Estate telescopica come viene risolto e risolto

IL somma Telescopico È una filiale di operazioni con serie numeriche. Affronta i riassunti degli elementi da un valore iniziale a "n" di espressioni il cui argomento è dovuto a uno dei seguenti schemi:

(F_X - F_x+1); F_x+1  - F_X)

Dove la sua espressione sommaria è definita come segue:

Anche:

Fonte: Pixabay.com

Rappresentano una somma di elementi che, durante lo sviluppo, è soggetta a cancellazioni di termini opposti. Causando la seguente uguaglianza per le somma telescopiche:

Il suo nome deriva dalla relazione con l'aspetto di un telescopio classico, che potrebbe essere piegato e distribuito, cambiando in modo significativo la sua dimensione. Allo stesso modo, le somme telescopiche, che nella loro natura sono infinite, possono essere riassunte nell'espressione semplificata:

F₁ - F_N+1

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Dimostrazione

Quando si sviluppano la somma dei termini, l'eliminazione dei fattori è abbastanza ovvia. Dove per ciascuno dei casi, appariranno elementi opposti nella seguente iterazione.

Il primo caso sarà preso come esempio (f_X - F_x+1), poiché il processo agisce omologa a (f_x+1-F_X).

Sviluppare i primi 3 valori 1, 2, 3 si osserva la tendenza alla semplificazione

X₁     (F₁ - F₁₊₁) = F₁ - F₂

X₂     (F₂ - F₂₊₁) = F₂ - F₃

X₃     (F₃ - F₃₊₁) = F₃ - F₄

Dove esprimendo la somma degli elementi descritti:

X₁ + X₂ + X₃ = F₁ - F₂ + F₂ - F₃ + F₃ - F₄

Si osserva che i termini f₂ e f₃ Sono descritti con i loro opposti, il che rende inevitabile la loro semplificazione. Allo stesso modo si osserva che i termini f₁ e f₄ rimanere.

Se la somma è stata effettuata da x = 1 a x = 3, significa che l'elemento f₄ corrisponde al termine generico f_N+1.

Dimostrando così l'uguaglianza:

Come viene risolto?

Lo scopo delle somme telescopiche è di facilitare il lavoro, in modo che non sia necessario sviluppare una quantità infinita di termini o semplificare una catena troppo lunga.

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Per la risoluzione sarà necessario solo valutare i termini f₁ e f_N+1. Queste semplici sostituzioni costituiscono il risultato finale della somma.

La totalità dei termini non sarà espressa, diventando necessaria per la dimostrazione del risultato, ma non per il normale processo di calcolo.

L'importante è notare la convergenza della serie numerica. A volte l'argomento della somma non sarà espresso in modo telescopico. In questi casi, l'implementazione di metodi di fattorizzazione alternativi è molto comune.

Il metodo di fattorizzazione caratteristico nei riassunti telescopici è quello delle frazioni semplici. Ciò si verifica quando una frazione originale si decompone in una somma di diverse frazioni, in cui si può osservare il modello telescopico (F (F_X - F_x+1) o (f_x+1  - F_X).

Decomposizione in frazioni semplici

Per verificare la convergenza delle serie numeriche, è molto comune trasformare le espressioni razionali con il metodo delle frazioni semplici. L'obiettivo è modellare l'argomento fino alla forma di una somma telescopica.

Ad esempio, la seguente uguaglianza rappresenta una decomposizione in frazioni semplici:

Quando si sviluppano le serie numeriche e si applicano le proprietà corrispondenti che l'espressione prende come segue:

Dove si può vedere la forma telescopica (f_X - F_x+1).

La procedura è abbastanza intuitiva e consiste nel trovare i valori del numeratore che, senza rompere l'uguaglianza, consentono di separare i prodotti che si trovano nel denominatore. Le equazioni che sorgono nella determinazione di questi valori, sono aumentate in base ai confronti tra i due lati dell'uguaglianza.

Questa procedura è osservata passo dopo passo nello sviluppo dell'esercizio 2.

