Proprietà trasformate di Fourier Discret, applicazioni, esempi
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- Dante Morelli
IL Fourier discreto trasformato È un metodo numerico utilizzato per definire i campioni relativi alle frequenze spettrali che compongono un segnale. Studia funzioni periodiche nei parametri chiusi, lanciando di conseguenza un altro segnale discreto.
Al fine di ottenere la trasformata discreta di Furier da N punti, su un segnale discreto, devono essere soddisfatte le seguenti 2 condizioni su una sequenza X [n]
x [n] = 0 N n - 1
Soddisfando queste condizioni, la trasformazione discreta di Fourier può essere definita come
TDF La trasformata discreta di Fourier può essere definita come un campionamento in n punti della trasformazione di Fourier.
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Interpretazione della trasformata discreta di Fourier
Fonte: Pexels Ci sono 2 punti di vista da cui possono essere interpretati i risultati ottenuti su una sequenza XS[n] attraverso la trasformata discreta di Fourier.
-Il primo corrisponde ai coefficienti spettrali, già noto alla serie Fourier. È osservato in segnali periodici discreti, con campioni in coincidenza con la sequenza XS[N].
-Il secondo è circa lo spettro di un segnale aperiadico discreto, con campioni corrispondenti alla sequenza xS[N].
La trasformata discreta è un approccio allo spettro del segnale analogico originale. La sua fase dipende dai momenti di campionamento, mentre la sua grandezza dipende dall'intervallo di campionamento.
Proprietà
Le basi algebriche della struttura costituiscono la base logica delle seguenti sezioni.
Linearità
C . SN → C . F[SK]; Se una sequenza viene moltiplicata per uno scalare, la sua trasformazione sarà anche.
TN + VN = F [tK]+F [VK]; La trasformazione di una somma è uguale alla somma di quelli trasformati.
Dualità
F [sN] → (1/n) s-K; Se la trasformata discreta di Fourier viene richiamata in un'espressione già trasformata, si ottiene la stessa espressione, arrampicandosi in N invertito rispetto all'asse verticale.
Convoluzione
Inseguendo obiettivi simili che nella trasformazione di Laplace, la convoluzione delle funzioni si riferisce al prodotto tra le sue trasformazioni di Fourier. La convoluzione si applica anche a tempi discreti ed è responsabile di molte procedure moderne.
XN * RN → F [xN" .FrN]; La trasformazione di una convoluzione è uguale al prodotto di quelli trasformati.
XN . RN→ F [xN] * FrN]; La trasformazione di un prodotto è uguale alla convoluzione di quelli trasformati.
Dislocamento
XN-m → F [xK] e -I (2π/n) km ; Se una successione viene ritardata in campioni M, il suo effetto sulla trasformazione discreta sarà una modifica dell'angolo definito da (2π/n) km.
Può servirti: perché l'algebra è importante in determinate situazioni di vita quotidiana?Simmetria coniugato
XT [-K] = x*T[k] = xT [N - K]
Modulazione
W-nmN . x [n] ↔ xT[K - M]
Prodotto
x [n] y [n] ↔ (1/n) xT[k]*eT[K]
Simmetria
X [-n] ↔ xT[-K] = x*T[K]
Coniugare
x*[n] ↔ x*T[-K]
Equazione di Parseval
Somiglianze e differenze con la trasformazione di Fourier
Per quanto riguarda la trasformazione convenzionale di Fourier, ha diverse somiglianze e differenze. La trasformazione di Fourier converte una sequenza in una linea continua. In questo modo si dice che il risultato della variabile di Fourier sia una complessa funzione variabile reale.
La trasformata discreta di Fourier, a differenza, riceve un segnale discreto e lo trasforma in un altro segno discreto, cioè una sequenza.
Qual è l'uso della trasformata discreta di Fourier?
Servono principalmente a equazioni significative, trasformando le espressioni derivate in elementi di potere. Indicando espressioni differenziali in forme di polinomi integrabili.
Nell'ottimizzazione, la modulazione e la modellizzazione dei risultati fungono da espressione standardizzata, essendo una risorsa frequente per l'ingegneria dopo diverse generazioni.
Fonte: Pixabay Storia
Questo concetto matematico è stato presentato da Joseph B. Fourier nel 1811, mentre sviluppa un trattato riguardo al Distribuzione del calore. È stato rapidamente adottato da vari rami di scienza e ingegneria.
È stato stabilito come lo strumento di lavoro principale nello studio delle equazioni con derivati parziali, confrontando anche con la relazione di lavoro tra il Laplace trasformate e equazioni differenziali ordinarie.
Qualsiasi funzione che può essere lavorata con la trasformazione di Fourier deve presentare nullità al di fuori di un parametro definito.
Fourier discreto trasformato e il suo inverso
La trasformata discreta si ottiene attraverso l'espressione:
Dopo una sequenza discreta x [n]
L'inverso della trasformazione discreta di Fourier è definito attraverso l'espressione:
TDF inverso Permette una volta trasformato il discreto, definire la sequenza nel dominio del tempo x [n].
Fronzoli
Il processo di parametrizzazione corrispondente alla trasformazione discreta di Fourier sta nel Cub. Per lavorare la trasformazione dobbiamo limitare la sequenza nel tempo. In molti casi i segnali in questione non hanno queste limitazioni.
