Caratteristiche della traiettoria fisica, tipi, esempi ed esercizi

IL Traiettoria in fisica È la curva che descrive un cellulare quando attraversa punti successivi durante il suo movimento. Poiché questo può adottare innumerevoli varianti, quindi saranno anche le traiettorie che il cellulare può seguire.

Per passare da un posto all'altro, una persona può prendere percorsi diversi e modi diversi: a piedi attraverso i marciapiedi nelle strade e nelle strade, o arrivare in auto o in moto su un'autostrada. Durante un giro attraverso la foresta, il deambulatore può seguire una traiettoria complicata che include curve, arrampicarsi o cadere e fino a quando non passa più volte attraverso lo stesso punto.

Figura 1. Unendo i punti estremi di ciascun vettore di posizione si ottiene la traiettoria seguita dalla particella. Fonte: Algarabia [dominio pubblico]

Se i punti attraverso i quali il mobile è in viaggio segue una linea retta, la traiettoria sarà rettilinea. Questa è la traiettoria più semplice, per essere un dimensionale. La specifica della posizione richiede una singola coordinata.

Ma il cellulare può seguire una traiettoria Curvil. In questi casi, il monitoraggio della posizione richiede due o tre coordinate. Questi sono movimenti rispettivamente nel piano e nello spazio. Questo ha a che fare con link: Limitare le condizioni materiali del movimento. Alcuni esempi sono:

- Le orbite che descrivono i pianeti intorno al sole sono traiettorie a forma di ellisse chiuse. Sebbene, in alcuni casi, possano approssimare una circolare, come nel caso della Terra.

- La palla che il portiere calcia in un calcio di goal segue una traiettoria parabolica.

- Un uccello in volo descrive le traiettorie curvilinee nello spazio, perché oltre a muoversi su un piano, può salire o inferiore a piacimento.

La traiettoria della fisica può essere espressa matematicamente quando la posizione mobile è nota in qualsiasi momento. Essere R Il vettore di posizione, che a sua volta ha coordinate X, E E z Nel caso più generale di un movimento tridimensionale. Conoscere la funzione R (T) La traiettoria sarà completamente determinata.

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Ragazzi

In termini generali, la traiettoria può essere una curva piuttosto complicata, specialmente se si desidera esprimere matematicamente. Pertanto, inizia con i modelli più semplici, in cui i cellulari viaggiano su una linea retta o su un piano, che può essere il pavimento o qualsiasi altro adatto:

Movimenti in una, due e tre dimensioni

Le traiettorie più studiate sono:

- Rettilineo, Quando si viaggia su una linea orizzontale, verticale o inclinata. Una palla lanciata verticalmente verso l'alto questa traiettoria o un oggetto che scivola in discesa anche da un piano inclinato. Sono movimenti a una dimensione, una singola coordinata è sufficiente per determinare completamente la sua posizione.

- Parabolico, in cui il cellulare descrive un arco di parabola. È frequente, poiché qualsiasi oggetto lanciato obliquamente sotto l'azione della gravità (un proiettile) segue questa traiettoria. Per specificare la posizione mobile è necessario fornire due coordinate: X E E.

- Circolare, si verifica quando la particella in movimento segue una circonferenza. È anche comune in natura e pratica quotidiana. Molti oggetti quotidiani seguono una traiettoria circolare come pneumatici, pezzi di macchinari e satelliti in orbita, per dare alcuni esempi.

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- Ellittico, L'oggetto si muove seguendo un'ellisse. Come affermato all'inizio, è la traiettoria che i pianeti seguono in orbita attorno al sole.

- Iperbolico, Gli oggetti astronomici sotto l'azione di una forza centrale (gravità), possono seguire traiettorie ellittiche (chiuse) o iperboliche (aperte).

- Elicoidale, o movimento a spirale, come quello di un uccello che sale in una corrente termica.

- Sway o pendolare, Il cellulare descrive un arco nei movimenti di andata e ritorno.

Esempi

Le traiettorie descritte nella sezione precedente sono molto utili per avere rapidamente un'idea di come sono i movimenti di un oggetto. In ogni caso, è necessario chiarire che la traiettoria di un cellulare dipende dalla posizione dell'osservatore. Ciò significa che lo stesso evento può essere visto in modi diversi, secondo dove si trova ciascuno.

Ad esempio un pedale da ragazza a velocità costante e lancia una palla. Osserva che la palla descrive una traiettoria rettilinea. 

