Omotecia

IL Omotecia È un cambiamento geometrico nel piano in cui, da un punto fisso chiamato centro (O), le distanze vengono moltiplicate per un fattore comune. In questo modo, ogni punto P corrisponde a un altro punto della trasformazione, e questi sono allineati con il punto o.

Quindi, l'omotecia è una corrispondenza tra due figure geometriche, in cui i punti trasformati sono chiamati omotetici, e questi sono allineati con un punto fisso e con segmenti paralleli tra loro.

Spiegazione e formula

L'omotecia è una trasformazione che non ha un'immagine congruente, perché da una figura otterrà una o più cifre di dimensioni maggiori o minori della figura originale; Cioè, l'omotecia trasforma un poligono in un altro simile.

Affinché la omotecia sia adempiuta, la linea di punta a punta e retta deve corrispondere, in modo che le coppie di punti omologhi siano allineati con un terzo punto fisso, che è il centro della omotecia.

Allo stesso modo, le coppie di linee che si uniscono dovrebbero essere parallele. La relazione tra tali segmenti è una costante chiamata omotecia (k) motivo; In modo tale che l'omotecia possa essere definita come:

Per fare questo tipo di trasformazione, inizierà un punto arbitrario, che sarà il centro dell'omotecia.

Da questo punto, vengono disegnati segmenti di linea per ogni vertice della figura da trasformare. La scala su cui viene effettuata la riproduzione della nuova figura è data per il motivo dell'omotecia (K).

Proprietà omotecia

Una delle proprietà principali dell'omotecia è che, per il motivo dell'omotecia (k), tutte le figure omotetiche sono simili. Tra le altre proprietà eccezionali ci sono le seguenti:

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- Il centro di omotecia (O) è l'unico doppio punto e si trasforma; cioè, non varia.

- Le linee che passano attraverso il centro diventano se stesse (sono doppie), ma i punti che lo compongono non sono doppi.

- Le linee che non passano attraverso il centro vengono trasformate in linee parallele; In questo modo, gli angoli di omotecia rimangono uguali.

- L'immagine di un segmento da parte di una omotecia centrale o e motivo k, è un segmento parallelo ad esso e ha k volte la sua lunghezza. Ad esempio, come visto nella seguente immagine, un segmento AB per Homotecia sarà un altro segmento A'B ", in modo che AB sarà parallelo a A'b" e il k sarà:

- Gli angoli omotetici sono congruenti; Cioè, hanno la stessa misura. Pertanto, l'immagine di un angolo è un angolo che ha la stessa ampiezza.

D'altra parte, l'omotecia deve essere variata a seconda del valore della sua ragione (k) e possono verificarsi i seguenti casi:

- Se la costante k = 1, tutti i punti sono fissati perché si trasformano. Pertanto, la figura omotetica coincide con l'originale e la trasformazione sarà chiamata funzione di identità.

- Se k ≠ 1, l'unico punto fisso sarà il centro dell'omotecia (O).

- Se k = -1, l'omotecia diventa una simmetria centrale (c); Cioè, si verificherà una rotazione intorno a C, con un angolo di 180^O.

- Se K> 1, la dimensione della figura trasformata sarà maggiore alla dimensione dell'originale.

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- Sì 0 < k < 1, el tamaño de la figura transformada será menor que el de la original.

- Sì -1 < k < 0, el tamaño de la figura transformada será menor y estará girada con respecto a la original.

- Sì k < -1, el tamaño de la figura transformada será mayor y estará girada con respecto a la original.

Tipi di omotecia

L'omotecia potrebbe anche essere classificata in due tipi, a seconda del valore della sua ragione (k):

Homotecia diretta

Si verifica se la costante k> 0; Cioè, i punti omotetici sono sullo stesso lato rispetto al centro:

Il fattore di proporzionalità o il rapporto di somiglianza tra le figure omotetiche dirette saranno sempre positive.

Omotecia inversa

Si verifica se la costante k < 0; es decir, los puntos iniciales y sus homotéticos se ubican en los extremos opuestos con respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El centro se encontrará entre las dos figuras:

Il fattore di proporzionalità o il rapporto di somiglianza tra le figure omotetiche inverse saranno sempre negative.

Composizione

Quando vengono eseguiti diversi movimenti in successione fino a quando non si verifica una figura originale, si verifica una composizione di movimenti. La composizione di diversi movimenti è anche un movimento.

La composizione tra due omotecia si traduce in una nuova omotecia; Cioè, esiste un prodotto Homotecia in cui il centro sarà allineato al centro delle due trasformazioni originali e il motivo (k) è il prodotto dei due motivi.

Quindi, nella composizione di due omoti H₁(O₁, K₁) e h₂(O₂, K₂), La moltiplicazione delle tue ragioni: k₁ x k₂ = 1 si tradurrà in una omotecia del motivo k₃ = K₁ x k₂. Il centro di questa nuova omotecia (o₃) si troverà sulla linea o₁ O₂.

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L'omotecia corrisponde a un cambiamento piatto e irreversibile; Se si applicano due omotecia che hanno lo stesso centro e la stessa ragione ma con un segno diverso, la figura originale verrà ottenuta.

Esempi di omotecia

1. Primo esempio

Applicare un'omotecia al poligono dato del centro (O), situato a 5 cm dal punto A e la cui ragione è k = 0,7.

Soluzione

Ogni punto viene scelto come centro di omotecia e da ciò sono commercializzati dai vertici della figura:

La distanza dal centro (O) al punto A è OA = 5; Con questo puoi determinare la distanza di uno dei punti omotetici (OA ') sapendo anche che k = 0,7:

Oa '= k x oa.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

Il processo può essere eseguito per ogni vertice, oppure puoi anche disegnare il poligono omotetico ricordando che i due poligoni hanno lati paralleli:

Infine, la trasformazione è vista come segue:

2. Secondo esempio

Applicare una omotecia al poligono dato del centro (O), situato a 8,5 cm dal punto C e il cui e motivo k = -2.

Soluzione

La distanza dal centro (O) al punto C è OC = 8,5; Con questi dati è possibile determinare la distanza di uno dei punti omotetici (OC '), sapendo anche che k = -2:

Oc '= k x oc.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Dopo aver disegnato i segmenti dei vertici del poligono trasformato, i punti iniziali e i loro omotetici si trovano alle estremità opposte rispetto al centro: