Storia dei triangoli, elementi, classificazione, proprietà

IL triangoli Sono figure geometriche piatte e chiuse, che consistono in tre lati. Un triangolo è determinato da tre righe che vengono tagliate da due a due, formando tra loro tre angoli. La forma triangolare, piena di simbolismo, è presente in innumerevoli oggetti e come elemento di costruzione.

L'origine del triangolo è persa nella storia. Dalle prove archeologiche è noto che l'umanità primitiva lo conosceva bene, perché i resti archeologici confermano che era usato in strumenti e armi.

Figura 1. triangoli. Fonte: partecipazioni di dominio pubblico.

È anche evidente che gli antichi egizi avevano una solida conoscenza della geometria e in particolare della forma triangolare. Erano incarnati negli elementi architettonici delle loro costruzioni monumentali.

Nel papiro di Rhind ci sono formule per il calcolo dei triangoli e delle aree del trapezio, nonché alcuni volumi e altri concetti di trigonometria rudimentale.

D'altra parte, è noto che i babilonesi sono stati in grado di calcolare l'area del triangolo e altre figure geometriche, che hanno usato per scopi pratici, come le divisioni della terra. Erano anche a conoscenza di molte proprietà dei triangoli.

Tuttavia, sono stati gli antichi greci a sistemati hanno sistemati molti dei frequenti concetti geometrici, sebbene gran parte di tale conoscenza non fosse esclusiva, poiché era certamente condivisa con queste altre antiche civiltà.

[TOC]

Elementi del triangolo

Gli elementi di qualsiasi triangolo sono indicati nella figura seguente. Ce ne sono tre: vertici, lati e angoli.

figura 2. Notazione di triangoli e loro elementi. Fonte: Wikimedia Commons, modificata da F. Zapata

-Vertici: Questi sono i punti di intersezione delle linee i cui segmenti determinano il triangolo. Nella figura superiore, ad esempio, la linea l_AC che contiene il segmento AC, interseca la linea L_Ab che contiene segmento AB proprio nel punto a.

-Lati: Tra ogni paio di vertici viene disegnato un segmento di linea che costituisce un lato del triangolo. Questo segmento può essere indicato con le lettere delle estremità o usando una lettera specifica per chiamarla. Nell'esempio della Figura 2, il lato AB è anche chiamato "C".

-Angoli: Tra ogni lato con un vertice comune originato un angolo, il cui vertice coincide con quello del triangolo. L'angolo è generalmente indicato con una lettera greca, come affermato all'inizio.

Per costruire un particolare triangolo, con una determinata forma e dimensione, avere solo alcuni dei seguenti set di dati:

-I tre lati, abbastanza ovvi nel caso di un triangolo.

-Due lati e l'angolo tra loro e il lato rimanente viene immediatamente disegnato.

-Due angoli (interni) e il lato tra loro. Per estensione sono disegnati i due lati mancanti e il triangolo è pronto.

Notazione

Generalmente nella notazione dei triangoli vengono utilizzate le seguenti convenzioni: i vertici sono indicati con lettere maiuscole, i lati con minuscole lettere latine e gli angoli da lettere greche (vedi Figura 2).

In questo modo il triangolo è nominato secondo i suoi vertici. Ad esempio, il triangolo a sinistra nella Figura 2 è il triangolo ABC e quello a destra è il triangolo a'b'c '.

È anche possibile utilizzare altre notazioni; Ad esempio, l'angolo α nella Figura 2 è indicato come BAC. Si noti che la lettera del vertice va nel mezzo e le lettere sono scritte nella direzione opposta agli aghi dell'orologio.

Può servirti: delimitazione del problema

Altre volte viene posizionato un accento circonflesso per indicare l'angolo:

Oppure il simbolo ∠ viene utilizzato, poiché la notazione precedente potrebbe non essere facile nella stampa, seguita dalla lettera corrispondente al vertice:

α = ∠A

Tipi di triangoli

Esistono diversi criteri di classificazione dei triangoli. Il più normale è classificarli in base alla misura dei loro lati o in base alla misura dei loro angoli. A seconda della misura dei loro lati, i triangoli possono essere: scalchi, isosceli o equilaterali:

-Scaleno: I suoi tre lati sono diversi.

-Isoscele: Ha due lati diversi e uno.

-Equilatero: I tre lati sono gli stessi.

Figura 3. Classificazione dei triangoli sui loro lati. Fonte: f. Zapata

Secondo la misura dei loro angoli, i triangoli sono chiamati così:

-Ottuso, Se uno degli angoli interni è maggiore di 90º.

-Acutangolo, Quando i tre angoli interni del triangolo sono acuti, cioè meno di 90º

-Rettangolo, Nel caso in cui uno dei suoi angoli interni valga 90º. I lati che formano 90º sono chiamati cateto e il lato opposto all'angolo retto è l'ipotenusa.

Figura 4. Classificazione dei triangoli per i loro angoli interni. Fonte: f. Zapata.

