Teoria delle caratteristiche degli insiemi, elementi, esempi, esercizi

IL insiemistica È un ramo della logica matematica che è responsabile dello studio delle relazioni tra entità chiamate set. I set sono caratterizzati dall'essere collezioni di oggetti della stessa natura. Questi oggetti sono gli elementi dell'insieme e possono essere: numeri, lettere, figure geometriche, parole che rappresentano oggetti, oggetti stessi e altri.

Fu Georg Cantor, verso la fine del XIX secolo, a propose il set di set. Mentre altri notevoli matematici nel ventesimo secolo hanno fatto la loro formalizzazione: Gottlob Frege, Ernst Zermelo, Bertrand Russell, Adolf Fraenkel, tra gli altri.

Figura 1. Diagramma di Venn di set A, B e il loro incrocio a⋂ B. (Elaborazione proprie).

I diagrammi di Venn sono il modo grafico di rappresentare un set ed è costituito da una figura piatta chiusa all'interno della quale sono gli elementi del set.

Ad esempio, la Figura 1 mostra due set A e B, che hanno elementi in comune, gli elementi comuni a A e B. Questi formano un nuovo set chiamato set di intersezione di A e B, che è scritto simbolicamente come segue:

A ∩ B

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Caratteristiche

Il set è un concetto primitivo in quanto è in geometria il concetto di punto, dritto o piatto. Non esiste un modo migliore per esprimere il concetto che sottolineare esempi: 

Il set e formato dai colori della bandiera della Spagna. Questo modo di esprimere l'insieme viene chiamato dalla comprensione. Lo stesso set e scritto per estensione è:

E = rosso, giallo

In questo caso, il rosso e il giallo sono elementi del set e. Va notato che gli elementi sono elencati tra le chiavi e non si ripetono. Nel caso della bandiera spagnola ci sono tre strisce di colori (rosso, giallo, rosso) due dei quali si ripetono, ma gli elementi non vengono ripetuti quando il set viene espresso.

Supponiamo che il set v formato dalle prime tre lettere vocali:

V = a, e, i

Il potere di V, che è indicato da p (v) è l'insieme di tutti i set che possono essere formati con gli elementi di V:

P (v) = a, e, i, a, e, a, i, e, i, a, e, i

Tipi di set

Set finito

È un set in cui i suoi elementi sono numerabili. Esempi di set finiti sono le lettere dell'alfabeto spagnolo, le vocali di spagnolo, i pianeti del sistema solare tra gli altri. Il numero di elementi di un set finito è chiamato la sua cardinalità.

Set infinito

Infinito ensemble, tutti coloro che il numero dei suoi elementi non è incapace, poiché indipendentemente da quanto sia sempre possibile il numero dei suoi elementi.

Un esempio di set infinito è l'insieme di numeri naturali N, che è ampiamente espresso come segue:

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N = 1, 2, 3, 4, 5, .. . è chiaramente un set infinito, poiché non importa quanto sia grande un numero naturale, il seguente maggiore può sempre trovare in un processo infinito. Chiaramente la cardinalità di un set infinito è ∞.

Set vuoto

È il set che non contiene alcun elemento. Il set vuoto V è indicato da Ø o per mezzo di una coppia di chiavi senza elementi all'interno:

V = = Ø.

Il set vuoto è unico, quindi deve essere errato dire "un set vuoto", la forma corretta è dire "l'insieme vuoto".

Tra le proprietà del set vuoto, è che è sottoinsieme di qualsiasi set:

Ø ⊂ a

Inoltre, se un set è sottoinsieme del set vuoto, questo set sarà necessariamente il vuoto:

A ⊂ Ø ⇔ a = Ø

Set unitario

È chiamato set unitario qualsiasi set che contiene un singolo elemento. Ad esempio, l'insieme di satelliti naturali della terra è un set di unità, il cui unico elemento è la luna. Set b di numeri interi inferiori a 2 e maggiore di zero ha solo l'elemento 1 Pertanto è un set di unità.