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Storia

È abbastanza incerto essere in grado di definire il momento storico in cui sono state presentate le somma telescopiche. Tuttavia, la sua implementazione inizia a essere vista nel diciassettesimo secolo, in studi di serie numeriche condotte da Leibniz e Huygens.

Entrambi i matematici, quando esplorano le sommazioni dei numeri triangolari, iniziano a notare le tendenze nella convergenza di alcune serie di elementi successivi. Ma ancora più interessante è l'inizio della modellazione di queste espressioni, in elementi che non si verificano necessariamente.

In effetti, l'espressione precedentemente usata per fare riferimento a semplici frazioni:

Fu presentato da Huygens e immediatamente chiamato l'attenzione di Leibniz. Chi nel tempo potrebbe osservare la convergenza al valore 2. Senza saperlo, ha implementato la somma telescopica.

Esercizi

Esercizio 1

Definire quale termine la seguente somma converge:

Quando la somma viene sviluppata manualmente, si osserva il seguente modello:

(2³ - 2⁴) + (2⁴ - 2⁵) + (2⁵ - 2⁶)… (2¹⁰ - 2^undici)

Dove i fattori di 2⁴ fino a 2¹⁰ Presentano parti positive e negative, rendendo evidente la loro cancellazione. Quindi gli unici fattori che non saranno semplificati saranno i primi "2³"E l'ultimo" 2^undici".

In questo modo, nell'implementazione dei criteri di sintesi telescopici, si ottiene:

Esercizio 2

Trasforma l'argomento in una somma di tipo telescopico e definisce la convergenza della serie:

Come indicato nell'affermazione, la prima cosa sarà quella di decomporsi in semplici frazioni, al fine di ripensare l'argomento ed esprimerlo in una forma telescopica.

2 frazioni i cui denominatori sono rispettivamente "n" e "n+1", dove il metodo utilizzato di seguito deve raggiungere i valori del numeratore che soddisfano l'uguaglianza.

I valori di A e B sono definiti. Viene fatta la prima somma delle frazioni.

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Quindi, i denominatori sono semplificati e viene stabilita un'equazione lineare.

Nel passaggio successivo viene azionata l'espressione di destra, fino a quando un modello paragonabile a "3" a sinistra.

Per definire le equazioni da utilizzare, i risultati di entrambi i lati dell'uguaglianza devono essere confrontati. Cioè, non sono osservati valori N variabili sul lato sinistro, in questo modo A +B dovrà essere uguale a zero.

A + b = 0; A = -b

D'altra parte, il valore costante dovrà essere uguale al valore costante 3.

A = 3

Perciò.

A = 3 e b = -3

Già definito i valori del numeratore per frazioni semplici, la somma sta ripensando.

Dove è già stata raggiunta la forma generica di somma telescopica. La serie telescopica è sviluppata.

Dove dividendo per un numero molto grande il risultato si avvicinerà sempre di più, osservando la convergenza della serie al valore 3.

Questo tipo di serie non può essere risolto in altre parole, a causa della quantità infinita di iterazioni che definiscono il problema. Tuttavia, questo metodo, insieme a molti altri incorniciano il ramo dello studio della serie numerica, il cui obiettivo è determinare i valori di convergenza o definire la divergenza di queste serie.

Riferimenti

1. Lezioni di calcolo infinitesimale. Manuel Franco, Manuel Franco Nicolás, Francisco Martínez González, Roque Molina Legaz. Editum, 1994.
2. Calcolo completo: successioni e serie di funzioni. Antonio Rivera Figueroa. Gruppo editoriale di Patria, 21 ottobre. 2014.
3. Un corso in calcolo e analisi reale. Sudhir r. Ghorpade, Balmohan V. Limaye. Springer Science & Business Media, 5 giugno. 2006.
4. Serie infinite. Tomlinson Fort. The Clarendon Press, 1930.
5. Elementi della teoria delle processioni infinite. Lloyd Leroy Smail. McGraw-Hill Book Company, Incorpan, 1923.