Triangolo scaleno

Il triangolo scalene ha tutti i suoi lati ineguali

Cos'è un triangolo scalene?

UN triangolo scaleno È un poligono a tre fronzoli, in cui tutti hanno misure o lunghezze diverse; Per questo motivo è stato dato il nome di Escaleno, che in latino significa ineguale.

I triangoli sono poligoni considerati i più semplici in geometria, perché si formano tre lati, tre angoli e tre vertici. Nel caso del triangolo scalene, per avere tutti i lati diversi, implica che saranno anche i suoi tre angoli.

Caratteristiche dei triangoli in scala

I triangoli in scala sono semplici poligoni perché nessuno dei suoi lati o angoli ha la stessa misura, a differenza degli isosceli e dei triangoli di equilibrio.

Poiché tutti i loro lati e angoli hanno misure diverse, questi triangoli sono considerati poligoni convessi irregolari.

Secondo l'ampiezza degli angoli interni, i triangoli scalene sono classificati come:

• Triangolo rettangolo scalene: Tutti i suoi lati sono diversi. Uno dei suoi angoli è dritto (90^O) e gli altri sono acuti e con misure diverse.
• Scalene Triangolo ottuso: Tutti i suoi lati sono diversi e uno dei suoi angoli è ottuso (> 90^O).
• Triangolo di acutangolo scalene: Tutti i suoi lati sono diversi. Tutti i suoi angoli sono acuti (< 90^O), Con misure diverse.

Un'altra caratteristica dei triangoli scalene è che a causa dell'incollo.

Componenti/elementi

La mediana

È una linea che lascia dal punto medio da un lato e raggiunge il vertice opposto. I tre mezzi partecipano in un punto chiamato baricentro o centroide.

Il bisettore

È un semi -giusto che divide ogni angolo in due angoli di uguale misura. I bisettori di un triangolo concordano in questione chiamati incentivi.

Il mediatrix

È un segmento perpendicolare al lato del triangolo, che ha origine nel mezzo di questo. Ci sono tre mediatrici in un triangolo e frequentano in un punto chiamato circoncentro.

L'altezza 

È la linea che va dal vertice al lato opposto, e anche questa linea è perpendicolare a quel lato. Tutti i triangoli hanno tre altezze che coincidono in un punto chiamato Ortotener.

Proprietà del triange Escaleno

I triangoli in scala sono definiti o identificati perché hanno diverse proprietà che li rappresentano, originati dai teoremi proposti da grandi matematici. Sono:

Angoli interni

La somma degli angoli interni è sempre uguale a 180^O.

Somma dei lati

La somma delle misure di due lati dovrebbe essere sempre maggiore della misura del terzo lato, a + b> c.

Lati incongrui

Tutti i lati dei triangoli di arrampicata hanno misure o lunghezze diverse; cioè sono incongrui.

Angoli incongrui

Poiché tutti i lati del triangolo scalene sono diversi, anche i suoi angoli saranno. Tuttavia, la somma degli angoli interni sarà sempre uguale a 180º e, in alcuni casi, uno dei suoi angoli può essere ottuso o dritto, mentre in altri tutti i suoi angoli saranno acuti.

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Altezza, mediana, mediatrix e bisettore non sono casuali

Come ogni triangolo, Escaleno ha varie linee di linee che lo compongono, come: altezza, medio, mediatrix e bisettore.

A causa della particolarità dei suoi lati, in questo tipo di triangolo nessuna di queste linee coinciderà in una singola.

Orocentro, baricentro, incentro e circonentro non sono casuali

Come l'altezza, la mediana, il bisettore e il mediatrix sono rappresentati da diversi segmenti di linea, in un triangolo scalene i punti di incontro -l'ortocenter, l'incenti e la circoncentro baricenter si troveranno in diversi punti (cioè non coincidono).

A seconda che il triangolo sia acutangolo, rettangolo o ottuso, l'ortocentro ha posizioni diverse:

A. Se il triangolo è un acutangolo, l'ortocentro sarà all'interno del triangolo.

B. Se il triangolo è rettangolo, l'ortocentro coincide con il vertice sul lato dritto.

C. Se il triangolo è ottuso, l'ootocenter sarà al di fuori del triangolo.

Altezze relative

Le altezze sono relative ai lati.

