Teorema del fattore di spiegazione, esempi, esercizi

Lui Teorema del fattore afferma che un p (x) polinomiale è divisibile da un binomiale della forma (x - a) se x = a è una radice di p (x), cioè p (a) = 0. Si dice che un polinomio sia divisibile tra l'altro quando il suo residuo o il riposo è zero.

Un polinomio è un'espressione di forma:

P (x) = a_N X^N + A_N-1 X^N-1 +… + A₁ x + a₀

Figura 1. Teorema del fattore. Fonte: f. Zapata.

Dove:

-n è il grado di polinomio, essendo il numero intero più grande a cui sorge la variabile indipendente X,

-Valori a_N, A_N-1 ,… + A₁ , A₀ Sono i coefficienti del polinomio, che sono generalmente numeri reali, ma potrebbero anche essere numeri complessi.

Un polinomio di grado N può decomporsi come prodotto dei binomiali di forma:

(X - R_Yo)

Dove r_Yo È la radice i-alkish p (x):

P (x) = a_N (X - R₁) (X - r₂)… (X - r_N)

Poiché il numero di radici di un polinomio è uguale al grado dello stesso.

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Esempi

- Esempio 1

Considera il polinomio per caso:

P (x) = 3⋅x² - 7⋅x + 2

Vuoi sapere se questo polinomio è divisibile dal binomio (x - 2). Se viene utilizzato il teorema del fattore, dobbiamo valutare p (x = 2) per sapere se il valore 2 è una radice o non è. Procediamo quindi a valutare l'espressione:

P (2) = 3⋅22 - 7⋅2 + 2 = 3⋅4 - 7⋅2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 12 - 12 = 0.

Si scopre che x = 2 è la radice di p (x), quindi secondo il teorema del fattore, il binomiale (x - 2) è effettivamente un fattore di p (x).

Passiamo alla verifica diretta facendo la divisione. Il dettaglio di come viene effettuata la divisione è mostrato nella seguente figura:

figura 2.- Divisione polinomiale P (x) tra binomiale X-2. Fonte: f. Zapata.

Si verifica che il quoziente tra p (x) e (x -2) fornisca un polinomio di un grado minore chiamato quoziente c (x) = 3⋅x - 1 con residuo 0.

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Possiamo riassumere il risultato come segue:

(3⋅x² - 7⋅x + 2) ÷ (x -2) = (3⋅x - 1) + 0

L'espressione precedente può essere scritta in un altro modo, semplicemente ricordando che il dividendo p (x) è uguale al prodotto del divisore (x -2) dal quoziente (3⋅x - 1) più il residuo (zero in questo caso )

(3⋅x² - 7⋅x + 2) = (x -2) (3⋅x - 1) + 0

In questo modo, il polinomio p (x) (x), ovvero scrivere come prodotto dei polinomi, il polinomio originale: il polinomio originale:

(3⋅x² - 7⋅x + 2) = (x -2) (3⋅x - 1)

- Esempio 2

Essere il polinomio q (x) = x³ - x + 2. Vuoi sapere se è divisibile dal binomiale (x + 1).

Il modo più diretto è semplicemente applicare il teorema del fattore. In questo caso devi semplicemente verificare se x = -1 annuls o no il polinomio Q (x).

Procediamo sostituendo:

Q (-1) = (-1)³ - (-1) + 2 = -1 + 1 + 2 = 2

Il risultato è diverso da zero, quindi il teorema del fattore garantisce che Q (x) polinomiale non sia divisibile tra (x + 1), poiché q (-1) ≠.

Ora la divisione di Q (x) sarà fatta tra il binomiale (x + 1) come metodo di verifica della nostra conclusione.

In questa occasione, la divisione verrà effettuata attraverso il metodo della divisione sintetica, che consiste nel posizionare nella fila di prima elementare di alto livello tutti i coefficienti del polinomio, compresi quelli mancanti, poiché hanno zero coefficiente.

Quindi nella prima colonna viene posizionato il termine indipendente del divisore ma con il segno cambiato, nel nostro caso il divisore è (x + 1). Il suo termine indipendente è 1, ma come nella prima colonna viene posizionato il segno cambiato, cioè -1.

La figura seguente illustra come viene eseguita la divisione sintetica:

Può servirti: equazioni polinomialiFigura 3. Esempio di divisione sintetica polinomiale. Fonte: f. Zapata.

