Caratteristiche triangoli obliqua, esempi, esercizi

IL Triangoli obliqui Sono quelli che non hanno un angolo retto, quindi nessuno dei loro angoli interni è pari a 90º. Quindi, può essere un triangolo obliquo Acutangolo O ottuso.

Nel primo caso, gli angoli interni del triangolo sono acuti o ciò che è lo stesso: meno di 90º, mentre nel secondo, c'è sempre un angolo maggiore di 90º, cioè un angolo ottuso. Diamo un'occhiata a un esempio di ciascuno nella figura seguente:

Figura 1. Triangoli obliqui: a sinistra un triangolo obliquo e acutangolare. A destra un triangolo obliquo e ottuso. Fonte: f. Zapata.

Per trovare le lunghezze dei lati e le misure degli angoli interni di questo tipo di triangoli, in assenza di angoli diritti non è possibile applicare il teorema di Pitagora.

Tuttavia, ci sono alternative per risolvere il triangolo: i teoremi del coseno e del seno e il fatto che la somma degli angoli interni sia pari a 180º.

[TOC]

Oblicuágulos Triangles Esempi

Guidandoci dalla Figura 1, possiamo facilmente riconoscere i triangoli obliqui attraverso due criteri che daremo di seguito.

Triangolo acutangolare

Essere il triangolo dei lati A, B e C, con α l'angolo davanti al lato a.

Se il quadrato sul lato opposto all'angolo acuto α, è inferiore alla somma dei quadrati dei lati rimanenti, il triangolo è acutangolo. Algebicamente:

A² < b² + C²; α < 90º

Il triangolo equilatero relativo, quello che ha i suoi tre lati della stessa misura, è acutangolo e quindi obliquo, poiché i suoi angoli interni sono uguali e misura 60º.

Triangolo ottuso

D'altra parte, se il quadrato sul lato opposto A Nell'angolo ottuso α è maggiore della somma dei quadrati degli altri due, siamo in presenza di un triangolo ottuso. Perciò:

A² > b² + C²; α> 90º

Ad esempio, un triangolo i cui angoli interni sono 105º, 60º e 15º è un triangolo obliquo ottuso. Si noti che 105º + 60º + 15º = 180º.

Teoremi del seno e del coseno

Per risolvere i triangoli obliqui, cioè per trovare le misure di tutti i loro lati e di tutti i loro angoli, sono richiesti i teoremi del seno e del coseno.

Lascia che a, b e c i lati di un triangolo e α, β e γ i loro angoli interni. COSÌ:

Teorema del seno

Il teorema del seno stabilisce quanto segue:

Dove α è l'angolo opposto al lato A, β è l'angolo opposto al lato B e γ è l'angolo di fronte al lato c.

Può servirti: antiderivativo: formule ed equazioni, esempi, esercizi

Equivalente:

Scegliamo di applicare il teorema del seno quando risolveremo un triangolo rispetto a più angoli dei lati.

Teorema di Coseno

Secondo il Teorema di Coseno:

C² = a² + B² - 2⋅A⋅B⋅Cos γ

Ancora una volta l'angolo γ è di fronte al lato c. Possiamo anche scrivere espressioni equivalenti per i lati A e B, come segue:

A² = b² + C² - 2⋅b⋅c⋅cos α

E

B² = a² + C² - 2⋅a⋅c⋅cos β

Il teorema del coseno viene applicato preferibilmente quando è noto il valore di due lati e l'angolo tra loro. Inoltre, una volta che sono stati noti i tre lati di un triangolo, il teorema ci consente di calcolare il coseno dell'angolo tra due di essi.

Esercizi risolti

- Esercizio 1

Controlla che il triangolo le cui lati misurano 20, 10 e 12 unità arbitrarie sia ottuso.

Soluzione

Non conosciamo nessuno degli angoli interni, ma secondo i criteri che servono a riconoscere i triangoli ottusi.