Nel caso del triangolo scalene, questa altezza avrà misure diverse. Ogni triangolo ha tre altezze relative e per calcolarli, viene utilizzata la formula Herón.

Calcolo del perimetro, area, altezza e lati

Come calcolare il perimetro?

Il perimetro di un poligono è calcolato dalla somma dei lati.

Come in questo caso il triangolo scalene ha tutti i suoi lati con una misura diversa, il suo perimetro sarà:

P = da lato a + lato b + lato c.

Come calcolare l'area?

I triangoli sono sempre calcolati con la stessa formula, moltiplicando la base per altezza e dividendo per due:

Area = (base _* H) ÷ 2

In alcuni casi non è nota l'altezza del triangolo scalene, ma esiste una formula che è stata proposta dal matematico Herón, per calcolare l'area conoscendo la misura dei tre lati di un triangolo.

Dove:

• A, B e C rappresentano i lati del triangolo.
• SP corrisponde al semi -perimetro del triangolo, cioè metà del perimetro:

sp = (a + b + c) ÷ 2

Nel caso in cui si verifichino solo due dei lati del triangolo e l'angolo che si forma tra loro, l'area può essere calcolata applicando le ragioni trigonometriche. Quindi devi:

Area = (lato _* H) ÷ 2

Dove l'altezza (h) è il prodotto su un lato attraverso l'angolo opposto. Ad esempio, per ogni lato, l'area sarà:

• Area = (b _* C _* sin a) ÷ 2
• Area = (a _* C _* sin b) ÷ 2.
• Area = (a _* B _* Sen c) ÷ 2

Come calcolare l'altezza?

Come tutti i lati del triangolo scalene sono diversi, non è possibile calcolare l'altezza con il teorema di Pitagora.

Dalla formula di Herón, che si basa sulle misure dei tre lati di un triangolo, l'area può essere calcolata.

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L'altezza può essere chiara dalla formula generale dell'area:

Formula per calcolare l'altezza di un triangolo scalene

Il lato è sostituito dalla misura del lato A, B o C.

Un altro modo per calcolare l'altezza quando è noto il valore di uno degli angoli, è applicare le ragioni trigonometriche, in cui l'altezza rappresenterà una cateto triangolare.

Ad esempio, quando l'angolo opposto è noto all'altezza, sarà determinato dal seno:

Formula trigonometrica per calcolare l'altezza di un triangolo scalene

Come calcolare i lati?

Quando hai la misura di due lati e l'angolo contrario a questi, è possibile determinare il terzo lato applicando il teorema di Cosenos.

Ad esempio, in un triangolo AB, viene disegnata l'altezza rispetto al segmento AC. In questo modo il triangolo è diviso in due triangoli rettangolo.

Divisione di un triangolo scalene in due rettangoli per calcolare i lati

Per calcolare il lato C (segmento AB), viene applicato il teorema di Pitagora per ciascun triangolo:

• Per il triangolo blu devi:

C² = H² + M²

Come m = b - n, viene sostituito:

C² = H² + B² (B - N)²

C² = H² + B² - 2 miliardi + N².

• Per il triangolo rosa devi:

H² = a² - N²

È sostituito nell'equazione precedente:

C² = a² - N² + B² - 2 miliardi + N²

C² = a² + B² - 2 miliardi.

Sapendo che n = a _* cos c, è sostituito nell'equazione precedente e si ottiene il valore del lato C:

C² = a² + B² - 2b_* A _* cos c.

Per legge di Cosenos, i lati possono essere calcolati come:

• A² = b² + C² - 2b_* C _* cose.
• B² = a² + C² - 2 °_* C _* cos b.
• C² = a² + B² - 2b_* A _* cos c.

Ci sono casi in cui le misure dei lati del triangolo non sono note, ma la sua altezza e gli angoli che si formano nei vertici. Per determinare l'area in questi casi è necessario applicare motivi trigonometrici.