Set binario

Un set è binario se ha solo due elementi. Ad esempio, set x, tale che x sia un numero reale di x^2 = 2 = 2. Questo set per estensione è scritto in questo modo:

X = -√2, +√2

Set universale

Il set universale è un set che contiene altri set dello stesso tipo o natura. Ad esempio, l'insieme universale di numeri naturali è l'insieme di numeri reali. Ma i numeri reali sono anche universali di numeri interi e numeri razionali.

Articoli core

- Relazioni tra insiemi

Nei set puoi stabilire diversi tipi di relazioni tra loro e i loro elementi. Se due set A e B hanno esattamente gli stessi elementi, tra questi, una relazione uguale è indicata come segue:

A = B

Se tutti gli elementi di un set appartengono a un set B, ma non tutti gli elementi di B appartengono a A, allora tra questi set c'è una relazione di inclusione che è indicata come segue:

A ⊂ b, ma b ⊄ a

L'espressione precedente recita: A è sottoinsieme di B, ma B non è sottoinsieme di A.

Per indicare che alcuni o alcuni elementi appartengono a un set viene usato il simbolo dell'appartenenza ∈, ad esempio per dire che X o elementi appartengono al set A è scritto simbolicamente come segue:

x ∈ A

Sì, un elemento e non appartiene al set di questa relazione è scritto in questo modo:

e ∉ a

La relazione di appartenenza è data tra gli elementi di un set e l'insieme, con l'unica eccezione del set di alimentazione, il set è la raccolta o l'insieme di tutti i set possibili che possono essere formati con gli elementi di detto set.

Può servirti: fattorizzazione

Assumi v = a, e, i, il tuo potere è p (v) = a, e, i, a, e, a, i, e, i, a, e, i, in quel caso il set v diventa un elemento del set p (v) e può essere scritto:

V ∈ P (V)

- Proprietà di inclusione

La prima proprietà dell'inclusione stabilisce che ogni set è contenuto in sé o in altre parole, che è sottoinsieme di se stesso:

A ⊂ a

L'altra proprietà dell'inclusione è la transitività: se A è sottoinsieme di B e B a sua volta, è sottoinsieme di C, allora A è sottoinsieme di C. Simbolicamente la relazione di transitività è scritta in questo modo:

(A ⊂ b) ^ (b ⊂ c) => a ⊂ c

Di seguito è riportato il diagramma di Venn corrispondente alla transitività dell'inclusione:

figura 2. (A ⊂ b) ^ (b ⊂ c) => a ⊂ c

- Operazioni tra set

Intersezione

L'intersezione è un'operazione tra due set che si traduce in un nuovo set appartenente allo stesso set universale dei primi due. In questo senso, è un'operazione chiusa.

Simbolicamente, l'operazione di intersezione è formulata come segue:

A⋂b = x / x∈A ^ x∈B

Un esempio è il seguente: Imposta A delle lettere di nella parola "elementi" e imposta b delle lettere della parola "ripetuto", l'intersezione tra A e B è scritta in questo modo:

A⋂b = e, l, m, n, t, s ⋂ r, e, p, t, i, d, o, s = e, t, s . L'insieme universale di A, da B e anche di A⋂b è l'insieme delle lettere dell'alfabeto spagnolo.

Unione

L'unione di due set è l'insieme formato dagli elementi comuni ai due set e agli elementi non comuni dei due set. L'operazione sindacale tra i set è espressa simbolicamente come segue:

A∪b = x/x∈A v x∈B

Differenza

Il funzionamento del set almeno il set è indicato da A-B. A-B è un nuovo set formato da tutti gli elementi che sono in A e che non appartengono a B. Il simbolo è scritto in questo modo:

