Trasformazioni isometriche

IL trasformazioni isometriche Sono cambiamenti di posizione o orientamento di una determinata figura che non alterano la forma o la dimensione di questo. Queste trasformazioni sono classificate in tre tipi: traduzione, rotazione e riflessione (isometria). In generale, le trasformazioni geometriche consentono di creare una nuova figura da un'altra data.

Una trasformazione in una figura geometrica significa che, in qualche modo, è stata sottoposta a qualche cambiamento; cioè, è stato modificato. Secondo il senso dell'originale e simile nel piano, le trasformazioni geometriche possono essere classificate in tre tipi: isometrico, isomorfo e anamorfico.

Caratteristiche delle trasformazioni isometriche

- Le trasformazioni isometriche si verificano quando vengono conservate le magnitudini dei segmenti e degli angoli tra la figura originale e la figura trasformata.

- In questo tipo di trasformazione, la forma o la dimensione della figura non è alterata (sono congruenti), è solo un cambiamento di posizione di questo, né nell'orientamento né nel senso. In questo modo, la figura iniziale e la finale saranno simili e geometricamente congruenti.

- L'isometria si riferisce all'uguaglianza; Cioè, che le figure geometriche saranno isometriche se hanno la stessa forma e dimensione.

- Nelle trasformazioni isometriche, l'unica cosa che si può osservare è un cambiamento di posizione nel piano, si verifica un movimento rigido grazie a cui la figura passa da una posizione iniziale a una finale. Questa figura è chiamata omologa (simile) dell'originale.

- Esistono tre tipi di movimenti che classificano una trasformazione isometrica: traduzione, rotazione e riflessione o simmetria.

Tipi di trasformazioni isometriche

Per traduzione

Sono quelle isometrie che consentono di spostare in linea retta tutti i punti del piano in una direzione specifica e distanza.

Quando una figura viene trasformata dalla traduzione, non cambia il suo orientamento in relazione alla posizione iniziale, né perde le sue misure interne, le misure dei suoi angoli e lati. Questo tipo di spostamento è definito da tre parametri:

• Un indirizzo, che può essere orizzontale, verticale o obliquo.
• Una direzione, che può essere a sinistra, a destra, su o giù.
• Distanza o grandezza, che è la lunghezza che viene dalla posizione iniziale alla finale di qualsiasi punto che si muove.

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Affinché una trasformazione isometrica dovuta alla traduzione, deve soddisfare le seguenti condizioni:

• La figura deve sempre mantenere tutte le sue dimensioni, sia lineari che angolari.
• La figura non cambia la sua posizione rispetto all'asse orizzontale; cioè, il suo angolo non varia mai.
• Le traduzioni saranno sempre riassunte in uno, indipendentemente dal numero di traduzioni fatte.

In un piano in cui il centro è un punto o, con coordinate (0,0), la traduzione è definita da un vettore t (a, b), che indica lo spostamento del punto iniziale. Vale a dire:

P (x, y) + t (a, b) = p '(x + a, y + b)

Ad esempio, se al punto di coordinate P (8, -2) viene applicata una traduzione t (-4, 7), si ottiene:

P (8, -2) + t (-4, 7) = p '[(8 + (-4)), ((-2) + 7)] = p' (4, 5)

Nella seguente immagine (a sinistra) puoi vedere come il punto C si è spostato in coincidenza con il d. Lo ha fatto verticalmente, il significato è salito e la distanza o la magnitudo CD era di 8 metri. Nell'immagine giusta si osserva la traduzione di un triangolo:

Per rotazione

Sono quelle isometrie che consentono alla figura di girare tutti i punti di un piano. Ogni punto gira seguendo un arco che ha un angolo costante e un punto fisso (centro di svolta) determinato.

Cioè, tutta la rotazione sarà definita dalla sua rotazione e dall'angolo di rotazione. Quando una figura viene trasformata per rotazione, mantiene la misura dei suoi angoli e lati.

