Selezioni casuali con o senza sostituzione

IL selezione casuale Consiste nella scelta, in modo casuale, un elemento o un campione, basato su un insieme di dati o oggetti. Con la sostituzione significa restituire l'elemento al set originale e senza sostituzione significa che non restituisce.

Nel primo caso, quando l'elemento selezionato ritorna all'insieme di origine, non viene modificato, lasciando aperto la possibilità che detto elemento viene scelto più di una volta. In questo modo, le estrazioni infinite possono essere eseguite sulla stessa popolazione, anche se è costituita da N elementi, essendo finito.

Ma se la selezione viene effettuata senza sostituzione, l'insieme originale di elementi cambia ogni volta che alcuni elementi vengono estratti da esso per formare il campione. E gli elementi estratti non hanno alcuna possibilità di essere selezionati di nuovo.

Man mano che la popolazione sta diminuendo, il numero di estrazioni che possono essere fatte è finito.

Se la dimensione della popolazione N è piccola, esiste una differenza significativa tra la selezione di elementi casuali con o senza sostituzione. D'altra parte, quando N è molto grande, la differenza è molto più bassa, come si vedrà più avanti.

Selezione con sostituzione

La probabilità che si verifichi un determinato evento X è il rapporto tra il numero di casi favorevoli e i casi totali:

P (x) = casi favorevoli/totali.

Se la popolazione è composta da n elementi diversi: x₁, X₂, X₃..., la probabilità di scegliere l'elemento x₁ è p (x₁) = 1/n.

Poiché è sostituita, la dimensione della popolazione rimane n, quindi, la probabilità di scegliere l'elemento successivo x₂ è p (x₂) = 1/n.

E allo stesso modo, ciascuno degli elementi rimanenti ha la stessa probabilità di essere selezionato:

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P (x_N) = 1/n

Pertanto, essendo gli eventi indipendenti tra loro, la probabilità congiunta di occorrenza è il prodotto delle probabilità di ciascuno di essi:

P (x₁, X₂, X₃... X_N) = (1/N) × (1/N) ×… × (1/N)

Selezione senza sostituzione

Quando si sceglie un determinato elemento senza sostituzione di una popolazione di dimensioni n, la probabilità che tale elemento venga scelto è:

P (x₁) = 1/n

Una volta fatto ciò, n - 1 elementi rimangono nella popolazione, quindi la probabilità di scegliere il prossimo è:

P (x₂) = 1/(n - 1)

Scelto questo elemento, la popolazione ora è costituita da elementi n - 2, in questo caso, la probabilità di scegliere quanto segue è:

P (x₃) = 1/(n - 2)

E così via. La probabilità per l'unico elemento è:

P (x_N) = 1/[n− (n-1)]

Infine, la probabilità congiunta di selezionare elementi x₁, X₂, X₃... Come parte del campione, è il prodotto di ciascuna delle probabilità:

P (x₁, X₂, X₃…) = 1/n × 1/(n-1) × 1/(n-2) ×… × 1/[n− (n-1)] = 1/[n × (n-1) × (n −2) ×… × [n− (n-1)]

Esempi

Nelle statistiche, l'azione di selezione del campione è un esperimento, l'insieme di possibili risultati è lo spazio del campione e i risultati dell'esperimento costituiscono un evento.

Esempio 1

È disponibile una scatola con marmi di colori diversi: 12 rosso, 7 blu e 5 verdi. L'esperimento consiste nell'estrazione di un singolo marmo casuale.

Come in totale ci sono 24 marmi nella scatola, di cui 12 sono rossi, la probabilità di eliminare un marmo rosso, indicato P (R), è:

P (r) = 12/24 = 1/2 = 0.5

Dopo questo, vuoi conoscere la probabilità di estrarre un marmo verde, cioè P (V).

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Questa probabilità dipende dal fatto che il marmo rosso che è stato estratto in primo luogo ritorni o no. Se il marmo rosso viene riposto nella scatola con gli altri, la selezione è con sostituzione o sostituzione, e altrimenti è una selezione senza sostituzione.

In una selezione con sostituzione, lo spazio del campione non cambia, ci sono ancora 24 marmi nella scatola e la probabilità di estrarre un marmo verde è:

P (v) = 5/24 = 0.ventuno

E se il marmo rosso iniziale non viene restituito alla scatola, in questo ci sono 23 marmi e la probabilità di estrarre un verde dovrebbe essere in qualche modo maggiore:

P (v) = 5/23 = 0.22

Esempio 2

In un altro esperimento con la scatola di marmo, si desidera calcolare la probabilità che, quando vengono estratti due marmi, il primo è rosso e il successivo è blu. Puoi procedere in due modi:

a) con sostituzione

Entrambi gli eventi sono indipendenti, cioè il colore del marmo estratto per primo non influenza la probabilità di ottenere un altro marmo di un certo colore.

P (ra) = (12/24) × (7/24) = 84/576 = 0.146

b) nessuna sostituzione

Quando si lascia il primo marmo all'esterno, se questo era rosso, la probabilità di estrarre un blu la seconda volta è un po 'più grande:

P (ra) = (12/24) × (7/23) = 84/552 = 0.152

Esempio 3

Una città ne ha 30.000 abitanti, di cui 15.423 sono donne. Vuoi calcolare la probabilità che, selezionando due abitanti, entrambe sono donne.

a) con sostituzione

Sia P (m) la probabilità che l'abitante selezionato sia una donna, quindi:

P (m) = 15.423/30.000 = 0.51410

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Quindi, la probabilità che la seconda persona scelta sia anche una donna:

P (mm) = p (m) × p (m) = 0.5140² = 0.2643

b) nessuna sostituzione

Se la prima persona scelta non è "restituita", la probabilità di scegliere una donna nel secondo tentativo è:

P (m) = 15.422/29.999 = 0.51408

Non vi è alcuna differenza significativa con il caso precedente. E prodotto 0.51410 × 0.51408 è quasi uguale a 0.2643, il lettore può verificarlo con il calcolatore.

Esercizio risolto

Una scatola ha 5 credenti verdi, 2 credenti blu e 3 credenti rossi, tutti nuovi e identici. Determina la probabilità che, estraendo due credenti dalla scatola, nessuno di loro sia rosso:

a) con sostituzione. Questi eventi sono indipendenti?

b) senza sostituzione, indicando se gli eventi sono indipendenti.

Soluzione a

Ci sono 10 credenti in totale, di cui 3 sono rossi e 7 non lo sono. La probabilità p (r^*) che il primo credo non è rosso è:

P₁(R^*) = 7/10 = 0.7

Il credo viene restituito alla scatola e viene effettuata la seconda estrazione, con lo stesso risultato:

P₂(R^*) = 7/10 = 0.7

Gli eventi sono indipendenti, quindi, la probabilità che in questo esperimento nessuna convinzione sia rossa:

P₁(R^*) × p₂(R^*) = 0.7 × 0.7 = 0.49

Soluzione b

La probabilità di ottenere una convinzione che non è rossa nel primo tentativo è la stessa della sezione A). Ma nella seconda estrazione ci sono già 9 credenti nella casella:

P₂(R^*) = 6/9 = 0.666 ..

E in questo caso, la probabilità di estrarre una credenza che non è rossa è:

P₁(R^*) × p₂(R^*) = 0.7 × 0.666… = 7/15 = 0.47

Gli eventi non sono indipendenti.