Congruenza di triangoli

Quando due triangoli hanno la stessa forma e hanno la stessa dimensione, si dice che siano congruenti. Naturalmente la congruenza è legata all'uguaglianza, quindi perché in geometria parliamo di "due triangoli congruenti" invece di "due triangoli uguali"?

Bene, si preferisce usare il termine "congruenza" per attenersi alla verità, poiché due triangoli possono avere la stessa forma e dimensioni, ma essere orientati in modo diverso nel piano (vedi Figura 3). Dal punto di vista della geometria, non sarebbero più strettamente gli stessi.

Figura 5. Triangoli congruenti, ma non necessariamente lo stesso, perché il suo orientamento nel piano è diverso. Fonte: f. Zapata.

Criteri di congruenza

Due triangoli sono congruenti se si verifica una delle seguenti situazioni:

-I tre lati misurano lo stesso (di nuovo questo è il più ovvio).

-Hanno due lati identici e con lo stesso angolo tra loro.

-Entrambi hanno due angoli interni identici e il lato tra questi angoli è lo stesso.

Come si può vedere, si tratta dei due triangoli di soddisfare le condizioni necessarie in modo che quando le costruiscono, la loro forma e dimensioni sono esattamente le stesse.

I criteri di congruenza sono molto utili, dal momento che in pratica, gli innumerevoli parti meccanici e parti devono essere fabbricati in serie, in modo che le loro misure e la forma siano esattamente le stesse.

Somiglianza di triangoli

Un triangolo è simile a un altro se hanno la stessa forma, anche se hanno dimensioni diverse. Per garantire che la forma sia la stessa, è necessario che gli angoli interni abbiano lo stesso valore e che i lati siano proporzionali.

Figura 6. Due triangoli simili: le loro dimensioni differiscono ma le loro proporzioni sono le stesse. Fonte: f. Zapata.

Anche i triangoli della Figura 2 sono simili, così come quelli della Figura 6. Così:

∠ a = ∠ A ', ∠ B = ∠ B 'e ∠ C = ∠ C '

Per quanto riguarda i lati, vengono soddisfatti i seguenti motivi di somiglianza:

a/a '= b/b' = c/c '

Proprietà

Le proprietà fondamentali dei triangoli sono le seguenti:

-La somma degli angoli interni di qualsiasi triangolo è sempre 180º.

-Per qualsiasi triangolo, la somma dei suoi angoli esterni è pari a 360 °.

Può servirti: ricerca di base: caratteristiche, definizione, esempi

- Un angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti a quell'angolo.

Teoremi

Primo teorema di tale

Sono attribuiti al filosofo greco e matematico Tales of Miletus, che hanno sviluppato diversi teoremi legati alla geometria. Il primo di loro stabilisce quanto segue:

Se diverse linee parallele tagliano due linee trasversali, determinano segmenti proporzionali.

Figura 7. Il teorema dei racconti. Fonte: f. Zapata.

In altre parole:

a/a '= b/b' = c/c '

Il primo teorema di tale è applicabile a un triangolo, ad esempio c'è il triangolo blu ABC a sinistra, che è tagliato dai paralleli rossi a destra:

Figura 8. Il teorema di tale e dei triangoli simili.

Il triangolo viola di Violet è simile al triangolo blu ABC, quindi, secondo tale teorema, può essere scritto quanto segue:

AB '/AC' = AB/AC

Ed è coerente con ciò che è stato spiegato sopra nel segmento della somiglianza dei triangoli. A proposito, le linee parallele possono anche essere verticali o parallele all'ipotenusa e si ottengono triangoli simili.

Secondo teorema di questo

Questo teorema si riferisce anche a un triangolo e una circonferenza centrale o, come quelli mostrati di seguito. In questa figura, l'AC è un diametro della circonferenza e B ne è un punto, essendo B diverso da A e B.

Il secondo teorema di tali stati che:

L'angolo tra i segmenti AB e BC è sempre 90º, quindi il triangolo ABC è rettangolo.

Figura 9. Il secondo teorema di tale. Fonte: Wikimedia Commons. INDUTUVILLOAD [dominio pubblico].

teorema di Pitagora

Questo è uno dei teoremi più famosi della storia. È dovuto al matematico greco Pitagora di Samos (569 - 475 a. C.) ed è applicabile a un triangolo di destra. Lo dice:

La somma dei quadrati delle lunghezze le categorie del triangolo rettangolo, è uguale alla lunghezza dell'ipotenusa alta al quadrato.

Se prendiamo come esempio il triangolo blu della Figura 8, o il triangolo viola, poiché entrambi sono rettangoli, allora si può dire che:

AC² = AB² + AVANTI CRISTO² (Triangolo blu)

AC '² = AB '² + AVANTI CRISTO '² (Violet Triangle)

L'area di un triangolo

L'area del triangolo è data dal prodotto della sua base A e la sua altezza H, diviso per 2. E per trigonometria, questa altezza può essere scritta come H = b sinθ.

Figura 10. Area del triangolo. Fonte: Wikimedia Commons.

Esempi di triangoli

Esempio 1

Si dice che attraverso il suo primo teorema, tale è riuscito a misurare l'altezza della grande piramide in Egitto, una delle 7 meraviglie del mondo antico, misurando l'ombra che proiettava sul terreno e quella che proietta un palo bloccato in il terreno.