Tuttavia, per un osservatore in piedi sulla strada che lo vede, la palla avrà un movimento parabolico. Per lui, la palla è stata inizialmente lanciata con una velocità inclinata, il risultato della velocità dalla mano della ragazza più la velocità della bicicletta.

figura 2. Questa animazione mostra il lancio verticale di una palla realizzata da una ragazza che va in bicicletta, come vede (traiettoria rettilinea) e come vedi un osservatore (traiettoria parabolica). (Preparato da F. Zapata).

Traiettoria di un cellulare in modo esplicito, implicito e parametrico

- Esplicito, specificando direttamente la curva o il luogo geometrico fornito dall'equazione e (x)

- Implicito, in cui una curva è espressa come f (x, y, z) = 0

-Parametrico, In questo modo si verificano le coordinate X e Y z a seconda di un parametro che, in generale, è scelto come tempo T. In questo caso, la traiettoria è costituita dalle funzioni: x (t), e T) E z (t).

Successivamente, due traiettorie molto studiate sono dettagliate in cinema: la traiettoria parabolica e la traiettoria circolare.

Lancio nel vuoto

Un oggetto (il proiettile) viene lanciato formando un angolo A con l'orizzontale e con una velocità iniziale v_O Come mostra l'immagine. La resistenza all'aria non è presa in considerazione. Il movimento può essere trattato come due movimenti indipendenti e simultanei: uno orizzontale con costante e un'altra velocità verticale sotto l'azione della gravità.

x (t) = x_O +v_bue.T

e (t) = y_O +v_Oy.T -½g.T²

Queste equazioni sono equazioni parametriche del lancio del proiettile. Come spiegato sopra, hanno un parametro comune T, che ora è.

Nel triangolo destro della figura si può vedere quanto segue:

v_bue = v_O cos θ_Yo

v_Oy = v_O sin θ_Yo

Figura 3. Traiettoria parabolica seguita da un proiettile, che mostra i componenti del vettore di velocità. H è la massima e l'altezza R è la portata massima orizzontale. Fonte: Ayush12Gupta [CC BY-SA 4.0 (https: // creativeCommons.Org/licenze/by-sa/4.0)]

Sostituendo queste equazioni che contengono l'angolo di lancio nelle equazioni parametriche è:

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x (t) = x_O +v_O cos θ_Yo.T

e (t) = y_O +v_O. sin θ_Yo.T -½g.T²

Equazione della traiettoria parabolica

L'equazione esplicita della traiettoria sta eliminando t dell'equazione per x (t) e sostituire nell'equazione y (t) (t). Per facilitare il lavoro algebrico, si può presumere che l'origine (0,0) sia nel punto di lancio e in questo modo x_O = y_O = 0.

Dopo aver semplificato il parametro "T"È stato eliminato e l'equazione che rimane è e a seconda di X:

Questa è l'equazione della traiettoria in Forma esplicita.

Traiettoria circolare

Una traiettoria circolare è data da:

(X - x_O)² + (e e_O)² = R²

Figura 4. Una particella si muove in una traiettoria circolare sul piano. Fonte: modificata da F. Scarpa Wikimedia Commons.

Qui x_O e e_O Rappresentano il centro della circonferenza descritta dal cellulare e R è il raggio dello stesso. P (x, y) è un punto della traiettoria. Dal triangolo rettangolo ombreggiato (Figura 3) è avvertito che:

x = r. cos θ

y = r. sin θ

Il parametro, in questo caso, è l'angolo di sweep θ, chiamato spostamento angolare. Nel caso particolare che la velocità angolare ω (angolo spazzato per unità di tempo) sia costante, si può affermare che:

θ = θ_O + ΩT

Dove θ_O È la posizione angolare iniziale della particella, che se presa come 0, è ridotta a:

θ = ωT

In questo caso, il tempo ritorna ad equazioni parametriche come:

x = r.cos ωT

y = r. peccato ωT

I vettori dell'unità Yo E J Sono molto convenienti per scrivere la funzione di posizione di un oggetto R (T). Indicano le indicazioni sull'asse X e sull'asse E rispettivamente. Nei suoi termini, la posizione di una particella che descrive un movimento circolare uniforme è:

R (t) = r.cos ωT Yo + R. peccato ωT J

Esercizi risolti

Esercizio risolto 1

Un cannone può sparare a un proiettile con una velocità di 200 m/se un angolo di 40º rispetto all'orizzontale. Se il lancio viene effettuato su terreni piatti e la resistenza dell'aria è disprezzata, trova:

a) L'equazione della traiettoria e (x) ..

b) le equazioni parametriche x (t) E e T).

c) La portata orizzontale e il tempo in cui il proiettile dura in aria.

