Esempi di metodo parallelogramma, esercizi risolti

Lui Metodo del parallelogramma È un metodo grafico per aggiungere due vettori nel piano. Viene spesso usato per trovare il risultato di due forze applicate a un corpo o due velocità, come nel caso di un nuotatore che intende attraversare perpendicolarmente un fiume ed è deviato dalla corrente.

Per costruire il parallelogramma, le origini dei vettori da aggiungere, disegnate su scala, devono coincidere in un certo punto.

Figura 1. Il metodo del parallelogramma per aggiungere due vettori. Fonte: Wikimedia Commons.

Quindi le linee ausiliarie vengono disegnate parallele a ciascun vettore, che raggiungono l'estremità dell'altro, come mostrato nella figura superiore.

L'aggiunta o il vettore risultante, chiamato anche forza net, è il vettore F_netto, che si ottiene disegnando il vettore che va dall'origine comune di F₁ E F₂, al punto in cui le linee parallele ausiliarie si intersecano. Nel diagramma della figura questi sono rappresentati da linee tratteggiate.

Il metodo riceve il suo nome dalla figura che si forma con i tossicodipendenti e le linee ausiliarie, che è precisamente un parallelogramma. La diagonale principale del parallelogramma è il vettore di somma.

È molto importante sottolineare che l'ordine in cui vengono effettuati i vettori aggiuntivi non alterano la somma, poiché questa operazione tra vettori è commutativa.

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Esempio del metodo parallelogramma passo dopo passo

La seguente immagine mostra i vettori v E O In unità arbitrarie. Il vettore v Misure 3.61 unità e forma un angolo di 56.3 ° con l'orizzontale, mentre O Misure 6.32 unità e angolo di 18.4º per quanto riguarda questa linea di riferimento.

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Troviamo il tuo vettore aggiunge attraverso il metodo del parallelogramma.

figura 2. Tutti i due vettori nel piano, di cui vogliamo trovare il vettore risultante. Fonte: f. Zapata

È necessario scegliere una scala appropriata, come quella mostrata nella figura seguente, in cui il piano è stato diviso per una griglia. La larghezza del quadrato rappresenta un'unità (1).

Poiché i vettori non si alterano quando vengono trasferiti, vengono posti in modo tale che le loro origini coincidano con l'origine del sistema di coordinate (immagine della sinistra).

Figura 3. Somma dei vettori attraverso il metodo del parallelogramma. Fonte: f. Zapata.

Ora seguiamo questi passaggi:

1. Vettore alla fine del vettore v Una linea segmentata parallela al vettore O.
2. Ripeti la procedura ma questa volta con la fine del vettore O.
3. Disegna la diagonale principale che si estende dall'origine comune al punto di intersezione delle linee segmentate.

Il risultato può essere visto nell'immagine giusta, in cui appare il vettore risultante R.

Se vogliamo conoscere l'entità di R, Possiamo misurare la sua lunghezza e confrontarla con la scala che abbiamo. E per quanto riguarda la loro direzione, l'asse orizzontale o l'asse verticale possono essere usati come riferimenti, ad esempio.

Usando l'asse orizzontale o l'asse X, l'angolo che R la forma con questo asse viene misurata con il trasportatore e in questo modo conosciamo l'indirizzo di R.

Inoltre, l'entità e la direzione di R Possono essere calcolati dai teoremi del coseno e del seno, poiché il parallelogramma formato può essere diviso in due triangoli congruenti, i cui lati sono i moduli dei vettori O, v E R. Vedere l'esempio risolto 1.

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Caso speciale: somma dei vettori perpendicolari

Quando i vettori sono perpendicolari l'uno all'altro, la figura che si forma è un rettangolo. Il modulo vettoriale risultante corrisponde alla lunghezza della diagonale, che può essere facilmente calcolata dal teorema di Pitagora.

Figura 4. Somma di due vettori perpendicolari usando il metodo del parallelogramma. Fonte: f. Zapata.

