Area di un pentagono regolare e irregolare come viene preso, esercizi

Per calcolare il area di un Pentagono Per prima cosa dobbiamo determinare se questo è regolare o no lo è. Un Pentagono è un poligono, una figura piatta chiusa di cinque lati. Quando un poligono è regolare, significa che la lunghezza dei suoi lati è la stessa e anche i suoi angoli interni.

In tal caso, esiste una formula per calcolare l'esatta area del poligono normale, conoscendo alcune delle sue caratteristiche principali, che dedurremo in seguito.

Due pentagoni

Se il poligono non è regolare, cioè ha lati di dimensioni diverse e angoli interni ineguali, non esiste una singola formula.

Tuttavia, i matematici hanno trovato strategie di calcolo, come dividere la figura in altri con il numero più basso di lati, come triangoli, quadrati e rettangoli, le cui dimensioni sono conosciute o facilmente calcolate.

Un'altra procedura per calcolare le aree dei poligoni in generale, conoscendo le coordinate dei suoi vertici, è il metodo chiamato Gauss Determinanti, che descriveremo più tardi.

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Come calcolare l'area di un normale Pentagono?

Prenderemo un normale Pentagono dal lato A e lo divideremo in 5 triangoli uguali come mostrato nella figura, disegnando segmenti dal centro (rosso) ai vertici (blu).

Gli elementi necessari per trovare la normale area del Pentagono. Fonte: f. Zapata.

A loro volta, i triangoli, come il giallo eccezionale a destra nella figura superiore, sono divisi in due rettangoli uguali, grazie al segmento verde, chiamato apotema.

Apotheme è definito come il segmento perpendicolare che si collega al centro del poligono con il centro di un lato. La sua lunghezza è l_A.

L'area di un triangolo rettangolo di base A/2 e altezza L_A È:

[(A/2) x l_A"

Il Pentagono ha 10 triangoli come questo, quindi la sua area è:

Può servirti: funzioni vettoriali

A = 10 (a/2) x l_A

Ma il perimetro P del Pentagono è precisamente p =10a, Pertanto l'area è data dal semi -prodotto del perimetro e dalla lunghezza di Apothem:

A = p x l_A /2

Area del pentagono regolare conoscendo il lato a

Esprimendo la lunghezza di Apothem l_A A seconda del lato A, sapendo che l'angolo indicato è metà dell'angolo centrale, ovvero 36º, equivalente a:

36º = π/5

Per trigonometria elementare, per tangente dell'angolo acuto 36º:

Tan (π/5) = (a/2) ÷ l_A

Quindi:

L_A=  (A/2) ÷ tan (π/5)

Sostituzione nell'area detratta nella sezione precedente e sapendo che p = 5a:

A = p x l_A /2

Area normale del Pentagono conosce la sua radio

Lui Radio di un poligono normale è il segmento che passa dal centro a uno dei suoi vertici. Coincide con il raggio della circonferenza circoscritta, come mostrato nella figura seguente:

Angoli e apothem del Pentagono. Fonte: Wikimedia Commons/F. Zapata.

Sia r la misura di detta radio, che coincide con l'ipotenusa del triangolo destro delineato nella figura precedente, in blu. Per trigonometria:

cos 36º = cos (π/5) = l_A ÷ r

E

sin 36º = sin (π/5) = (a/2) ÷ r

Perciò:

A = p x l_A /2 = 5r. sin (π/5) x r. cos (π/5) = 5r² [sin (π/5) x cos (π/5)]

Usando la formula a doppia angolo:

sin (2θ) = 2 sen θ . cos θ

Dobbiamo:

[sin (π/5) x cos (π/5)] = (1/2) sin 72º

E così, in sostituzione di questo valore, otteniamo la seguente formula per la normale area del Pentagono:

A = (5/2) r².Sen 72º

Come calcolare l'area di un Pentagono irregolare?

Come abbiamo detto prima, per un poligono irregolare non esiste una singola formula, ma ci sono due metodi che di solito funzionano molto bene, il primo si chiama triangolazione e il secondo è il metodo dei determinanti Gauss.