Una successione che non soddisfa i criteri di dimensioni da applicare alla trasformazione discreta, può essere moltiplicata per una funzione "finestra" V [n], definendo il comportamento della successione in un parametro controllato.
Può servirti: permutazioni circolari: dimostrazione, esempi, esercizi risoltiX [n] . V [n]
La larghezza dello spettro dipenderà dalla larghezza della finestra. All'aumentare della larghezza della finestra, la trasformata calcolata sarà più stretta.
Applicazioni
Calcolo della soluzione fondamentale
La trasformata discreta di Fourier è un potente strumento nello studio di successioni discrete.
La trasformata discreta di Fourier trasforma una funzione variabile continua, in una trasformata variabile discreta.
Il problema di Cauchy per l'equazione del calore presenta un frequente campo di applicazione della trasformata discreta di Fourier. Dove viene generata la funzione Calore di dirichlet o nucleo del nucleo, che si applica al campionamento dei valori in un parametro definito.
Teoria del segnale
La ragione generale dell'applicazione della trasformata discreta di Fourier in questo ramo è principalmente dovuta alla caratteristica decomposizione di un segnale come una sovrapposizione infinita di segnali più facilmente curabili.
Può essere un'onda sonora o un'onda elettromagnetica, la trasformata discreta di Fourier la esprime in una semplice sovrapposizione d'onda. Questa rappresentazione è abbastanza frequente nell'ingegneria elettrica.
Serie di Fourier
Sono una serie definita in termini di cosenos e seni. Servono a facilitare il lavoro con funzioni periodiche generali. Quando applicati fanno parte delle tecniche di risoluzione delle equazioni differenziali parziali e ordinarie.
Le serie di Fourier sono ancora più generali della serie di Taylor, perché sviluppano periodiche funzioni di discontinua che non hanno rappresentazione nella serie Taylor.
Altre forme della serie di Fourier
Per comprendere analiticamente la trasformazione di Fourier è importante.
-Serie di Fourier su una funzione del periodo 2L:
Molte volte è necessario adattare la struttura di una serie di Fourier, a funzioni periodiche il cui periodo è p = 2L> 0 nell'intervallo [-l, L].
-Serie di Fourier in funzioni pari e dispari
È considerato l'intervallo [-π, π] che offre vantaggi quando si sfrutta le caratteristiche simmetriche delle funzioni.
Può servirti: set finito: proprietà, esempi, esercizi risoltiSe F è coppia, la serie Fourier è stabilita come una serie di cosenos.
Se F è dispari, la serie Fourier è stabilita come una serie di seni.
-Notazione complessa della serie di Fourier
Se hai una funzione F (T), che soddisfa tutti i requisiti della serie Fourier, è possibile indicarla nell'intervallo [-t, T] usando la sua notazione complessa:
Esempi
Per quanto riguarda il calcolo della soluzione fondamentale, vengono presentati i seguenti esempi:
Equazione di Laplace
Equazione di calore
Equazione di Schrödinger
Equazione delle onde
D'altra parte, ci sono esempi di applicazione della trasformazione discreta di Fourier nel campo della teoria del segnale:
-Problemi di identificazione del sistema. Stabilito f e g
-Problema con la coerenza del segnale di uscita
-Problemi con il filtro del segnale
Esercizi
Esercizio 1
Calcola la trasformata discreta di Fourier per la successiva successione.
Il TDF X [N] può essere definito come:
XT[k] = 4, -j2, 0, j2 per k = 0, 1, 2, 3
Esercizio 2
Si voleva determinare attraverso un algoritmo digitale il segnale spettrale definito dall'espressione x (t) = e-T. Dove il coefficiente di richiesta di frequenza massima è fM= 1Hz. Un'armonica corrisponde a F = 0.3 Hz. L'errore è limitato a meno del 5%. Calcolare FS , D e n.
Tenendo conto del teorema del campionamento FS = 2fM = 2 Hz
Una risoluzione di frequenza di F0 = 0.1 Hz, dove d = 1/0,1 = 10s si ottengono
0.3 Hz è la frequenza corrispondente all'indice k = 3, dove n = 3 × 8 = 24 campioni. Indicando quello FS = N/d = 24/10 = 2.4> 2
Poiché lo scopo è quello di ottenere il valore minimo possibile per N, i seguenti valori possono essere considerati come una soluzione:
F0 = 0.3 Hz
D = 1/0.3 = 3.33s
K = 1
N = 1 × 8 = 8
Riferimenti
- Padroneggiare la trasformata discreta di Fourier in una, due o diverse dimensioni: insidie e artefatti. Isaac Amidor. Springer Science & Business Media, 19 luglio. 2013
- Il DFT: un manuale dei proprietari per la trasformata discreta di Fourier. William L. Briggs, Van Emden Henson. Siam, 1 gennaio. 1995
- Elaborazione del segnale digitale: teoria e pratica. D. Sundararajan. World Scientific, 2003
- Trasforma e algoritmi veloci per l'analisi e le rappresentazioni del segnale. Guoan BI, Yonghong Zeng. Springer Science & Business Media, 6 dicembre. 2012
- Trasformazioni di Fourier discrete e continue: analisi, applicazioni e algoritmi veloci. Eleanor Chu. CRC Press, 19. 2008
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