Serie di esempi di potenza ed esercizi

UN Serie di potenza È costituito da una somma di termini sotto forma di poteri della variabile X, o più in generale, di X-C, Dove C È un numero reale costante. Nella somma della somma una serie di poteri è espressa come segue:

∑a_N (X -c)^N = a_O + A₁ (x - c) + a₂ (X - c)² + A₃ (X - c)³ +… + A_N (X - c)^N

Dove i coefficienti_O, A₁, A₂... sono numeri reali e la serie inizia a n = 0.

Figura 1. Definizione una serie di potere. Fonte: f. Zapata.

Questa serie è focalizzata sul valore C Questo è costante, ma puoi sceglierlo C Essere uguale a 0, nel qual caso i poteri sono semplificati:

∑a_N X^N = a_O + A₁ x + a₂ X² + A₃ X³ +… + A_N X^N

La serie inizia con A_O(X-C)⁰ E A_OX⁰ rispettivamente. Ma lo sappiamo:

(X-C)⁰= x⁰ = 1

Perciò A_O(X-C)⁰ = A_OX⁰ = A_O (Termine indipendente)

La cosa buona dei poteri dei poteri è che con loro puoi esprimere funzioni e questo ha molti vantaggi, specialmente se si desidera lavorare con una funzione complicata.

Quando questo è il caso, invece di utilizzare direttamente la funzione, viene utilizzato il suo sviluppo di potenza, che può essere più facile da derivare, integrare o lavorare numericamente.

Naturalmente tutto è condizionato alla convergenza della serie. Una serie converge quando aggiungendo un determinato importo di termini, si ottiene un valore fisso. E se aggiungiamo più termini, continuiamo a ottenere quel valore.

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Funziona come poteri dei poteri

Come esempio di una funzione espressa come una serie di potere, prendiamo F (x) = e^X.

Questa funzione può essere espressa in termini di una serie di poteri come segue:

E^X  ≈ 1 + x + (x² / 2!) + (X³ / 3!) + (x⁴ / 4!) + (x⁵ / 5!) +..

Dove! = n. (N-1). (N-2). (N-3) ... ed è preso 0! = 1.

Verificheremo con l'aiuto di un calcolatore, che la serie coincide efficacemente con la funzione esplicitamente data. Ad esempio, iniziamo a fare x = 0.

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Lo sappiamo e⁰ = 1. Vediamo cosa fa la serie:

E⁰ ≈ 1 + 0 + (0² / 2!) + (0³ / 3!) + (0⁴ / 4!) + (0⁵ / 5!) +… = 1

E ora proviamo con x = 1. Un calcolatore lo lancia E¹ = 2.71828, E poi confrontiamo con la serie:

E¹ ≈ 1 + 1 + (1² / 2!) + (1³ / 3!) + (1⁴ / 4!) + (1⁵ / 5!) +… = 2 + 0.5000 + 0.1667 + 0.0417 + 0.0083 +… ≈ 2.7167

Con solo 5 termini abbiamo già una coincidenza esatta in E ≈ 2.71. La nostra serie manca solo un po 'di più, ma man mano che vengono aggiunti più termini, con tutta la certezza la serie converge al valore esatto di E. La rappresentazione è esatta quando N → ∞.

Se l'analisi precedente viene ripetuta per n = 2 Si ottengono risultati molto simili.

In questo modo siamo sicuri che la funzione esponenziale f (x) = e^X Può essere rappresentato da questa serie di poteri:

figura 2. In questa animazione è visto come i poteri sono più vicini alla funzione esponenziale man mano che vengono presi più termini. Fonte: Wikimedia Commons.

Poteri geometrici dei poteri

La funzione f (x) = e^X Non è l'unica funzione che ammette una rappresentazione seriale dei poteri. Ad esempio, la funzione  F(x) = 1/1 - x  Assomiglia molto a quello noto Serie geometriche convergenti:

∑a.R^N = A / 1 - r

Basta fare a = 1 e r = x per ottenere una serie adatta a questa funzione, che è centrata su c = 0:

Tuttavia, è noto che questa serie è convergente per │R│<1, por lo tanto la representación es válida únicamente en el intervalo (-1,1), aunque la función sea válida para todo x, excepto x=1.

Quando si desidera definire questa funzione in un altro intervallo, si concentra semplicemente su un valore adeguato e pronto.