Può servirti: teorema di esistenza e unicità: dimostrazione, esempi ed esercizi

Triangolazione

Consiste nel dividere la figura in triangoli, la cui area è più facile da calcolare, o può anche essere testata con altre figure la cui area è nota, come quadrati, rettangoli e trapezi.

Gauss Determinanti

Un altro modo per trovare l'area irregolare del Pentagono o un altro poligono irregolare è posizionare la figura in un sistema di coordinate cartesiane, al fine di trovare le coordinate dei vertici.

Conosciuta queste coordinate, il metodo Gauss Determinanti viene applicato per calcolare l'area, che è data dalla seguente formula:

Dove A è l'area del poligono e (x_N , E_N ) sono le coordinate dei vertici. Un poligono di n lati ha 5 vertici, per il Pentagono sarebbe n = 5:

Le barre che accompagnano la formula sono barre del modulo o valore assoluto.

Ciò significa che sebbene il risultato dell'operazione sia negativo, dobbiamo esprimerlo con un segno positivo e, se è già positivo, deve essere lasciato con quel segno. Questo perché un'area è sempre un importo positivo.

La procedura è chiamata determinanti Gauss dal suo creatore, il matematico tedesco Carl F. Gauss (1777-1855). Le operazioni indicate sono equivalenti al determinante di una matrice 2 × 2, ad esempio il primo determinante è:

Per trovare l'area del Pentagono dobbiamo risolvere 5 determinanti, aggiungere il risultato algebrico, dividilo per 2 ed esprimere infine l'area sempre con un segno positivo.

Esercizi risolti

Esercizio 1

Trova la normale area del Pentagono il cui Apothem vale 4 cm e la cui lato misura 5.9 cm.

Soluzione

Dal momento che è un pentagono regolare e abbiamo la misura del lato e dell'Apothem, utilizziamo la formula detratta in precedenza:

Può servirti: triangolo scaleno

A = p x l_A /2

Il perimetro P è uguale a 5a = 5 x 5.9 cm = 29.5 cm.

A = 29.5 cm x 4 cm / 2 = 59 cm²

Esercizio 2

Trova l'area irregolare del Pentagono mostrata. Sono note le seguenti dimensioni:

Dc ≈ di

Ae = ab = 5

BC = 12

Pentagono irregolare. Fonte: Alexander, D. 2013. Geometria. 5 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.

Soluzione

L'area del Pentagono è la somma delle aree dei triangoli, che sono rettangoli. La dichiarazione afferma che DC ≈ di, quindi quando si applica il teorema di Pitagora al triangolo EDC, ha:

EC² = 2 ed². Quindi EC = √2.Ed.

I triangoli AEC e ABC hanno un'ipotenusa comune, che è quindi il segmento AC:

Ea² + EC² = AB² + AVANTI CRISTO²

Poiché EA e AB misurano lo stesso, si ottiene che:

EC = BC = √2.Ed

Da BC = 12, quindi ED = 12 / √2 = 8.485.

Con questi valori calcoleremo l'area di ciascun triangolo e lo aggiungiamo alla fine.

Area del triangolo EDC 

ED X DC /2 = 8.485² / 2 = 36

Area del triangolo AEC 

Ea x ec / 2 = ea x √2.Ed / 2 = 5 x √2. 8.485/2 = 30

Area del triangolo ABC 

AB X BC / 2

Quindi l'area ricercata è:

5 x 12/2 = 30

È lo stesso di quello del triangolo AEC, poiché entrambi hanno le stesse misure.

Area del Pentagono irregolare

Infine, l'area richiesta è la somma delle aree dei tre triangoli:

A = 36 + 30 + 30 unità = 96 unità.

Riferimenti

1. Alexander, d. 2013. Geometria. 5 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.
2. Matematica aperta riferimento. Area poligono. Recuperato da: Mathpenref.com.
3. Formule universe. Area di un pentagono irregolare. Recuperato da: Universoformulas.com.
4. Formule universe. Area di un normale Pentagono. Recuperato da: Universoformulas.com.
5. Wikipedia. Pentagono. Recuperato da: è.Wikipedia.com.