Valore assoluto

Qual è il valore assoluto?

Lui valore assoluto di un numero reale è definito come la distanza tra quel numero e 0 della linea reale. Per essere una distanza, il suo valore è sempre positivo o zero e uguale alla figura del numero.

Il valore assoluto è rappresentato posizionando il numero tra due barre verticali, un simbolo che viene letto: "valore assoluto di", Come riassunto nella tabella seguente:

Ad esempio, il valore assoluto di -3 è scritto come │ -3│ ed è uguale a 3. Ciò significa che tra -3 e 0 ci sono tre unità, che rappresentano i numeri sulla linea reale. D'altra parte, il valore assoluto di +3 o semplicemente 3, è uguale a 3, poiché misurando la sua distanza su 0 sono anche tre unità.

Il valore assoluto di -3 è uguale al valore assoluto di +3, poiché la distanza tra uno di entrambi è la stessa è la stessa

In sintesi, il valore assoluto di un numero è la stessa figura del numero ma sempre con un segno positivo.

Proprietà del valore assoluto

Definizione di valore assoluto

Le proprietà principali del valore assoluto:

• 1) Il valore assoluto di un numero è sempre positivo o 0, quindi:

│x│≥ 0

• 2) Il valore assoluto di zero è anche zero, cioè │0│ = 0, quindi si può affermare che:

│x│ = 0, sì y solo se x = 0

• 3) Per ogni numero x che appartiene all'insieme di numeri reali, il valore assoluto di x è uguale al valore assoluto di - x:

│x│ = │ - X│

• 4) Se il valore assoluto di un numero x è a, significa che ci sono due opzioni per quel numero: i) x = +a o ii) x = -a.

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Ad esempio, se il valore assoluto di un numero è 5, le due possibilità sono che il numero è +5 o -5.

Operazioni con valore assoluto

Le seguenti proprietà sono molto utili per eseguire operazioni con valori assoluti:

• 5) Per "x" e "y" che sono due numeri reali, la seguente disuguaglianza è sempre soddisfatta, chiamata disuguaglianza triangolare del valore assoluto:

│x│+│y│≥ │x+y│

Ad esempio, sii:

x = -6

y = 9

Il lato sinistro della disuguaglianza è:

│-6│ + │9│ = 6 + 9 = 16

E il lato destro è:

│-6+9│ = │3│ = 3

Ovviamente 16 è maggiore o uguale a 3, e questo è sempre il caso in cui i numeri x e hanno segni diversi. Se hanno segni uguali, si ottiene l'uguaglianza. Vedi questo altro esempio con altri due valori diversi:

x = -5

y = -3

│-5│+│-3│≥ │-5-3│

5+3≥│-8│

Infatti:

8 = 8

• 6) Il prodotto dei rispettivi valori assoluti di due numeri reali "x" e "y" è uguale al valore assoluto del prodotto dei numeri:

│x│ ∙ │y│ = │x ∙ y│

Ancora sono i valori:

x = -6

y = 9

COSÌ:

│-6│ ∙ │9│ = 6 ∙ 9 = 54

Che è uguale a:

│ (-6) ∙ 9│ = │-54│ = 54

• 7) Il quoziente del valore assoluto di due numeri reali "X" e "Y", con il diverso denominatore di 0, è il valore assoluto del quoziente tra questi numeri:

Finché e ≠ 0.

Esempio:

Esempi di valore assoluto

Esempi semplici

Il calcolo del valore assoluto di qualsiasi numero reale è molto semplice, ad esempio il valore assoluto dei seguenti numeri è:

a) │-14│ = 14

b) │-(-5) │ = │5│ = 5

c) │π│ = π

Calcoli con il valore assoluto di un numero reale

Eseguire le seguenti operazioni che coinvolgono il valore assoluto:

a) 2⋅│8│ + 5⋅│ -16│ -⋅│4│ = (2⋅8) + (5⋅16) - 4 = 16 + 80 - 4 = 92

b) │5- (8⋅3) │- 6 + │81 ÷ (-3) │ 

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Questa è un'operazione combinata, quindi è preferibile risolverlo per fasi. Il primo valore assoluto è:

│5- (8⋅3) │ = │5-24│ = │-19│ = 19

Il secondo valore assoluto che appare viene calcolato come segue:

│81 ÷ (-3) │ = │-27│ = 27

Quindi i risultati ottenuti vengono raccolti e viene eseguito il calcolo finale:

│5- (8⋅3) │- 6 + │81 ÷ (-3) │ = 19- 6 + 27 = 40

La distanza tra due punti sulla linea reale

Il valore assoluto appare in molte applicazioni, come trovare la distanza tra due numeri che appartengono alla linea reale. Se A è un numero reale, allora si trova sulla linea reale nel punto la cui Ascissa è "A", lo stesso accade con un numero reale B.

Lascia che due numeri "A" e "B" sulla linea reale, la distanza che li separa è:

D_Ab = │b - a│

Che può anche essere calcolato da:

D_Ab = │a - b│

Ad esempio, la distanza tra A = 5 e B = 12 è:

D = │5−12│ = │12−5│ = 7

In questo modo, il valore assoluto della sottrazione tra due numeri reali è semplicemente la distanza che li separa sulla linea reale.

Funzione di valore assoluto

La funzione del valore assoluto è un'applicazione che va sul set di numeri reali ℛ fino a ℛ⁺, che corrisponde a ciascun numero reale il suo valore assoluto. È definito da:

E il suo grafico ha la forma tipica v:

Il valore assoluto come funzione. Fonte: f. Zapata attraverso la geogebra.

Caratteristiche della funzione del valore assoluto

-Il tuo dominio è l'insieme di tutti i numeri reali.

-È continuo.

-È anche, poiché è soddisfatto che f (x) = f (-x), quindi l'asse verticale è un asse di simmetria.

-L'intervallo della funzione del valore assoluto è l'insieme di quelli reali positivi, incluso 0, poiché la funzione rappresenta sempre una distanza, e questo è sempre positivo o nullo.

Può servirti: qual è la linea guida? (Geometria)

-È una funzione per sezioni o per parti.

-Diminuisce nell'intervallo (-∞, 0) e cresce in (0,+∞).

L'argomento del valore assoluto può anche essere una funzione quadratica o altra cosa, ad esempio, può essere definito:

• f (x) = │x²-5x+3│
• g (x) = │sen x│

Il valore assoluto è responsabile di diventare positivi le immagini dell'argomento che hanno un segno negativo.

Esercizi risolti

Esercizio 1

Valuta le seguenti espressioni algebriche con valore assoluto:

a) │2x -5│ + │ --x + 1│ a x = 3

b) │ (x - 5) ÷ (x+4) │ a x = −1

Soluzione a

│2⋅3−5│ + │ - 3 + 1│ = │6−5│ + │ - 2│ = │1│ + 2 = 3

Soluzione b

│ (−1−5) ÷ (−1+4) │ = │ (−6) ÷ (3) │ = │ - 2│ = 2

Esercizio 2

Qual è l'insieme di valori che rappresenta la seguente disuguaglianza?

│x│≤ 3

Soluzione

La disuguaglianza rappresenta tutti i numeri reali il cui valore assoluto è inferiore o uguale a 3, quindi è l'insieme di tutti i numeri tra -3 e +3, compresi questi.

Nell'intervallo notazione rimane:

[-3,3]

Esercizio 3

Risolvi la seguente equazione con valore assoluto:

│2x-1│ = 5

Soluzione 

Come precedentemente indicato, per risolvere un'equazione con valore assoluto è necessario considerare le due opzioni. Intendo sì:

│f (x) │ = c

COSÌ:

1) f (x) = c

2) f (x) = -c

Pertanto questa equazione, il cui argomento è lineare, ha due soluzioni:

Prima soluzione

2x - 1 = 5

2x = 6 ⇒ x₁ = 3

Seconda soluzione

2x - 1 = -5

2x = -4 ⇒ x₂ = -2

Quando si valuta x₁ = 3 o x₂ = -2 Nell'equazione originale deve essere ottenuta un'uguaglianza, in questo modo viene verificata che i valori ottenuti sono soluzione dell'equazione proposta. Infatti:

│ (2⋅3) -1│ = │6-1│ = 5

E quando provi con la seconda opzione, si ottiene anche un'uguaglianza:

│2⋅ (-2) -1│ = │-4-1│ = 5

Riferimenti

1. Baldor, a. 2005. Algebra. Gruppo di patria culturale.
2. Larson, r. 2012. Precalcolazione. 8 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.
3. Hoffman, J. Selezione di problemi di matematica. Volume 2.
4. Stewart, J. 2007. Prececculment: matematica per il calcolo. 5 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.
5. Zill, d. 1984. Algebra e trigonometria. McGraw Hill.