La rotazione si verifica in una certa direzione, è positiva quando la svolta è anti -ohoraria (contrariamente a come ruotano le mani dell'orologio) e negative quando la sua svolta è in senso orario.

Se un punto (x, y) viene ruotato rispetto all'origine, ovvero, il suo centro di rotazione è (0,0) -, con un angolo di 90^O 360^O Le coordinate dei punti saranno:

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Nel caso in cui la rotazione non ha al centro dell'origine, l'origine del sistema di coordinate alla nuova origine data deve essere trasferita, al fine di ruotare la figura con l'origine il centro.

Ad esempio, se il punto P (-5,2) viene applicata una rotazione 90^O, Intorno all'origine e in senso positivo le sue nuove coordinate saranno (-2,5).

Per riflessione o simmetria

Sono quelle trasformazioni che investono i punti e le cifre del piano. Questo investimento può essere rispetto a un punto o può anche essere rispetto a una linea.

In altre parole, in questo tipo di trasformazione ogni punto nella figura originale è associato ad un altro punto (immagine) della figura omologa, in modo che il punto e la sua immagine siano alla stessa distanza da una linea chiamata asse di simmetria.

Pertanto, la parte sinistra della figura sarà un riflesso del lato destro, senza cambiare la sua forma o le sue dimensioni. La simmetria trasforma una figura uguale ma al contrario, come si può vedere nella seguente immagine:

La simmetria è presente in molti aspetti, come alcune piante (girasoli), animali (pavone) e fenomeni naturali (fiocchi di neve). L'essere umano lo riflette in faccia, che è considerato un fattore di bellezza. La riflessione o la simmetria possono essere di due tipi:

Simmetria centrale

È quella trasformazione che si verifica rispetto a un punto, in cui la figura può cambiare il suo orientamento. Ogni punto nella figura originale e la sua immagine sono alla stessa distanza da un punto o, chiamato centro di simmetria. La simmetria è centrale quando:

• Sia il punto che la sua immagine e il suo centro appartengono alla stessa linea.
• Con una rotazione di 180^O dal centro o una figura uguale all'originale si ottiene.
• I colpi della figura iniziale sono paralleli con i tratti della figura formata.
• Il significato della figura non cambia, sarà sempre in un programma.

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Simmetria assiale

Questa trasformazione si verifica rispetto all'asse di simmetria, in cui ogni punto nella figura iniziale è associato a un altro punto nell'immagine e questi sono alla stessa distanza dell'asse di simmetria. La simmetria è assiale quando:

• Il segmento che unisce un punto con la sua immagine è perpendicolare al suo asse di simmetria.
• Le figure cambiano il loro significato per quanto riguarda la direzione del turno o del tempo.
• Dividendo la figura con una linea centrale (asse di simmetria), una delle metà risultanti coincide completamente con un'altra delle metà.

Composizione

Una composizione delle trasformazioni isometriche si riferisce all'applicazione successiva delle trasformazioni isometriche sulla stessa figura.

Composizione di una traduzione

La composizione di due traduzioni si traduce in un'altra traduzione. Quando eseguiti sul piano, sull'asse orizzontale (x) solo le coordinate di quell'asse cambiano, mentre le coordinate dell'asse verticale (Y) rimangono le stesse e viceversa.

Composizione di una rotazione

La composizione di due giri con lo stesso centro si traduce in un altro turno, che ha lo stesso centro e la cui ampiezza sarà la somma delle ampiezze dei due giri.

Se il centro le curve hanno un centro diverso, il taglio dei due segmenti di punti simili sarà il centro di rotazione.

Composizione della simmetria

In questo caso, la composizione dipenderà da come viene applicata:

• Se la stessa simmetria viene applicata due volte, il risultato sarà un'identità.
• Se vengono applicate due simmetrie rispetto a due assi paralleli, il risultato sarà traduzione e il loro spostamento è il doppio della distanza di quegli assi:

• Se vengono applicate due simmetrie rispetto a due assi tagliati nel punto O (centro), verrà ottenuta una rotazione con centro e il suo angolo sarà il doppio dell'angolo che gli assi formano: