Teorema di Chebyshov che è, applicazioni ed esempi

Lui Teorema di Chebyshov (o disuguaglianza di Chebyshov) è uno dei risultati classici più importanti della teoria della probabilità. Consente di stimare la probabilità di un evento descritto in termini di una variabile casuale X, fornendo a noi un livello che non dipende dalla distribuzione della variabile casuale ma dalla varianza di x.

Il teorema è chiamato in onore del matematico russo.

Questa disuguaglianza, o quelle che per le loro caratteristiche sono chiamate la disuguaglianza di Chebyshov, è utilizzata principalmente per approssimare le probabilità mediante calcoli di livelli.

Qual è il teorema di Chebyshov?

Nello studio della teoria della probabilità, accade che se la funzione di distribuzione di una variabile casuale X è nota, il suo valore atteso può essere calcolato - o speranza matematica e (x) - e la sua varianza var (x), purché queste esistono importi. Tuttavia, il reciproco non è necessariamente vero.

Cioè, conoscere E (x) e var (x) non possono necessariamente ottenere la funzione di distribuzione di x, quindi quantità come p (| x |> k) per alcuni k> 0, sono molto difficili da ottenere. Ma grazie alla disuguaglianza di Chebyshov è possibile stimare la probabilità della variabile casuale.

Il teorema di Chebyshov ci dice che se abbiamo una variabile casuale X su uno spazio di campionamento con una funzione di probabilità P, e se k> 0, allora:

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Applicazioni ed esempi

Tra le molte applicazioni che possiede il teorema di Chebyshov, può essere menzionato quanto segue:

1. Limite di probabilità

Questa è l'applicazione più comune e viene utilizzata per fornire un livello superiore per p (| x-e (x) | ≥k) dove k> 0, solo con la varianza e la speranza della variabile casuale X, senza conoscere la funzione di probabilità.

Esempio 1

Supponiamo che il numero di prodotti realizzati in un'azienda per una settimana sia una variabile casuale con una media di 50.

Se è noto che la varianza di una settimana di produzione è pari a 25, allora cosa possiamo dire sulla probabilità che questa settimana la produzione differisca di oltre 10 a media?

Soluzione

Applicando la disuguaglianza di Chebyshov dobbiamo:

Da questo possiamo ottenere che la probabilità che nella settimana di produzione il numero di articoli sugli oltre 10 alla media sia al massimo 1/4.

2. Dimostrazione di teoremi del limite

La disuguaglianza di Chebyshov svolge un ruolo importante nel dimostrare i limiti più importanti teoremi. Ad esempio, abbiamo quanto segue:

Legge debole di grandi numeri

Questa legge stabilisce che data una successione x1, x2, ..., xn, ... di variabili casuali indipendenti con la stessa distribuzione media E (xi) = μ e varianza var (x) = σ², e un campione medio noto di:

Quindi per k> 0 devi:

O equivalente:

Dimostrazione

Per prima cosa notiamo quanto segue:

Come x1, x2, ..., xn sono indipendenti, ne consegue:

Pertanto, è possibile affermare quanto segue:

Quindi, usando il teorema di Chebyshov, devi:

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Infine, il teorema deriva dal fatto che il limite giusto è zero quando n tende a infinito.

Va notato che questo test è stato fatto solo per il caso in cui esiste la varianza di XI; cioè, non diverge. Quindi osserviamo che il teorema è sempre vero se esiste E (xi).

Il teorema del limite di Chebyshov

Se x1, x2, ..., xn, ... è una successione di variabili casuali indipendenti in modo tale che ci sia qualche c0:

Dimostrazione

Poiché la successione delle varianze è uniformemente limitata, abbiamo quel var (sn) ≤ c/n, per tutto naturale n. Ma lo sappiamo:

Fare da N all'infinito, è il seguente:

Poiché una probabilità non può superare il valore di 1, si ottiene il risultato desiderato. Come conseguenza di questo teorema potremmo menzionare il caso particolare di Bernoulli.

Se un esperimento viene ripetuto in modo indipendente con due possibili risultati (fallimento e successo), in cui p è la probabilità di successo in ciascun esperimento e x è la variabile casuale che rappresenta il numero di successi ottenuti, quindi per ogni k> 0 è necessario:

3. Misura di prova

In termini di varianza, la disuguaglianza di Chebyshov ci consente di trovare una dimensione del campione sufficiente per garantire che la probabilità che si verifichi | sn-μ |> = k sia piccola come desiderato, che consente di avere un approccio al media.

Precisamente, sia esso x1, x2, ... xn un campione di variabili casuali indipendenti di dimensioni n e supponiamo che E (xi) = μ e la sua varianza σ². Quindi, a causa della disuguaglianza di Chebyshov, devi:

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Ora essere Δ> 0 fisso. Dobbiamo:

Esempio

Supponiamo che x1, x2, ... xn siano un campione di variabili casuali indipendenti con distribuzione di Bernoulli, in modo che prendano il valore 1 con probabilità p = 0.5.

Quale dovrebbe essere la dimensione del campione per garantire che la probabilità che la differenza tra la media aritmetica SN e il suo valore atteso (che supera più di 0,1), sia inferiore o uguale a 0.,01?

Soluzione

Dobbiamo (x) = μ = p = 0,5 e cosa var (x) = σ²= P (1-P) = 0,25. Per la disuguaglianza di Chebyshov, per qualsiasi k> 0 dobbiamo:

Ora, prendendo k = 0,1 e Δ = 0,01, devi:

In questo modo si è concluso che è necessaria una dimensione del campione di almeno 2500 per garantire che la probabilità dell'evento | Sn - 0,5 |> = 0,1 sia inferiore a 0,01.

Disuguaglianze di tipo Chebyshov

Esistono varie disuguaglianze legate alla disuguaglianza di Chebyshov. Uno dei più noti è la disuguaglianza di Markov:

In questa espressione x è una variabile casuale non negativa con k, r> 0.

La disuguaglianza di Markov può assumere forme diverse. Ad esempio, e una variabile casuale non negativa (SO p (y> = 0) = 1) e supponiamo che E (y) = μ esista. Supponiamo anche che (e (y))^R= μ_R C'è per un po 'di intero r> 1. COSÌ:

Un'altra disuguaglianza è quella di Gauss, che ci dice che ha dato una variabile casuale X unimodale con la moda a zero, quindi per K> 0,