d) L'altezza alla quale si trova il proiettile quando x = 12.000 m

Soluzione a)

a) Per trovare la traiettoria, vengono sostituiti i valori indicati nell'equazione y (x) della sezione precedente:

e (x) = tg 40º. X - 9.8/(2 '400². cos²40º) X² ⇒  e (x) = 0.8391 x - 0.0000522X²

Soluzione B)

b) Il punto di lancio è scelto all'origine del sistema di coordinate (0,0):

x (t) = x_O +v_bue.T = 400'Cos 40º.T = 306.42. T.

e (t) = y_O +v_Oy.T -½g.T²= 400 'Sen 40º.T - 0.5 '9.8'T²= 257.12 T - 4.9.T²

Soluzione C)

c) Per trovare il tempo in cui il proiettile dura in aria, è fatto e (t) = 0, Essere il lancio è realizzato in terreni piatti:

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0 = 257.12.T - 4.9.T²

T = 257.12/4.9 s = 52.473 s

L'ambito massimo orizzontale sta sostituendo questo valore in x (t):

X_Max = 306.42'52.47 m = 16077.7 m

Un altro modo per trovare x_Max Sta facendo direttamente y = 0 nell'equazione della traiettoria:

0 = 0.8391 x_Max - 0.0000522 x²_Max

x = 0.8391 /0.0000522 M = 16078.5m

C'è una piccola differenza a causa dell'arrotondamento dei decimali.

D) Soluzione

d) Per conoscere l'altezza quando x = 12000 m Questo valore viene sostituito direttamente nell'equazione della traiettoria:

e (12000) = 0.8391'12000 - 0.0000522'12000² M = 2552.4 m

Esercizio risolto 2

La funzione di posizione di un oggetto è data da:

R (t) = 3t Yo + (4 -5t²) J M

Trovare:

a) L'equazione per la traiettoria. Cos'è la curva?

b) la posizione iniziale e la posizione quando t = 2 s.

c) lo spostamento fatto dopo t = 2 s.

Soluzione

a) La funzione di posizione è stata fornita in termini di vettori dell'unità Yo E J, che determinano rispettivamente l'indirizzo sugli assi X E E, Perciò:

x (t) = 3t

e T) = 4 -5t²

L'equazione della traiettoria e (x) Si sta cancellando T Di x (t) e sostituendo e T):

T = x/3

e (x) = 4 -5. (x/3)² = 4 - 5x²/9 (parabola)

b) la posizione iniziale è: R (2) = 4 J M ; La posizione in T = 2 s È R (2) = 6 Yo -16 J M

c) spostamento DR È la sottrazione dei vettori a due posizioni:

ΔR = R (2) - R (2) = 6 Yo -16 J- 4 J = 6 Yo - venti J M

Esercizio risolto 3

La terra ha un raggio r = 6300 km ed è noto che il periodo di rotazione del suo movimento attorno al suo asse è un giorno. Trovare:

a) L'equazione della traiettoria di un punto sulla superficie terrestre e la sua funzione di posizione.

b) la velocità e l'accelerazione di detto punto.

Soluzione a)

a) La funzione di posizione per qualsiasi punto in orbita circolare è:

R (t) = r.cos ωT Yo + R.peccato ωT J

Hai il raggio della terra r, ma non la velocità angolare ω, tuttavia può essere calcolato dal periodo, sapendo che per il movimento circolare è valido dire che:

Ω = 2π × Frequenza = 2π / periodo

Il periodo di movimento è: 1 giorno = 24 ore = 1440 minuti = 86400 secondi, quindi:

Ω =  2π / 86400 s = 0.000023148 ​​s^-1

Sostituzione nella funzione di posizione:

R (t) = r.cos ωT Yo + R. peccato ωT J = 6300 (cos 0.000023148T Yo + Sin 0.000023148T J) Km

Il percorso in una forma parametrica è:

x (t) = 6300. cos 0.000023148T

e (t) = 6300. Sin 0.000023148T

Soluzione B)

b) Per il movimento circolare, l'entità della velocità lineare v di un punto è correlato alla velocità angolare W Attraverso:

v = ΩR = 0.000023148 ​​s^-1'6300 km = 0.1458 km/s = 145.8 m/s

Anche essendo un movimento costante di 145.8 m/s, Esiste un'accelerazione che indica al centro dell'orbita circolare, responsabile di mantenere il punto in rotazione. È accelerazione centripeta A_C, Dato da:

A_C = v² / R = (145.8 m/s)² / 6300 × 10³ M = 0.00337 m/s².

Riferimenti

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