Concetto di relazioni di proporzionalità, esempi ed esercizi

IL Relazioni di proporzionalità Questi sono collegamenti tra due o più variabili, in modo tale che quando uno degli importi varia, anche il valore degli altri. Ad esempio, se uno aumenta, altri possono aumentare o diminuire, ma in una quantità uniforme.

Gli antichi matematici greci si sono resi conto che alcune variabili erano collegate in modo molto preciso. Si sono resi conto che se un cerchio è il doppio del diametro di un altro, avrà un cerchio con doppia lunghezza.

Figura 1. La lunghezza di un cerchio è direttamente proporzionale al suo diametro d. Fonte: f. Zapata

E se il diametro triplica, anche il contorno della circonferenza. Ciò significa che un aumento del diametro produce un aumento proporzionale della dimensione della circonferenza.

E così possiamo affermare che la lunghezza della circonferenza L è proporzionale al diametro D, che è espresso come segue:

L ∝ d

Dove il simbolo ∝ viene letto "direttamente proporzionale a". Per modificare il simbolo di proporzionalità per l'uguaglianza e incorporare valori numerici, è necessario determinare il collegamento tra le variabili, chiamato costante di proporzionalità.

Dopo aver effettuato molte misurazioni, gli antichi matematici hanno stabilito che la costante di proporzionalità tra la dimensione L della circonferenza e il diametro D era il numero 3.1416 ... i punti sospensivi indicano una quantità infinita di decimali.

Questo valore non è altro che quello del famoso numero π (pi) e in questo modo scriviamo:

L = π.D

In questo modo, la ragione tra la lunghezza e il diametro di un cerchio è uguale alla ragione tra lunghezza e diametro di un altro. E la cosa migliore è che ora abbiamo un modo per calcolare la lunghezza di qualsiasi circonferenza solo conoscendo il suo diametro.

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Esempi di relazioni di proporzionalità

Nella scienza (e anche nella vita quotidiana) è molto importante trovare relazioni tra le variabili, sapere come i cambiamenti in una di essi influenzano l'altro. Per esempio:

Può servirti: quanti diametri hanno una circonferenza?

-Se per fare una dozzina di biscotti, sono necessarie 3 tazze di farina. Quante tazze sono necessarie per fare 2 dozzine?.

-Sapendo che sul pianeta Mercurio un oggetto pesa 4 volte in meno rispetto alla Terra, quanto sarà un'auto da 1 a Mercurio.5 tonnellate?

-In che modo il cambiamento nella forza applicata nell'accelerazione del corpo su cui si applica?

-Se un veicolo viaggia con un movimento rettilineo uniforme su un'autostrada e sappiamo che viaggia 30 km in 10 minuti, quale sarà la distanza percorsa dopo 20 minuti?

-Quando abbiamo un filo attraverso il quale sta attraversando una corrente elettrica, come varia la tensione tra le sue estremità se aumenta?

-Se il diametro di un cerchio viene raddoppiato, come viene colpita la tua zona?

-In che modo la distanza dall'intensità del campo elettrico prodotto da un carico puntuale?

La risposta è nelle relazioni di proporzionalità, ma non tutte le relazioni sono lo stesso tipo. Quindi li troveremo per tutte le situazioni sollevate qui.

Proporzionalità diretta e proporzionalità inversa

Due variabili xey sono in proporzione diretta se sono correlate da:

y = kx

Dove k è la costante di proporzionalità. Un esempio è la relazione tra la quantità di farina e biscotti. Se trasformiamo queste variabili, una linea retta è ottenuta come quella mostrata nella figura:

figura 2. Fare 2.5 dozzine di biscotti necessitano di 7.5 tazze di farina (punto C). Fonte: f. Zapata.

Sì e sono le tazze di farina e x dozzine di biscotti, la relazione tra loro è:

y = 3x

Per x = 1 dozzina abbiamo bisogno di y = 3 tazze di farina. E per x = 2.Sono necessari 5 dozzine, y = 7.5 tazze di farina.

Può servirti: gli 8 tipi di errori di misurazione (con esempi)

Ma abbiamo anche:

-Accelerazione A che sperimenta un corpo è proporzionale alla forza F che agisce su di lui, essendo la massa del corpo, chiamata M, La costante di proporzionalità:

F = mA

Pertanto, maggiore è la forza applicata, maggiore è l'accelerazione prodotta.

