,1,2

Soluzione b

Per quanto riguarda la distribuzione delle probabilità di questa variabile, la prima cosa è notare che l'insieme di tutti i possibili risultati è costituito da 36 coppie, che costituiscono lo spazio del campione:

Ω = (1,1), (1.2), (1.3)… (1.6); (2,1), (2,2), (2,3); (3,1), (3,2), (3,3); (4.1), (4,2)… (4.6); (5,1), (5,2)… (5,6); (6,1), (6.2)… (6.6)

-Ora quelle coppie vengono conteggiate in cui non si ottiene un 1:

X₁ = (X = 0) = (2,2), (2,3)… (2,6); (3,2), (3,3)…; (4.2), (4,3)…; (5,2), (5.3)…; (6.2), (6.3) ...

In totale, ci sono 25 coppie, in cui l'1 non viene visualizzato, quindi, la probabilità di ottenere uno di questi coetanei è:

P₁ = P (x = 0) = 25/36

-Quindi, i coetanei in cui 1 appare solo una volta:

X₂ = (X = 1) = (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (3,1) ( 4.1), (5.1), (6,1)

Ci sono 10 coppie, quindi:

P₂ = P (x = 1) = 10/36 = 5/18

-Infine, c'è solo una coppia in cui 1 esce due volte: (1,1). COSÌ:

P₃ = P (x = 2) = 1/36