Come trovare lo sviluppo della serie di poteri di una funzione

Qualsiasi funzione può essere sviluppata in una serie di poteri focalizzati su C, purché tu abbia derivato da tutti gli ordini a X = C. La procedura utilizza il seguente teorema, chiamato Teorema di Taylor:

Sia f (x) una funzione con i derivati ​​dell'ordine N, indicato come F^(N), che ammette uno sviluppo seriale di poteri nell'intervallo Yo. Il suo sviluppo in Serie Taylor È:

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Affinché:

f (x) = f (c) + f '(c) (x-c) + f "(c) (x-c)² /2 + f "(c) (X-C)³ /6 +... r_N

Dove r_N, che è l'ennesimo della serie, si chiama residuo:

Quando c = 0 la serie si chiama Serie MacLaurin.

Questa serie fornita qui è identica alla serie fornita all'inizio, solo ora c'è un modo per trovare esplicitamente i coefficienti di ogni termine, dati da:

Tuttavia, è necessario garantire che la serie trasmetta la funzione che si desidera rappresentare. Succede che non tutte le serie di Taylor convergano necessariamente in F (x) che era in mente quando si calcola i coefficienti A_N.

Questo accade perché forse quelli derivati ​​dalla funzione, valutati in x = c coincidere con lo stesso valore di quelli derivati ​​da un altro, anche in x = c. In questo caso, i coefficienti sarebbero gli stessi, ma lo sviluppo sarebbe ambiguo non avendo la certezza di quale funzione corrisponde.

Fortunatamente c'è un modo per sapere:

Criteri di convergenza

Per evitare l'ambiguità, se r_N → 0 Quando n → ∞ Per tutto x nell'intervallo I, la serie converge in f (x).

Esercizio

- Esercizio risolto 1

Trova i poteri geometrici per la funzione f (x) = 1/2 - x focalizzato su c = 0.

Soluzione

La funzione data deve essere espressa in un modo che corrisponda il più possibile con 1 / 1- x, la cui serie è nota. Pertanto riscriviamo il numeratore e il denominatore, senza alterare l'espressione originale:

1/2 - x = (1/2) / [1 - (x / 2)]

Poiché ½ è costante, esce dalla somma e questo è scritto in termini di nuova variabile x/2:

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Si noti che x = 2 non appartiene al dominio della funzione e secondo i criteri di convergenza indicati nella sezione Serie geometriche di potenza, Lo sviluppo è valido per │x/2│< 1 o equivalentemente -2 < x < 2.

- Esercizio risolto 2

Trova i primi 5 termini dello sviluppo della serie MacLaurin della funzione f (x) = sen x.

Soluzione

Passo 1

I primi sono i derivati:

-Derivato dall'ordine 0: è la stessa funzione f (x) = sen x

-Primo derivato: (sin x) '= cos x

-Secondo derivato: (sin x) "= (cos x) '= - sin x

-Terzo derivato: (sin x) "= (-sen x) '= - cos x

-Quarto derivato: (sin x) "= (- cos x) '= sin x

Passo 2

Quindi ogni derivato viene valutato su x = c, così come uno sviluppo di maclaurin, c = 0:

sin 0 = 0; cos 0 = 1; - sen 0 = 0; -Cos 0 = -1; sin 0 = 0

Passaggio 3

I coefficienti sono costruiti_N;

A_O = 0/0! = 0; A₁ = 1 /1! = 1; A₂ = 0 /2! = 0; A₃ = -1 / 3!; A₄ = 0/4! = 0

Passaggio 4

Finalmente la serie è assemblata secondo:

sin x ≈ 0.X⁰ + 1. X¹ + 0 .X² - (1/3!) X³ + 0.X⁴... = x - (1/3!)) X³  +..

Il lettore ha bisogno di più termini? Quanti altri, la serie è più vicina alla funzione.

Si noti che esiste un modello nei coefficienti, il seguente termine non nullo è₅ E tutto l'indice dispari è anche diverso da 0, alternando i segni, in modo che:

Sen x ≈ x - (1/3!)) X³  + (1/5!)) X⁵ - (1/7!)) X⁷  +.. .

È lasciato come esercizio per verificare, è possibile utilizzare il rapporto tra quoziente Per la convergenza in serie.

Riferimenti

1. Fondazione CK-12. Serie di potenza: rappresentazione di funzioni e operazioni. Recuperato da: CK12.org.
2. Engler, a. 2019. Calcolo integrale. Università nazionale della costa.
3. Larson, r. 2010. Calcolo di una variabile. 9na. Edizione. McGraw Hill.
4. Testi matematici gratuiti. Serie di potenza. Recuperato da: matematica.LiiBreTexts.org.
5. Wikipedia. Serie di potenza. Recuperato da: è.Wikipedia.org.