A - b = x/ x ∈ A ^ x ∉ b

Figura 3. A - b = x/ x ∈ A ^ x ∉ b

Differenza simmetrica

La differenza simmetrica è un'operazione tra due set in cui il set risultante è costituito dagli elementi non comuni ai due set. La differenza simmetrica simbolicamente è rappresentata come segue:

A⊕b = x/ x∈ (a-b) ^ x∈ (b-a)

Esempi

Esempio 1

Il diagramma di Venn è un modo grafico per rappresentare i set. Ad esempio, il set C delle lettere del set di parole è rappresentato come segue:

Esempio 2

Viene mostrato di seguito tramite i diagrammi di Venn che, l'insieme di vocali nella parola "set", è un sottoinsieme dell'insieme delle lettere della parola "set".

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Esempio 3

Impostato N Dalle lettere dell'alfabeto spagnolo è un set finito, questo set per estensione è scritto in questo modo:

N = A, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, W, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, w, x, y, z ed è La cardinalità è 27.

Esempio 4

Impostato V Dalle vocali in spagnolo è un sottoinsieme del set ñ:

V ⊂ N Pertanto è un set finito.

Il set finito V Il modo esteso è scritto in questo modo: V = a, e, i, o, u e la sua cardinalità è 5.

Esempio 5

Dati i set a = 2, 4, 6, 8 e ​​b = 1, 2, 4, 7, 9 Determina A-B e B-A. 

A - b sono gli elementi di cui non sono in b:

A - b = 6, 8

B - A sono gli elementi di B che non sono in A:

B - A = 1, 7, 9

Esercizi risolti

Esercizio 1

Scrivi in ​​modo simpatico e anche per estensione il petalo P di numero naturale anche inferiore a 10.

Soluzione: P = x∈ N / x < 10 ^ x mod 2 = 0

P = 2, 4, 6, 8

Esercizio 2

Assumi il tutto a quello formato da numeri naturali che sono fattori di 210 e il set b che si forma dai cugini di numero naturale inferiori a 9. Determinare entrambi i set per estensione e stabilire quale relazione c'è tra i due set.

Soluzione: Per determinare gli elementi del set A devi iniziare trovando i fattori del numero naturale 210:

210 = 2 * 3 * 5 * 7

Quindi impostare a è scritto:

A = 2, 3, 5, 7

Continuiamo a prendere in considerazione il set b, che è i cugini più piccoli di 9. L'1 non è cugino perché non soddisfa la definizione di cugino: "Un numero è cugino se e solo se ha esattamente due divisori il 1 e il numero stesso". Il 2 è uniforme e allo stesso tempo è cugino perché incontra la definizione di cugino, gli altri cugini più piccoli di 9 sono 3, 5 e 7. Quindi quel set B è:

B = 2, 3, 5, 7

Pertanto i due set sono gli stessi: a = B.

Esercizio 3

Determina il set i cui elementi x sono diversi da x.

Soluzione: C = x / x ≠ x

Come qualsiasi elemento, numero o oggetto è uguale a se stesso, il set C non può essere diverso dal set vuoto:

C = Ø

Esercizio 4

Essere l'insieme di n di numeri naturali e z l'insieme di numeri interi. Determina n ⋂ z y n ∪ z.

Soluzione: 

N ⋂ z = x ∈ Z / x ≤ 0 = (-∞, 0]

N ∪ z = z perché n ⊂ z.

Riferimenti

1. Garo, m. (2014). Matematica: equazioni quadratiche: come risolvere un'equazione quadratica. Marilù garo.
2. Haeussler, e. F., & Paul, R. S. (2003). Matematica per l'amministrazione ed economia. Pearson Education.
3. Jiménez, J., Rodríguez, m., Estrada, r. (2005). Matematica 1 settembre. Soglia.
4. Precious, c. T. (2005). Corso di matematica 3O. PROGRESO EDITORIALE.
5. Mathematics 10 (2018). "Esempi di set finiti". Estratto da: Mathematics10.netto
6. Wikipedia. Insiemistica. Recuperato da: è.Wikipedia.com