-Nei conduttori ohmici, la tensione a V tra le sue estremità è proporzionale alla corrente applicata e. La costante di proporzionalità è la resistenza del conducente:

V = ri

-Quando un oggetto si muove con un movimento rettilineo uniforme, la distanza D è proporzionale al tempo T, essere velocità v La costante di proporzionalità:

d = v.T

A volte troviamo due quantità tale che un aumento di A produce a diminuire proporzionale nell'altro. Questa unità è chiamata Proporzione inversa.

Ad esempio, nell'equazione precedente, il tempo t richiesto per percorrere una certa distanza D, è inversamente proporzionale alla velocità V del percorso:

T = d/v

E così, maggiore è la velocità V, meno tempo l'auto impiega per percorrere la distanza D. Se ad esempio la velocità viene raddoppiata, il tempo è ridotto della metà.

Quando due variabili xey sono in proporzione inversa, possiamo scrivere:

y = k / x

Essere la costante di proporzionalità. Il grafico di questa unità è:

Figura 3. Grafico 1/x che rappresenta la proporzionalità inversa. Fonte: Wikimedia Commons.

Altri tipi di proporzionalità

In uno degli esempi menzionati in precedenza, ci siamo chiesti cosa succede con l'area del cerchio quando il raggio aumenta. La risposta è che l'area è direttamente proporzionale alla piazza del raggio, la costante di proporzionalità è π:

A = πr²

Nel caso in cui il raggio venga raddoppiato, l'area aumenterà di un fattore 4.

E nel caso del campo elettrico E prodotto da un carico puntuale Q, È noto che l'intensità diminuisce con l'inverso al quadrato della distanza R al carico Q:

E = k_E q/r²

Può servirti: perché l'algebra è importante in determinate situazioni di vita quotidiana?

Ma possiamo anche affermare che l'intensità del campo è direttamente proporzionale all'entità del carico, essendo la costante di proporzionalità k_E, La costante elettrostatica.

Altre proporzionalità che si verificano anche nella scienza sono la proporzionalità esponenziale e la proporzionalità logaritmica. Nel primo caso le variabili xey sono correlate attraverso:

y = k.A^X

Dove a è la base, un numero positivo di 0, che di solito è 10 o il numero E. Ad esempio, la crescita esponenziale dei batteri ha questa forma.

Nel secondo caso la relazione tra le variabili è:

y = k.tronco d'albero_A X

Ancora una volta a è la base del logaritmo, che è spesso 10 (logaritmo decimale) o (logaritmo neperiano).

Esercizi

- Esercizio 1

Sapendo che sul pianeta Mercurio un oggetto pesa 4 volte in meno rispetto alla Terra, quanto sarebbe un'auto da 1 a Mercurio.5 tonnellate?

Soluzione  

Peso del mercurio = (1/4) Peso nella Terra = (1/4) x 1.5 tonnellate = 0.375 tonnellate.

- Esercizio 2

Per una festa alcuni amici decidono di preparare il succo dal concentrato fruttato. Le istruzioni sull'imballaggio affermano che 15 bicchieri di succo sono realizzati da un bicchiere di concentrato. Quanto concentrato è necessario per realizzare 110 bicchieri di succo?

Soluzione

Lascia che e la quantità di succo e x navi la quantità di vasi di concentrato. Sono correlati attraverso:

y = kx

Quando si sostituiscono i valori y = 15 e x = 1, la costante k viene cancellata:

K = y/x = 15/1 = 15

Perciò:

110 = 15 x

x = 110/15 = 7.33 bicchieri di concentrato di frutta.

Riferimenti

1. Baldor, a. 1974. Algebra. Culturale venezuelano s.A.
2. Giancoli, d.  2006. Fisica: principi con applicazioni. 6 °. Ed Prentice Hall.
3. Tutor varsity. Relazioni di proporzionalità. Estratto da: WarsityTorm.com
4. Wikipedia. Proporzionalità. Recuperato da: è.Wikipedia.org.
5. Zill, d. 1984. Algebra e trigonometria. McGraw Hill.