Questo è lo schema della procedura seguita da tale:

Figura 11. Schema per misurare l'altezza della grande piramide per somiglianza dei triangoli. Fonte: Wikimedia Commons. Dake [cc by-sa 3.0 (http: // creativeCommons.Org/licenze/by-sa/3.0/]]

Così giustamente suppone che i raggi del sole colpiscano paralleli. Con questo in mente, ha immaginato il grande triangolo a destra.

C'è l'altezza della piramide e C è la distanza sul terreno misurata dal centro all'ombra proiettata dalla piramide sul pavimento del deserto. Può essere laborioso misurare C, ma è certamente più facile che misurare l'altezza della piramide.

A sinistra è il piccolo triangolo, dai gatti A e B, dove A è l'altezza del pacchetto bloccato verticalmente sul pavimento e B è l'ombra che proietta. Entrambe le lunghezze sono misurabili, proprio come C (C è uguale alla lunghezza dell'ombra + metà della lunghezza della piramide).

Può servirti: quali sono gli stimoli tattili?

Quindi, per somiglianza dei triangoli:

A/b = d/c

E l'altezza della grande piramide risulta essere: d = c.(A/B)

Esempio 2

L'armatura di costruzione civile sono strutture basate su barre dritte sottili o metalliche, che vengono utilizzate come supporto in molti edifici. Sono anche conosciuti come reticoli, capriate o reticolati (Capriata in inglese).

In essi i triangoli sono sempre presenti, perché le barre sono interconnesse in punti chiamati nodi, che possono essere fissati o articolati.

Figura 12. Il triangolo è presente nella cornice di questo ponte. Fonte: pxhere.

Esempio 3

Il metodo noto come triangolazione consente di ottenere la posizione di punti inaccessibili conoscendo altre distanze più semplici da misurare, a condizione che si forma un triangolo che include tra i suoi vertici la posizione desiderata.

Ad esempio, nella figura seguente vuoi sapere a che punto il mare è la nave, indicata come b.

Figura 13. Schema di triangolazione per individuare la nave. Fonte: Wikimedia Commons. Colette [CC BY-SA 3.0 (http: // creativeCommons.Org/licenze/by-sa/3.0/]]

Innanzitutto, viene misurata la distanza tra due punti sulla costa, che nella figura sono A e C. Quindi devi determinare gli angoli α e β, con l'aiuto di a teodolite, Un dispositivo che serve a misurare gli angoli verticali e orizzontali.

Con tutte queste informazioni è costruito un triangolo sul cui vertice superiore è la nave. Ridurrebbe l'angolo γ, per mezzo.

Esercizi

Esercizio 1

Nella figura mostrata, i raggi del sole sono paralleli. In questo modo l'albero alto 5 metri proietta un'ombra di 6 metri a terra. Allo stesso tempo, l'ombra dell'edificio è di 40 metri. Seguendo tale teorema di tale, trova l'altezza dell'edificio.

Figura 14. Schema per l'anno risolto 1. Fonte: f. Zapata.

Soluzione

Il triangolo rosso ha i lati di 5 e 6 metri rispettivamente, mentre il blu ha un'altezza H -L'altezza dell'edificio e della base 40 metri. Entrambi i triangoli sono simili, quindi:

H / 40 = 5/6 → H = 40.(5/6) m = 33.3 m

Esercizio 2

Devi conoscere la distanza orizzontale tra due punti A E B, Ma si trovano su un terreno molto irregolare.

Approssimativamente al punto medio (P_M) Da questa terra una importanza di 1 spicca.75 metri di altezza. Se la misura a nastro indica 26 metri di lunghezza misurata da A alla prominenza e 27 metri da B allo stesso punto, trova la distanza Ab.

Figura 15. Schema per l'esercizio risolto 2. Fonte: Jiménez, R. Matematica ii. Geometria e trigonometria.

Soluzione

Il teorema di Pitagora viene applicato a uno dei due triangoli rettangoli nella figura. A partire da quello a sinistra:

Ipotenusa = c = 26 metri

Altezza = a = 1.75 metri

Ap_M = (26² - 1.75²)^1/2 = 25.94 m

Ora pitagora viene applicato nel triangolo giusto, questa volta c = 27 metri, a = 1.75 metri. Con questi valori:

BP_M= (27² - 1.75²)^1/2 = 26.94 m

La distanza AB sta aggiungendo questi risultati:

AB = 25.94 m +26.94 m = 52.88 m.

Riferimenti

1. Baldor, j. A. 1973.Geometria piatta e spaziale. Culturale centroamericano.
2. Barredo, d. La geometria del triangolo. Recuperato da: ficus.pntic.Mec.È.
3. Jiménez, r. 2010. Matematica ii. Geometria e trigonometria. Seconda edizione. Pearson.
4. Wentworth, g. Geometria del pianeta. Recuperato da: Gutenberg.org.
5. Wikipedia. Triangolo. Recuperato da: è. Wikipedia.org.