Con questo risultato è dimostrato che (x + 1) non è un fattore di Q (x) = x) = x³ - x + 2 poiché il residuo non è zero.

Questa conclusione non è sorpresa, perché era già stata prevista con il teorema del fattore. Si noti che quando si sostituisce x = -1 in q (x) ciò che si ottiene è precisamente il residuo o il resto della divisione polinomiale, poiché Q (-1) = residuo = 2.

Naturalmente, la divisione fornisce le informazioni aggiuntive del quoziente C (x) = x² - X.

Ricordando che il dividendo Q (x) è uguale al divisore (x + 1) per rapporto C (x) più il residuo r = 2 abbiamo l'espansione del polinomiale Q (x) come segue:

Q (x) = (x + 1) (x² - x) + 2 = x (x + 1) (x - 1) + 2

Va notato che questa espressione non è la fattorizzazione di detto polinomio, poiché esiste un termine non null aggiuntivo, che è precisamente il valore del valore 2.

Esercizi

- Esercizio 1

Trova i fattori polinomiali

P (x) = x³ - 5 x² + 2 x + 8

E anche scrivi la tua fattorizzazione.

Soluzione

Il teorema del fattore indica che dobbiamo cercare le radici A e poi trova i fattori (x - A), In questo caso, in quanto è un polinomio di grado tre, ci devono essere tre radici. 

Poiché è un polinomio con interi coefficienti, le radici devono essere tra i divisori del termine indipendente che in questo caso è 8. Questi divisori sono:

± 1, ± 2, ± 4, ± 8.

Iniziamo esplorando +1: p (+1) = 1³ - 5⋅ 1² + 2⋅1 + 8 = 1 - 5 + 2 + 8 = 6 che è diverso da 0, quindi +1 non è radice.

Esploriamo -1:

P (-1) = (-1)³ - 5⋅ (-1)² + 2⋅ (-1) + 8 = -1 - 5 - 2 + 8 = 0

Dal risultato si è concluso che -1 è la radice di p (x) y (x -( -1)) = (x + 1) è un fattore polinomiale.

Può servirti: quadrati minimi

Dobbiamo trovare altri due fattori:

Abbiamo provato il prossimo che è +2:

P (+2) = (+2)³ - 5⋅ (+2)² + 2⋅ (+2) + 8 = 8 + (-20) + 4 + 8 = 0

Ancora una volta otteniamo zero. Quindi l'altro fattore è (x - 2).

Dato che è un polinomio di grado tre dobbiamo solo trovare un fattore. Ora abbiamo provato il valore +4 per sapere se i polinomiali cancellano:

P (+4) = (+4)³ - 5⋅ (+4)² + 2⋅ (+4) + 8 = 64 - 80 + 8 + 8 = 0.

In altre parole.

Non devi continuare a cercare, perché è un polinomio di grado 3 che ha al massimo tre radici. In questo esercizio tutte le radici si sono rivelate reali e complete.

Pertanto il polinomio P (x) è un fattore come questo:

P (x) = x³ - 5 x² + 2 x + 8 = (x + 1) (x - 2) (x - 4).

- Esercizio 2

Essere il polinomio p⋅x³ - x + 2p. Determina il valore di P perché il polinomio sia divisibile da (x + 2).

Soluzione

Usiamo il teorema del fattore, che afferma che se x = -2 annulla il polinomio allora (x -( -2)) è un fattore di detto polinomio.

Quindi x viene sostituito da (-2) nel polinomio originale, è semplificato ed è uguale a zero:

P⋅ (-2)³ - (-2) + 2p = 8p + 2 + 2p = 10p + 2 = 0

Ora il valore di P viene cancellato in modo che l'uguaglianza sia adempiuta a zero:

P = -2 / 10 = -⅕ 

Ciò significa che polinomio: 

-⅕⋅x³ - X - ⅖

È divisibile per (x + 2) o ciò che è equivalente: (x + 2) è uno dei suoi fattori.

Riferimenti

1. Baldor Aurelio. Algebra. Gruppo editoriale di Patria.
2. DeMana, w. Precáculculo: grafico, numerico, algebrico 7 ° ed. Pearson Education.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Stewart, J. 2006. Prececculment: matematica per il calcolo. 5 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.
5. Zill, d. 1984. Algebra e trigonometria. McGraw Hill.