Per prima cosa troviamo i quadrati su ogni lato:

venti² = 400

10² = 100

12² = 144

E lo vediamo davvero: 400> 100 + 144, da 400> 244. Pertanto, il triangolo contiene un angolo maggiore di 90º, situato davanti al lato che misura 20. Di conseguenza, questo triangolo, oltre ad essere obliquo, è anche ottuso.

- Esercizio 2

Dato il triangolo obliquo mostrato nella Figura 2, le cui misure sono riportate in unità arbitrarie, determinare:

a) Il valore di x. È un triangolo acutangolo o ottuso?

b) gli angoli interni rimanenti del triangolo

c) Perimetro

d) Area.

figura 2. 2a) triangolo per l'anno risolto 2 e 2b) lo stesso triangolo con un'altezza, che servirà a determinare l'area. Fonte: f. Zapata.

Soluzione a

Del triangolo sono noti due lati adiacenti, le cui misure sono 38.0 e 45.8 e l'angolo tra loro, che è 30º, quindi il teorema del coseno viene immediatamente applicato:

X² = 38.0² + Quattro cinque.8² - 2 x 38.0 x 45.8 x cos 30º = 527.18

Perciò:

x = (527.18)^1/2 = 22.96

Il disegno suggerisce che α> 90º e il triangolo è ottuso, oltre a obliquo. Per verificarlo, troviamo i quadrati dei lati, come è stato fatto nell'esercizio precedente:

22.96² = 527.18

38.0² = 1444.00

Quattro cinque.8² = 2097.64

L'angolo α è maggiore di 90º se è vero del quadrato del lato opposto: 45.8²  È maggiore della somma dei quadrati degli altri lati, che è 22.96² + 38.0².

Può servirti: leggi degli esponenti

Vediamo se succede:

527.18 + 1444.00 = 1971.2

Infatti:

2097.64> 1971.2

Pertanto l'angolo α è maggiore di 90º.

Soluzione b

Ora possiamo applicare il teorema del seno per trovare uno degli angoli mancanti. Lo solleveremo per l'angolo β:

Sen 30º / 22.96 = sin β / 38

Sen β = 38 x (Sen 30º / 22.96) = 0.8275

β = arcsen (0.8275) = 55.84º

L'angolo mancante può essere trovato sapendo che la somma degli angoli interni di qualsiasi triangolo è di 180º. Perciò:

55.84º + 30º + α = 180º

α = 94.16º

Se preferito, puoi anche usare il teorema del coseno per trovare il coseno dell'angolo che si trova tra due lati adiacenti. Una volta utilizzata la funzione dell'arco coseno per determinare l'angolo.

I risultati possono differire un po 'nei decimali, secondo l'arrotondamento effettuato.

Soluzione c

Il perimetro P è il contorno della figura, equivalente alla somma delle misure dei tre lati:

P = 22.96 + 38.00 + 45.80 = 106.76 unità arbitrarie.

Soluzione d

La formula per calcolare l'area di qualsiasi triangolo è:

A = (1/2) x base x altezza

Dobbiamo scegliere uno dei lati come base e determinare l'altezza. Ad esempio, scegliere il lato che misura 45.8, disegniamo l'altezza H fino al vertice A, che è la linea rossa nella Figura 2b.

In questo modo dividiamo il triangolo originale in due rettangoli, entrambi con H Come un cateto comune. Ognuno di loro serve, dal momento che conosciamo un lato e un angolo nitidi.

Prenderemo colui che ha ipotenusa pari a 38, una categoria che misura H, che è l'altezza ricercata e l'angolo acuto pari a 30º.

Con l'aiuto delle ragioni trigonometriche dell'angolo acuto 30º determiniamo il valore di H:

Sen 30º = Cateto di fronte a 30º / Hypotenusa = H / 38

H = 38 x Sen 30º = 19

Perciò:

A = (1/2) x 45.8 x 19 = 435.1 aree arbitrarie dell'area.

Avremmo potuto scegliere un altro lato come base, ad esempio il lato 38, in quel caso, l'altezza H È diverso, poiché si forma un altro triangolo rettangolo, ma il risultato dell'area è lo stesso. Rimane come esercizio per il lettore controllarlo.

- Esercizio 3

Dato un triangolo ABC che A = 45º, B = 60º e A = 12 cm, calcola gli altri dati del triangolo.

Può servirti: segni di raggruppamento

Soluzione

Usando che la somma degli angoli interni di un triangolo è pari a 180º deve:

C = 180º-45º-60º = 75º.

I tre angoli sono già noti. Quindi procediamo a utilizzare la legge sul seno per calcolare i due lati che mancano.

Le equazioni che sorgono sono 12 / senza (45º) = b / senza (60º) = C / senza (75º).

Dalla prima uguaglianza puoi cancellare "b" e ottenerlo:

B = 12*senza (60º)/senza (45º) = 6√6 ≈ 14.696 cm.

Puoi anche cancellare "C" e ottenerlo:

C = 12*sin (75º)/sin (45º) = 6 (1+√3) ≈ 16.392 cm.

- Esercizio 4

Dato il triangolo ABC in modo tale che a = 60º, c = 75º e b = 10 cm, calcola gli altri dati del triangolo.

Soluzione

Come nell'anno precedente devi b = 180º-60º-75º = 45º. Inoltre, usando la legge sul seno devi / senza (60º) = 10 / senza (45º) = C / senza (75º), dove si ottiene che a = 10*senza (60º) / senza (45º) = 5 √6 ≈ 12.247 cm e c = 10*sin (75º)/senza (45º) = 5 (1+√3) ≈ 13.660 cm.

- Esercizio 5

Dato il triangolo ABC in modo tale che a = 10 cm, b = 15 cm e c = 80º, calcola gli altri dati del triangolo.

Soluzione

In questo esercizio, è noto solo un angolo, quindi non è possibile iniziare come è stato fatto nei due esercizi precedenti. Inoltre, la legge sul seno non può essere applicata perché non è possibile risolvere alcuna equazione.

Pertanto, viene applicata la legge di Cosenos. Si deve:

C² = 10²+15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300*0.173 ≈ 272.905 cm,

In modo che C ≈ 16.51 cm. Ora, conoscendo i 3 lati, viene utilizzata la legge sul seno e si ottiene che:

10 / senza (a) = 15 / senza (b) = 16.51 cm /senza (80º).

Da qui, quando Clear B è senza (b) = 15*senza (80º)/ 16.51 ≈ 0.894, il che implica che B ≈ 63.38º.

Ora, si può ottenere che a = 180º - 80º - 63.38º ≈ 36.62º.

- Esercizio 6

I lati di un triangolo obliquo sono a = 5 cm, b = 3 cm e c = 7 cm. Calcola gli angoli del triangolo.

Soluzione

Ancora una volta, la legge sul seno non può essere applicata direttamente, poiché nessuna equazione servirebbe per ottenere il valore degli angoli.

Usando la legge del coseno devi c² = a² + b² - 2ab cos (c), da dove cos (c) = (a² + b² - c²)/ 2ab = (5² + 3² -7²)/ 2*5 *3 = -15/30 = -1/2 e quindi c = 120º.

Ora la legge sul seno può essere applicata e quindi ottenere 5/senza (a) = 3/senza (b) = 7/senza (120º), dove B può essere cancellato B e ottenerlo senza (b) = 3* senza (120º )/7 = 0.371, così b = 21.79º.

Finalmente l'ultimo angolo viene calcolato usando che A = 180º-130º-21.79º = 38.21st.

Riferimenti

1. Clemens, s. Geometria con applicazioni. Addison Wesley.
2. Ibáñez, p. 2010. Matematica III. Apprendimento del Cengage.
3. Jiménez, r. Matematica II: geometria e trigonometria. 2 °. Edizione. Pearson.
4. Matematica per te. Triangolo ottuso. Recuperato da: matematica per.WordPress.com.
5. Stewart, J. 2007. Precalcolazione. 5 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.