Somma dei vettori Metodo grafico, esempi, esercizi risolti

IL somma dei vettori È l'operazione di addizione tra i vettori che si traduce in un altro vettore. I vettori sono caratterizzati dall'avere grandezza, e anche direzione e significato. Pertanto non è possibile, in generale, aggiungerli come verrebbe fatto con quantità scalari, cioè aggiungendo numeri.

Il vettore ottenuto dalla somma di diversi vettori è chiamato vettore risultante. In meccanici parliamo di forza risultante, che è la somma vettoriale di tutte le forze su un corpo. Questo risultato è equivalente al set o al sistema di forze.

Per specificare completamente il vettore di somma, è necessario indicare la grandezza e l'unità, la direzione e il significato.

È importante evidenziare che aggiungendo vettori, questi devono rappresentare la stessa grandezza fisica, quindi la somma vettoriale è un'operazione omogenea. Ciò significa che possiamo aggiungere una forza con un'altra, ma non una forza con uno spostamento, poiché il risultato è insignificante.

Sono disponibili diversi metodi per trovare il vettore risultante: grafica e analisi. Per trovare somme vettoriali con metodi grafici, si basa su una semplice rappresentazione per un vettore, vale a dire un segmento orientato o freccia come questa:

Rappresentazione grafica di un vettore sul piano. Fonte: f. Zapata.

I vettori sono indicati da lettere nere nel testo stampato, o con una freccia sulla lettera, per distinguerli dalle rispettive magnitudini o dalle quantità scalari. Ad esempio, l'entità del vettore v È semplicemente v.

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Metodo grafico per aggiungere vettori

Per aggiungere più di due vettori di distico, il Metodo poligono O poligono, che consiste nel trasferirsi a ciascuno dei vettori indirizzati. Una caratteristica dei vettori è che sono invarianti per quanto riguarda la traduzione, quindi useremo questa proprietà per stabilire la somma.

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Inizia con uno qualsiasi dei vettori, poiché l'aggiunta vettoriale è commutativa e l'ordine delle aggiunte non altera la somma. Il secondo vettore si sposta di seguito, abbinando la sua origine con la fine del primo.

Quindi viene portato al vettore successivo e quindi mettere la stessa procedura, che è per abbinare l'origine con la fine di quella precedente. Procediamo in questo modo per posizionare l'ultimo vettore.

Il vettore risultante è quello che si unisce all'origine del primo con la fine libera dell'ultimo. Il nome di questo metodo deriva dalla figura che risulta: un poligono.

Esempio

Somma Esempio di due vettori nel piano con il metodo grafico. Fonte: Wikimedia Commons

Prendiamo come esempio la somma di due vettori O E v Questo è mostrato nella figura superiore.

A partire dal vettore O, Si è trasferito nel vettore v Per abbinare la sua origine alla fine del primo. Il vettore risultante W È disegnato dall'origine di O alla fine di v, Formazione di una figura a tre lato: un triangolo. Ecco perché in questo caso speciale, la procedura si chiama Metodo del triangolo.

Nota un dettaglio importante, l'entità o il modulo del vettore risultante non è la somma dei moduli dei vettori aggiuntivi. In effetti, è quasi sempre meno, a meno che i vettori non siano paralleli.

Vediamo di seguito cosa succede in questo caso.

Caso speciale: somma di vettori paralleli

Il metodo descritto può anche essere applicato al caso speciale in cui i vettori sono paralleli. Considera il seguente esempio:

Può servirti: Boltzmann costante: storia, equazioni, calcoli, eserciziSomma di vettori paralleli. Fonte: f. Zapata.

Il vettore viene lasciato v Nella sua posizione originale e si sposta nel vettore O in modo tale che la sua origine sia d'accordo con la fine di  v. Ora un vettore è tratto dall'origine di v E la fine di O.

Questo è il vettore risultante W e la sua dimensione è la somma delle dimensioni degli annunci. La direzione e la direzione dei tre vettori sono uguali.