Conoscendo l'angolo di uno dei suoi vertici, la categoria viene identificata e viene utilizzata la ragione trigonometrica corrispondente:

Formula trigonometrica per calcolare i lati di un triangolo scalene

Ad esempio, la cateto AB sarà opposta per l'angolo C, ma adiacente all'angolo A. A seconda del lato o della gamba corrispondente all'altezza, l'altro lato viene cancellato per ottenere il valore di questo.

Esercizi risolti

Primo esercizio

Calcola l'area e un'altezza del triangolo Escalano ABC, sapendo che i suoi lati sono:

A = 8 cm.

B = 12 cm.

C = 16 cm.

Soluzione

Poiché i dati vengono date le misure dei tre lati del triangolo scalene.

Poiché non hai il valore dell'altezza, l'area può essere determinata applicando la formula Herón.

Per prima cosa viene calcolato il semi -perimetro:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ÷ 2

sp = 36 cm ÷ 2

sp = 18 cm.

Ora i valori nella formula di Herón vengono sostituiti:

Può servirti: frequenza assoluta: formula, calcolo, distribuzione, esempio Formula Herón

Conoscere l'area può essere calcolata l'altezza relativa al lato b. Dalla formula generale, cancellandola che hai:

Area = (lato _* H) ÷ 2

46, 47 cm² = (12 cm _* H) ÷ 2

H = (2 _* 46,47 cm²) ÷ 12 cm

H = 92,94 cm² ÷ 12 cm

H = 7,75 cm.

Secondo esercizio

Dato il triangolo ABC Escalano, le cui misure sono:

• Segmento AB = 25 m.
• Segmento BC = 15 m.

Nel vertice B si forma un angolo di 50º. Calcola l'altezza rispetto al lato C, perimetro e area di quel triangolo.

Soluzione

In questo caso ci sono misure a due lati. Per determinare l'altezza è necessario calcolare la misura del terzo lato.

Poiché l'angolo opposto viene dato ai lati indicati, è possibile applicare la legge di Cosenos per determinare la misura del lato AC (B):

B² = a² + C² - 2 °_*C _* cos b

Dove:

A = bc = 15 m.

C = AB = 25 m.

B = ac.

B = 50^O.

I dati vengono sostituiti:

B² = (15)² + (25)² - 2_*(quindici)_*(25) _* cos 50

B² = (225) + (625) - (750) _* 0.6427

B² = (225) + (625) - (482.025)

B² = 367.985

B = √367.985

B = 19,18 m.

Dato che hai già il valore delle tre lati, viene calcolato il perimetro di quel triangolo:

P = da lato a + lato b + lato c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Ora è possibile determinare l'area applicando la formula Herón, ma prima deve essere calcolato il semi -perimetro:

sp = p ÷ 2

sp = 59,18 m ÷ 2

sp = 29,59 m.

Le misure dei lati e il semi -perimetro nella formula di Herón vengono sostituite:

Infine, conoscendo l'area, l'altezza relativa può essere calcolata sul lato C. Dalla formula generale, cancellandola che devi:

Area = (lato _* H) ÷ 2

143,63 m² = (25 m _* H) ÷ 2

H = (2 _* 143,63 m²) ÷ 25 m

H = 287,3 m² ÷ 25 m

H = 11,5 m.

Terzo esercizio

Nel triangolo ABC di Escaleno, il lato B misura 40 cm, il lato C misura 22 cm e nel vertice A è un angolo di 90^O. Calcola l'area di quel triangolo.

Soluzione

In questo caso, vengono somministrate le misure di due lati del triangolo in scala ABC, nonché l'angolo che si forma nel vertice a.

Per determinare l'area non è necessario calcolare la misura del lato A, poiché attraverso ragioni trigonometriche l'angolo viene utilizzato per trovarla.

Poiché l'angolo opposto è noto all'altezza, questo sarà determinato dal prodotto su un lato e dal seno dell'angolo.

Sostituzione nella formula dell'area devi:

• Area = (lato _* H) ÷ 2
• H = c _* peccato a

Area = (b _* C _* sin a) ÷ 2

Area = (40 cm _* 22 cm _* Sen 90) ÷ 2

Area = (40 cm _* 22 cm _* 1) ÷ 2

Area = 880 cm² ÷ 2

Area = 440 cm².

Riferimenti

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