Esercizi risolti

- Esercizio 1

Hai il vettore v, che misura 3.61 unità e forma un angolo di 56.3 ° con l'orizzontale e il vettore O, la cui misura è 6.32 unità e forma un angolo di 18.4 ° (Figura 2). Determina il modulo vettoriale risultante R = O + v e la direzione che forma diceva vettore con l'asse orizzontale.

Soluzione

Il metodo del parallelogramma viene applicato in base ai passaggi sopra descritti, per ottenere il vettore R. Come affermato in precedenza, se i vettori vengono disegnati con cura seguendo la scala e usando regola e trasportatore, magnitudo e direzione di R Vengono misurati direttamente sul disegno.

Figura 5.- Calcolo della grandezza e della direzione del vettore risultante. Fonte: f. Zapata.

Possono anche essere calcolati direttamente, con l'aiuto della trigonometria e le proprietà degli angoli. Quando il triangolo formato non è rettangolo, come in questo caso, il teorema del coseno viene applicato per trovare il lato mancante.

Nel triangolo destro, i lati misurano U, V e R. Per applicare il teorema del coseno, è necessario conoscere l'angolo tra v E O, che possiamo trovare con l'aiuto della griglia, posizionando correttamente gli angoli forniti dalla dichiarazione.

Questo angolo è α ed è composto da:

α = (90-56.3 °) + 90º +18.4 ° = 142.1 °

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Secondo il Teorema di Coseno:

R² = v² + O² - 2u⋅v⋅cos α = 3.61² + 6.32² - 23.61 × 6.32 × cos 142.1st = 88.98

R = 9.43 unità.

Finalmente, l'angolo tra R E l'asse orizzontale è θ = 18.4 º + γ. L'angolo γ può essere trovato dal teorema del seno:

sin α / r = sen γ / u

Perciò:

sin γ = v (sin α / r) = 3.61 x (Sen 142.1st / 9.43)

γ = 13.6 °

θ = 18.4 º + 13.6 º = 32º

- Esercizio 2

Un nuotatore si prepara ad attraversare un fiume che nuota perpendicolarmente alla corrente con una velocità costante di 2.0 m/s. Il nuotatore inizia da A, tuttavia termina in B, un punto a valle, a causa della corrente che lo ha deviato.

Se la velocità della corrente è 0.8 m/s e tutte le velocità dovrebbero trovare la velocità del nuotatore visto da un osservatore in piedi sulla riva.

Soluzione

Figura 6. Somma delle velocità con il metodo del parallelogramma. Fonte: f. Zapata.

Un osservatore in piedi sulla riva vedrebbe come il nuotatore viene deviato in base alla velocità risultante V_R. Per trovare la risposta dobbiamo aggiungere la velocità del nuotatore e la velocità della corrente, che chiamiamo V _fiume:

V _R = V _nuotatore + V _fiume

Nella figura, che non è su scala, i vettori sono stati aggiunti per ottenere V _R. In questo caso, il teorema di Pitagora può essere applicato per ottenere la sua grandezza:

V_R² = 2.0² + 0.8² = 4.64

V_R = 2.15 m/s

L'indirizzo in cui viene facilmente calcolato facilmente il nuotatore di direzione perpendicolare, notando che:

θ = arctg (2/0.8) = 68.2 °

Quindi il nuotatore devia 90º - 68.2 ° = 27.2 ° del tuo indirizzo originale.

Riferimenti

1. Bauer, w. 2011. Fisica per ingegneria e scienze. Volume 1. Mc Graw Hill.
2. Bedford, 2000. A. Meccanica per l'ingegneria: statico. Addison Wesley.
3. Figueroa, d. (2005). Serie: Physics for Science and Engineering. Volume 1. Cinematica. A cura di Douglas Figueroa (USB).
4. Giambattista, a. 2010. Fisica. 2 °. Ed. McGraw Hill.
5. Sears, Zemansky. 2016. Fisica universitaria con fisica moderna. 14 °. Ed. Volume 1.