Motivo per cambiare

Qual è la ragione del cambiamento?

IL motivo per cambiare È la grandezza matematica che definisce il cambiamento di una variabile o di una grandezza fisica per quanto riguarda un altro. Ad esempio, la velocità è la ragione per cambiare la posizione rispetto al tempo.

Un cambiamento in una grandezza X, È indicato con i testi greci Δ (legge "delta") ed è scritto Δx. È calcolato dalla differenza tra un valore finale e un valore iniziale: Δx = x_finale- X_iniziale.

Se l'entità X è correlato a un'altra grandezza E, Questo sperimenta anche un cambiamento, chiamato Δy = y_finale- E_iniziale, Il motivo per cambiare Y rispetto a X è definito come il quoziente:

Che, usando la notazione con Delta indicato in precedenza, rimane così:

Questo quoziente è noto come il Aumenta il quoziente Di E riguardo a X O Rapporto di variazione medio o medio.

In questo modo è possibile definire magnitudini come l'indice di crescita di una popolazione, velocità con cui un oggetto, un tasso di disoccupazione, il flusso d'acqua attraverso un tubo e molti altri. Tutti questi importi sono, in effetti, motivi di cambiamento.

Perché è importante calcolare il motivo del cambiamento?

Numerose magnitudini di interesse non rimangono immutabili, ma sperimentano cambiamenti e spesso questi cambiamenti si seguono nel tempo. Da qui l'importanza di calcolare il motivo per cambiare magnitudo nel tempo.

Ad esempio, esiste il semplice caso di un oggetto che si muove lungo una linea retta, che può essere l'asse o l'asse orizzontale del X. Il cellulare (un'auto, una bicicletta, una persona che cammina o corre ...) cambia continuamente la propria posizione quando il tempo passa T.

Quindi, il motivo per modificare la posizione dell'oggetto ΔX nell'intervallo di tempo Δt, è noto come velocità media:

Un altro cellulare che viaggia attraverso la stessa linea retta può farlo con una velocità diversa, sia, e in questo modo si distingue dal primo cellulare (perché è più lento o più veloce).

Ad esempio, un corridoio piatto di 100 metri avrà un tasso di cambio medio nella sua posizione molto più grande di un maratoneta o di una persona che cammina silenziosamente per strada.

La velocità è un tipico esempio di rapporto di cambiamento, ma alcune magnitudini interessanti che sperimentano anche i cambiamenti nel tempo sono: la temperatura, il volume di un fluido, la carica elettrica, una popolazione di batteri e molti altri.

Conoscendo la tua ragione di cambiamento, puoi sapere molto sul modo in cui queste magnitudini si evolvono nel tempo.

Unità del motivo del cambiamento

Il rapporto è il rapporto tra due magnitudini, le unità risultanti saranno anche il quoziente delle unità utilizzate per misurarle. Ad esempio, la velocità è di lunghezza tra il tempo, poiché è la ragione per cambiare la posizione rispetto al tempo.

In questo modo, le unità di velocità possono essere contatori/secondo, chilometri/ora, miglia/ora e molte altre combinazioni.

Come viene calcolato il motivo del cambiamento?

Il motivo medio o il tasso di cambio tra due magnitudini viene facilmente calcolato, quando si esegue il quoziente tra le rispettive variazioni di ciascuna, secondo la formula:

Le variazioni delle magnitudini possono essere fornite attraverso tabelle di scorta o sono determinate da un grafico, di cui i rispettivi valori di E E X (Vedi gli esercizi risolti alla fine).

D'altra parte:

E l'espressione della destra è precisamente la pendenza di una linea, di cui si conclude che il motivo medio del cambiamento è la pendenza della linea secante al grafico di y a seconda di x.

Segni del motivo del cambiamento

Secondo la definizione data, la ragione del cambiamento può essere positiva o negativa, a seconda di come variano le magnitudini coinvolte, poiché queste possono aumentare o diminuire, secondo.

Se il motivo del cambiamento è positivo, significa che i cambiamenti E e in X Erano lo stesso segno, cioè, E aumentato e X Lo ha fatto anche lui. O molto E COME X Sono diminuiti.

Tuttavia, quando la ragione del cambiamento è negativa, significa che una delle magnitudini è aumentata e l'altra è diminuita.

Motivo del cambiamento istantaneo

Spesso è molto più interessante. In questo caso, è necessario rendere la variazione Δx estremamente piccola, curando a 0 (ma senza diventare 0, poiché la divisione tra 0 non è definita).

Questo si chiama "prendere il limite", e in quel caso, il rapporto tra il cambiamento istantaneo è chiamato "derivato" di E riguardo a X ed è indicato come dy/dx; COSÌ:

Il rapporto di variazione del rapporto o istantaneo è anche uguale alla pendenza di una linea, ma in questo caso è la pendenza della linea tangente al grafico di E contro X.

Esempi semplici

La crescita di una persona

Da quando sono nati, i bambini crescono a un ritmo determinato da diversi fattori, tra cui la genetica e il cibo si distinguono. I più alti tassi di crescita si verificano durante il primo anno di vita; Più tardi, durante l'infanzia e poi nella pubertà, i bambini normalmente sperimentano "allungamenti", cioè il motivo del cambio di altezza rispetto al tempo, quindi diminuiscono.

Dopo la pubertà, i ragazzi continuano a crescere, ma il tasso diminuisce fino a quando non vengono annullati, una volta raggiunte la loro statura definitiva degli adulti.

Coffee fresco

È noto che il caffè o la zuppa calda vengono gradualmente raffreddati se lasciati a temperatura ambiente. Tuttavia, la velocità di raffreddamento rallenta più vicino alla temperatura del caffè o alla zuppa a temperatura ambiente.

Un modo per modellare questo fenomeno è attraverso Newton Cooling Law, Secondo il quale, la velocità a cui viene trasferito il calore è proporzionale alla differenza tra la temperatura della sostanza e la temperatura ambiente. La costante di proporzionalità K è caratteristica della sostanza:

T_O rappresenta la temperatura dell'ambiente.

Esercizi risolti

Esercizio 1

Calcola il rapporto di cambiamento medio di E riguardo a X, Dati i seguenti valori:

E₁ = 3; E₂ = 10; X₁ = 2; X₂ = 5

Soluzione

Secondo la formula:

I valori indicati nell'istruzione vengono sostituiti e l'operazione viene risolta:

Esercizio 2

Il grafico mostra le rispettive curve di distanza rispetto al tempo di due pattinatori di velocità olimpici A e B, nella modalità di 500 metri. Chi ha vinto la gara? Qual era la velocità media di ciascun pattinatore?

Soluzione

Osservando il grafico, segue che Skater B (Blue Curve) ha vinto la gara, poiché ha visitato 500 m in 35 s, mentre il pattinaggio A (curva rossa), lo ha fatto in 40 s.

Le rispettive velocità medie erano:

Riferimenti

1. Figueroa, d. (2005). Serie: Physics for Science and Engineering. Volume 1. Cinematica. A cura di Douglas Figueroa (USB).
2. Glencoe Science. Tasso di variazione e pendenza (2021). Recuperato da: Glencoe.com.
3. Larson, r. (2012). Precalcolazione. 8 °. Edizione. Apprendimento del Cengage.
4. Larson, r. (1986). Calcolo con geometria analitica, 2 °. Edizione. McGraw-Hill.
5. Stewart, J. (2011). Algebra del college, concetti e contesti. Brooks/Cole.