Caratteristiche del triangolo di balacket, proprietà, formule, area

UN triangolo equilatero È un poligono a tre fronzoli, dove tutti sono uguali; Cioè, hanno la stessa misura. Per quella caratteristica è stato dato il nome di equilaterali (lati uguali).

I triangoli sono poligoni considerati i più semplici in geometria, perché si formano tre lati, tre angoli e tre vertici. Nel caso del triangolo equilatero, per avere lati uguali, implica che anche i suoi tre angoli saranno.

Un esempio del triangolo equilatero

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Caratteristiche dei triangoli di equilibrio

- Lati uguali

I triangoli equilaterali sono figure piatte e chiuse, composte da tre linee di linee. I triangoli sono classificati dalle loro caratteristiche, in relazione ai loro lati e angoli; L'equilaterale è stato classificato usando la misura dei loro lati come parametro, poiché questi sono esattamente gli stessi, cioè sono congruenti.

Il triangolo equilatero è un caso particolare del triangolo isoscele perché due dei suoi lati sono congruenti. Questo è il motivo per cui tutti i triangoli equilaterali sono anche isoscele, ma non tutti i triangoli isosceli saranno equilaterali.

In questo modo i triangoli equilaterali hanno le stesse proprietà di un triangolo isoscele.

I triangoli equilaterali possono anche essere classificati dall'ampiezza dei loro angoli interni come un triangolo acuto equilatero, che ha tutti e tre i lati e tre angoli interni con la stessa misura. Gli angoli saranno acuti, cioè saranno meno di 90^O.

- Componenti

I triangoli in generale hanno diverse linee e punti che lo compongono. Sono usati per calcolare l'area, i lati, gli angoli, la mediana, il bisettore, il mediatrix e l'altezza.

• La mediana: È una linea che lascia dal punto medio da un lato e raggiunge il vertice opposto. I tre mezzi partecipano in un punto chiamato baricentro o centroide.
• Il bisettore: È un semi -giusto che divide l'angolo dei vertici in due angoli di uguale misura, quindi è noto come asse di simmetria. Il triangolo equilatero ha tre assi di simmetria. Nel triangolo equilatero il bisettore viene tratto dal vertice di un angolo rispetto al suo lato opposto, tagliandolo nel suo punto medio. Sei in questo punto chiamato Incenter.
• Il mediatrix: È un segmento perpendicolare al lato del triangolo che ha origine nel mezzo di questo. Ci sono tre mediatici in un triangolo e concordano in un punto chiamato circoncentro.
• L'altezza: È la linea che va dal vertice al lato che è opposto e anche questa linea è perpendicolare a quel lato. Tutti i triangoli hanno tre altezze che coincidono in un punto chiamato Ortotener.

Nel grafico seguente osserviamo un triangolo scalene in cui alcuni dei suddetti componenti sono dettagliati

Possiamo vedere chiaramente i componenti, qualcosa che è più difficile nel triangolo equilatero, poiché alcuni coincidono. Li spieghiamo di seguito:

Il bisettore, la mediana e i mediatrix sono coincidenti

Il bisettore si divide accanto a un triangolo in due parti. Nei triangoli equilaterali quella parte sarà divisa in due esattamente le stesse parti, cioè il triangolo sarà diviso in due rettangoli congruenti triangoli.

Pertanto, il bisettore tratto da qualsiasi angolo di un triangolo equilatero coincide con la mediana e il mediatrix sul lato opposto a quell'angolo.

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Esempio:

La figura seguente mostra il triangolo ABC con una metà D che divide uno dei suoi lati in due segmenti AD e BD.

Quando si traccia una linea dal punto D al vertice opposto, per definizione si ottiene il CD mediano, che è relativo al vertice C e al lato AB.

Mentre il segmento CD divide il triangolo ABC in due triangoli CDB e CDA uguali, significa che sarà il caso della congruenza: lato, angolo, lato e quindi CD sarà anche il bisettore BCD.

Quando si disegna il segmento CD, l'angolo di vertice è diviso in due angoli uguali di 30^O, L'angolo del vertice A continua a misurare 60^O E la linea del CD forma un angolo di 90^O Per quanto riguarda il punto medio d.

Il segmento CD forma angoli che hanno la stessa misura per i triangoli ADC e BDC, cioè sono supplementari in modo tale che la misura di ciascuno sia:

Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180^O

2 _* Med. (ADC) = 180^O

Med. (ADC) = 180^O ÷ 2

Med. (ADC) = 90^O.

E così, il segmento CD è anche il mediatrix sul lato AB.

Il bisettore e l'altezza sono coincidenti

Quando il bisettore tracce dal vertice di un angolo rispetto al punto medio del lato opposto, questo divide il triangolo equilatero in due triangoli congruenti.

In modo tale che si forma un angolo di 90^O (Dritto). Ciò indica che questo segmento di linea è totalmente perpendicolare a quel lato, e per definizione quella linea sarebbe l'altezza.

In questo modo il bisettore di qualsiasi angolo di un triangolo equilatero, coincide con l'altezza rispetto al lato opposto di quell'angolo.

Orocentro, Baricentro, Incentro e Colecentro Coinides

Poiché l'altezza, mediana, bisettore e mediatrix sono rappresentati contemporaneamente dallo stesso segmento, in un triangolo equilatero, i punti di incontro di questi segmenti -l'ortocentro, il baricenter, l'incendio e la circoncisore -si trovano nello stesso punto:

Proprietà

La proprietà principale dei triangoli equilaterali è che saranno sempre triangoli isosceli, poiché gli isosceli sono formati da due lati congruenti e gli equilibri da tre.

In questo modo, i triangoli equilaterali hanno ereditato tutte le proprietà del triangolo isoscele:

Angoli interni

La somma degli angoli interni è sempre uguale a 180^O, E poiché tutti i suoi angoli sono congruenti, quindi ognuno di questi misurarà 60^O.

Angoli esterni

La somma degli angoli esterni sarà sempre uguale a 360^O, Pertanto ogni angolo esterno misurerà 120^O. Questo perché gli angoli interni ed esterni sono supplementari, cioè aggiungendoli che saranno sempre uguali a 180^O.

Somma dei lati

La somma delle misure di due lati deve essere sempre maggiore della misura del terzo lato, cioè a + b> c, dove a, b e c sono le misurazioni su ciascun lato.

Lati congruenti

I triangoli equilaterali hanno i loro tre lati con la stessa misura o lunghezza; cioè sono congruenti. Pertanto, nell'elemento precedente è necessario = b = c.

Angoli congruenti

I triangoli equilaterali sono anche conosciuti come triangoli equiangolosi, perché i loro tre angoli interni sono congruenti tra loro. Questo perché tutte le loro parti hanno anche la stessa misura.

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Come calcolare il perimetro?

Il perimetro di un poligono è calcolato dalla somma dei lati. Come in questo caso il triangolo equilatero ha tutti i suoi lati con la stessa misura, il suo perimetro viene calcolato con la seguente formula:

P = 3 _* lato.

Come calcolare l'altezza?

Poiché l'altezza è la linea perpendicolare alla base, la divide in due parti uguali estendendosi al vertice opposto. Quindi due triangoli sono formati uguali rettangoli.

L'altezza (h) rappresenta il cateto opposto (a), metà del lato CA rispetto al cateto adiacente (b) e il lato BC rappresenta l'ipotenusa (c).

Usando il teorema di Pitagora, è possibile determinare il valore dell'altezza:

A² + B² = c²

Dove:

A² = altezza (h).

B² = lato b / 2.

C² = lato a.

Sostituire quei valori nel teorema di Pitagora e cancellare l'altezza che hai:

H² + ( l / 2)² = l²

H² +  l²/ 4 = l²

H² = l²  -  l²/ 4

H² = (4_*l² -  l²) / 4

H² =  3_*l² /4

√H² = √ (3_*l² /4)

Se l'angolo formato dai lati congruenti, l'altezza (rappresentata da una gamba) è nota, può essere calcolata applicando le ragioni trigonometriche.

Le categorie sono chiamate opposte o adiacenti a seconda dell'angolo che viene preso come riferimento.

Ad esempio, nella figura precedente la cateto H sarà opposta per l'angolo C, ma adiacente all'angolo B:

Pertanto, l'altezza può essere calcolata con:

Come calcolare i lati?

Ci sono casi in cui le misure dei lati del triangolo non sono note, ma la sua altezza e gli angoli che si formano nei vertici.

Per determinare l'area in questi casi è necessario applicare motivi trigonometrici.

Conoscendo l'angolo di uno dei suoi vertici, la categoria viene identificata e viene utilizzata la ragione trigonometrica corrispondente:

Pertanto, la cateto AB si oppone all'angolo C, ma adiacente all'angolo A. A seconda del lato o della gamba corrispondente all'altezza, l'altro lato viene eliminato per ottenere il valore di questo, sapendo che in un triangolo equilatero i tre lati avranno sempre la stessa misura.

Come calcolare l'area?