Il vettore risultante ha un modulo massimo se gli adurs formano un angolo di 0º, come quelli dell'esempio. Se i vettori formano un angolo di 180º tra loro, il vettore risultante ha un modulo minimo.

Esempi di somma di vettori

- Spostamenti

Un ciclista viaggia per primi 3 km in direzione nord e poi 4 km a ovest. Il tuo spostamento, che chiamiamo R, Si trova facilmente con il metodo triangolo più un sistema di riferimento, in cui i punti cardinali sono contrassegnati:

Derivante da due spostamenti. Fonte: f. Zapata.

Passaggi per aggiungere vettore

-Il punto di partenza coincide con l'origine del sistema di riferimento.

-Sugli assi delle coordinate viene scelta una scala, che in questo caso è 1 cm = 1 km

-Il primo spostamento è disegnato su scala D_1.

-Poi un D₁ Viene disegnato il secondo spostamento D₂, Anche su scala.

-Lo spostamento risultante R È un vettore che va dall'origine alla fine di D₂.

-La dimensione di R È misurato con una regola graduata, è facile verificare che r = 5.

-Finalmente l'angolo che R La forma con l'orizzontale viene misurata con l'aiuto di un trasportatore e risulta essere θ = 37 ⁰

- Velocità risultante

Un nuotatore vuole attraversare un fiume e per questo nulla a una velocità di 6 km/h, perpendicolare alla riva, ma una corrente che trasporta velocità di 4 km/h lo discosta.

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Per conoscere la sua velocità risultante, vengono aggiunti i vettori della velocità del nuotatore, che è stato disegnato verticale e corrente, che è orizzontale.

Seguendo il metodo grafico si ottiene la velocità risultante v_R:

Velocità risultante. Fonte: f. Zapata.

La deviazione sperimentata dal nuotatore può essere calcolata da:

θ = arctg (4/6) = 33.7 ° a destra del tuo indirizzo iniziale

L'entità della sua velocità è aumentata perché la velocità del fiume aggiunge vectory. Puoi trovare una scala attentamente, come nell'esempio precedente.

O con l'aiuto delle ragioni trigonometriche di 33.7 °:

Sen 33.7 ° = 4/v_R

v_R = 4/ sin 33.7 ° = 7.21 km/h

Esercizio risolto

Su una particella le seguenti forze, le cui magnitudini sono elencate di seguito:

F₁= 2.5 n; F₂= 3 n; F₃= 4 N; F₄= 2.5 n

Trova la forza risultante.

Sistema delle forze Coplanar. Fonte: f. Zapata.

Soluzione

Possiamo aggiungere graficamente a partire da uno qualsiasi dei vettori, poiché la somma vettoriale è commutativa.

In Figura A è iniziata con F₁. Stabilire una scala e con l'aiuto della regola e della squadra gli altri vettori vengono trasferiti per metterli uno dopo l'altro.

Il vettore F_R è diretto dall'origine di F₁ alla fine di F₄. La sua grandezza è 5.2 n e forma un angolo di 26.5 ° rispetto all'orizzontale.

Somma grafica vettoriale. Fonte: f. Zapata.

Nella Figura B lo stesso problema è stato risolto, a partire da F₃ e finire con F₄, Per ottenere lo stesso F_R .

I poligoni sono diversi, ma il risultato è lo stesso. Il lettore può di nuovo testare l'ordine dei vettori.

Riferimenti

1. Bauer, w. 2011. Fisica per ingegneria e scienze. Volume 1. Mc Graw Hill.
2. Bedford, 2000. A. Meccanica per l'ingegneria: statico. Addison Wesley.
3. Figueroa, d. (2005). Serie: Physics for Science and Engineering. Volume 1. Cinematica. A cura di Douglas Figueroa (USB).
4. Giambattista, a. 2010. Fisica. 2 °. Ed. McGraw Hill.
5. Sears, Zemansky. 2016. Fisica universitaria con fisica moderna. 14 °. Ed. Volume 1.