Quali sono equazioni simultanee? (Esercizi risolti)

IL equazioni simultanee sono quelle equazioni che devono essere soddisfatte contemporaneamente. Pertanto, per avere equazioni simultanee è necessario avere più di un'equazione.

Quando hai due o più equazioni diverse, che devono avere la stessa soluzione (o le stesse soluzioni), si dice che esista un sistema di equazioni o si dice anche che siano equazioni simultanee.

Quando hai equazioni simultanee può accadere che non hanno soluzioni comuni o hanno un importo finito o hanno un importo infinito.

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Equazioni simultanee

Date due diverse equazioni EQ1 ed EQ2, il sistema di queste due equazioni è chiamato equazioni simultanee.

Le equazioni simultanee soddisfano che se S è una soluzione EQ1, allora S è anche una soluzione di EQ2 e viceversa

Caratteristiche

Quando si tratta di un sistema di equazioni simultanee, si possono avere 2 equazioni, 3 equazioni o n equazioni.

I metodi più comuni usati per risolvere le equazioni simultanee sono: sostituzione, equalizzazione e riduzione. C'è anche un altro metodo chiamato Rule Cramer, che è molto utile per sistemi di oltre due equazioni simultanee.

Un esempio di equazioni simultanee è il sistema

Eq1: x+y = 2

Eq2: 2x-y = 1

Si può notare che x = 0, y = 2 è una soluzione di eq1 ma non è una soluzione di eq2.

L'unica soluzione comune entrambe le equazioni sono x = 1, y = 1. Cioè, x = 1, y = 1 è la soluzione del sistema di equazioni simultanee.

Esercizi risolti

Successivamente, il sistema delle equazioni simultanee mostrate sopra viene risolta, attraverso i 3 metodi menzionati.

Primo esercizio

Risolvi il sistema equazioni EQ1: x+y = 2, eq2 = 2x-y = 1 usando il metodo di sostituzione.

Soluzione

Il metodo di sostituzione consiste nel cancellare una delle incognite di una delle equazioni e quindi sostituirlo nell'altra equazione. In questo caso particolare, è possibile cancellare "y" da eq1 e si ottiene che y = 2-x.

Sostituendo questo valore "y" in eq2 si ottiene che 2x- (2-x) = 1. Pertanto, si ottiene che 3x-2 = 1, vale a dire che x = 1.

Quindi, poiché il valore di X è noto, viene sostituito in "y" e si ottiene che y = 2-1 = 1.

Pertanto, l'unica soluzione del sistema di equazioni simultanee eq1 ed eq2 è x = 1, y = 1.

Secondo esercizio

Risolvi il sistema equazioni EQ1: x+y = 2, eq2 = 2x-y = 1 usando il metodo di equalizzazione.

Soluzione

Il metodo di equalizzazione è quello di cancellare lo stesso sconosciuto di entrambe le equazioni e quindi corrispondere alle equazioni risultanti.

Cancella "x" di entrambe le equazioni si ottiene che x = 2-y e che x = (1+y)/2. Ora, queste due equazioni sono abbinate e si ottiene che 2-y = (1+y)/2, dove si scopre che 4-2y = 1+e.

Raggruppando l'ignoto "y" dalla stessa parte si scopre che y = 1. Ora che "Y" è già noto per trovare il valore di "X". Quando si sostituisce y = 1 si ottiene che x = 2-1 = 1.

Pertanto, la soluzione comune tra le equazioni EQ1 ed EQ2 è x = 1, y = 1.

Terzo esercizio

Risolvi il sistema equazioni EQ1: x+y = 2, eq2 = 2x-y = 1 usando il metodo di riduzione.

Soluzione

Il metodo di riduzione consiste nel moltiplicare le equazioni fornite dai coefficienti appropriati, in modo che aggiungendo queste equazioni una delle variabili viene annullata.

In questo esempio particolare, non è necessario moltiplicare qualsiasi equazione per qualsiasi coefficiente, aggiungerli. Aggiungendo eq1 più eq2 si ottiene che 3x = 3, dove si ottiene che x = 1.

Quando si valuta x = 1 in eq1 si ottiene che 1+y = 2, dove si scopre che y = 1.

Pertanto, x = 1, y = 1 è l'unica soluzione di equazioni simultanee EQ1 ed EQ2.

Quarto esercizio

Risolvi il sistema di equazioni simultanee EQ1: 2x-3Y = 8 ed EQ2: 4x-3Y = 12.

Soluzione

In questo esercizio non è richiesto alcun metodo particolare, pertanto il metodo più comodo può essere applicato per ciascun lettore.

In questo caso verrà utilizzato il metodo di riduzione. Moltiplicando EQ1 per -2 si ottiene l'equazione eq3: -4x+6y = -16. Ora, aggiungendo EQ3 ed EQ2 si ottiene che 3y = -4, quindi y = -4/3.

Ora, quando si valuta y = -4/3 in eq1 si ottiene che 2x-3 (-4/3) = 8, dove 2x+4 = 8, quindi, x = 2.

In conclusione, l'unica soluzione del sistema di equazioni simultanee eq1 ed eq2 è x = 2, y = -4/3.

Osservazione

I metodi descritti in questo articolo possono essere applicati ai sistemi con più di due equazioni simultanee. Più equazioni e più sconosciute, la procedura per risolvere il sistema è più complicata.

Qualsiasi metodo di risoluzione dei sistemi di equazioni produrrà le stesse soluzioni, ovvero le soluzioni non dipendono dal metodo applicato.

Riferimenti

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7. Sullivan, j. (2006). Algebra e trigonometria. Pearson Education.