I triangoli sono sempre calcolati con la stessa formula, moltiplicando la base per altezza e dividendo per due:

Area = (b _* H) ÷ 2

Sapere che l'altezza è data dalla formula:

Esercizi

- Primo esercizio

I lati di un triangolo equilatero ABC misurano 20 cm ciascuno. Calcola l'altezza e l'area di quel poligono.

Soluzione

Per determinare l'area di quel triangolo equilatero è necessario calcolare l'altezza, sapendo che quando lo disegna, divide il triangolo in due rettangoli uguali.

In questo modo puoi usare il teorema di Pitagora per trovarlo:

A² + B² = c²

Dove:

A = 20/2 = 10 cm.

B = altezza.

C = 20 cm.

I dati vengono sostituiti nel teorema:

10² + B² = 20²

100 cm + B² = 400 cm

B² = (400 - 100) cm

B² = 300 cm

B = √300 cm

B = 17,32 cm.

Cioè, l'altezza del triangolo è pari a 17,32 cm. Ora è possibile calcolare l'area del triangolo dato sostituendo la formula:

Area = (b _* H) ÷ 2

Area = (20 cm _* 17,32 cm) ÷ 2

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Area = 346,40 cm² ÷ 2

Area = 173,20 cm².

Un altro modo più semplice per risolvere l'esercizio è la sostituzione dei dati nella formula diretta dell'area, in cui si trova anche il valore dell'altezza:

- Secondo esercizio

In un campo che ha la forma di un triangolo equilatero, i fiori pianteranno. Se il perimetro di quel terreno pari a 450 m, calcola il numero di metri che occupavano i fiori.

Soluzione

Sapendo che il perimetro di un triangolo corrisponde alla somma dei suoi tre lati e poiché il terreno ha la forma di un triangolo equilatero, i tre lati di questo avranno la stessa misura o lunghezza:

P = lato + lato + lato = 3 _* l

3 _* l = 450 m.

L = 450 m ÷ 3

L = 150 m.

Ora è solo necessario calcolare l'altezza di quel triangolo.

L'altezza divide il triangolo in due triangoli rettangoli congruenti, dove una delle categorie rappresenta l'altezza e l'altra metà della base. Dal teorema di Pitagora, l'altezza può essere determinata:

A² + B² = c²

Dove:

A = 150 m ÷ 2 = 75 m.

C = 150 m.

B = altezza

I dati vengono sostituiti nel teorema:

(75 m)² + B² = (150 m)²

5.625 m + B² = 22.500 m

B² = 22.500 m - 5.625 m

B² = 16.875 m

B = √16.875 m

B = 129,90 m.

Quindi l'area che i fiori occuperanno sarà:

Area = b * h ÷ 2

Area = (150 m _* 129,9 m) ÷ 2

Area = (19.485 m²) ÷ 2

Area = 9.742,5 m²

- Terzo esercizio

Il triangolo equilatero ABC è diviso da un segmento di linea che va dal suo vertice C al punto medio D, situato sul lato opposto (AB). Questo segmento misura 62 metri. Calcola l'area e il perimetro di quel triangolo equilatero.

Soluzione

Sapendo che il triangolo equilatero è diviso da un segmento di linea che corrisponde all'altezza, formando così due rettangoli congruenti, questo a sua volta divide anche l'angolo del vertice C in due angoli con la stessa misura, 30^O ogni.

L'altezza forma un angolo di 90^O Rispetto al segmento AB e l'angolo del vertice per poi misurare 60^O.

Quindi usando l'angolo di 30 come riferimento^O, L'altezza del CD è stabilita come una cateto adiacente all'angolo e BC come ipotenusa.

Da questi dati, è possibile determinare il valore di uno dei lati del triangolo, usando i motivi trigonometrici:

Come nel triangolo equilatero, tutti i lati hanno esattamente la stessa misura o lunghezza, significa che ogni lato del triangolo equilatero ABC è pari a 71,6 metri. Sapendo questo, è possibile determinare la tua area:

Area = b * h ÷ 2

Area = (71,6 m _* 62 m) ÷ 2

Area = 4.438,6 m² ÷ 2

Area = 2.219,3 m²

Il perimetro è dato dalla somma dei suoi tre lati:

P = lato + lato + lato = 3 _* l

P = 3_*l

P = 3 _* 71,6 m

P = 214,8 m.

Riferimenti

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3. Baldor, a. (1941). Algebra. L'Avana: cultura.
4. Barbosa, j. L. (2006). Geometria euclidea piatta. SBM. Rio de Janeiro, .
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6. Euclide, r. P. (1886). Elementi di geometria di Euclide.
7. Héctor Trejo, J. S. (2006). Geometria e trigonometria.
8. León Fernández, G. S. (2007). Geometria integrata. Metropolitan Technological Institute.
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